ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL Consideremos un sistema de dos partículas de masas m 1 y m 0. Podemos calcular la energía potencial de este sistema especificando arbitrariamente un punto de referencia donde por convención se le da a la energía potencial, E p, valor cero (se escoge r , donde la fuerza es cero). La diferencia de energía potencial cuando el sistema se mueve desde una configuración donde las dos partículas están separadas una distancia r 1 a otra donde están separadas r 2, está dada por el trabajo hecho por la fuerza de la gravedad, con signo contrario, es decir,

La fuerza de interacción que la masa m 1 (supuesta en reposo y situada en el origen de coordenadas) ejerce sobre m 0 está dada por la expresión F= -  m 1 m 0 r 2 ûrûr m1m1 ûrûr r m0m0 F r1r1 r2r2 ds dr 

Supongamos además, que el planeta de masa m 0 se mueve desde la posición inicial, especificada por r 1 y medida a partir de m 1 hasta la posición final determinada por r 2 y que m 1 >>m 0 (m 1 esta aproximadamente en reposo). Si sustituimos la expresión de la fuerza en la expresión del trabajo, donde ds representa un elemento infinitesimal de la trayectoria, tendremos que,

Como,es la componente radial de ds, resulta que û r.ds = |ûr||ds|cos  = ds.cos  = dr

que con una energía potencial de referencia igual a cero (E p1 =0, para r 1  ) se tiene que, Si r 2 tiene cualquier valor arbitrario, r 2 =r, se tiene entonces para la energía potencial, E p2 =E p, del sistema de dos partículas m 0 m 1, que Ep=Ep= -  m 1 m 0 r E p2 = -  m 1 m 0 r 2 Observe que la energía potencial aumenta, se hace menos negativa, cuando r crece, es decir, que aumenta a medida que el planeta (m 0 ) se aleja del centro de fuerza.

Si consideramos las energías cinéticas, la energía total del sistema anterior sería,, y para un sistema de n partículas, la energía total es E= m1v122m1v122 m0v022m0v022 -  m 1 m 0 r +

En el caso en que la masa de la partícula m 1 sea mucho mayor que la de m 0 (m 1 >>m 0 ), entonces resulta que, v 0 >>v 1, v 1  0, y, E  m0v022m0v022 -  m 1 m 0 r

Podemos generalizar utilizando m en vez de m 0, v en vez de v 0, y escribir la expresión de la energía total como Si la partícula se mueve en una trayectoria circular, la fuerza que actúa sobre la masa m esta dada por la fuerza centrípeta, F c =mv 2 /r, e igualando, F c a la fuerza gravitatoria, tenemos E  mv  m 1 m r

Y por consiguiente, y la ecuación de la energía total, E se reduce a, indicando que la energía total es negativa, característica esta de todas las órbitas elípticas (o cerradas), es decir, E<0 cuando definimos la energía potencial 0 para una separación infinita.