Mecánica cuántica Juan Guillermo Palacio Cano Código: G2E26Juan UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FUNDAMENTOS DE FÍSICA MODERNA 1

1. Nacimiento de la mecánica cuántica.  Principio de incertidumbre o relación de indeterminación de Heisenberg describe teóricamente una propiedad de la naturaleza, según la cual es imposible saber la posición y la velocidad de una partícula simultáneamente.  Pero no solo esto, también de otros pares de magnitudes físicas como posición y cantidad de movimiento lineal.  A nivel macroscópico este principio no es de gran relevancia, ya que debido al valor de la constante de Planck, su efecto es insignificante Principio de incertidumbre de Heisenberg.

 Schrödinger establece un cambio de paradigma en la física, dando el concepto de un sistema cuántico.  Un sistema cuántico describe el comportamiento de los electrones en un ambiente de potencial radial, describiendo además la energía de estos.  La mecánica cuántica como teoría está basada completamente sobre un soporte experimental Concepto de sistema cuántico.

2. Ecuación de Schrödinger para un sistema cuántico.  La ecuación de Schrödinger, describe un Sistema Cuántico en general que consiste una partícula cuántica moviéndose en un ambiente cuántico.  Cantidad de movimiento. p = - i ћ j/jx p2 = - ћ2j2/jx2  E c +U=E T --  [- ћ 2 / 2m j 2 /j x 2 + U] y = E T y -ћ2/2m j2y/jx2 + Uy = ETy j2y/jt2 + [2 m/ћ2 (ET – U)]y = 0 y‘‘ + k2 y = 0

3. Solución de la ecuación de Schrödinger.  Se sigue el procedimiento de solución de una ecuación diferencial.  Es más útil representar la solución de la ecuación de Schrödinger usando la transformación de Euler donde la solución ‘y’ es una función que describe el sistema.  Para espacios abiertos y = Aeikx + Be-ikx  Para espacios cerrados (condiciones de fronte- ra) y = A Sin kx + B Cos kx

 Para un electrón libre el ambiente de potencial U, corresponde a cero. Y la ecuación de Schrödinger que lo describe está dada por un espacio abierto. y = Aeikx + Be-ikx  Como se ve la ecuación que describe a un electrón libre, es la misma función que para ondas planas. Esto quiere decir que el comportamiento de un ELECTRÓN PRESENTA PROPEDADES ONDULATORIAS.  En la física clásica se explica el movimiento de cuerpos de masa m, en la FÍSICA MODERNA se conocen propiedades de la materia antes irreconocibles Ecuación para un electrón libre (U=0).

 Mucho antes de Schrödinger, Thomas Young había propuesto una experiencia para corroborar y dar sustento al carácter ondulatorio de la luz.  La doble rendija, en que incidía un rayo de luz, provocaba un fenómeno de dispersión visible en una pantalla receptora.  Al generarse bandas claras y oscuras, es decir, que tal como las ondas lo hacen, la luz se difractaba, se corrobora la naturaleza ondulatoria de la luz Experimento de Young (doble rendija).

 Pero en 1961 Claus Jönsson hizo el experimento de Young bombardeando electrones a la caja, previendo que esta vez se quedarían incrustados en la forma deseada, es decir, el patrón de las rejillas.  Efectivamente, así sucedió(rojo), pero solo cuando se miraba al experimento, cuando no los electrones formaban un patrón de interferencias (azul), POR LO QUE SE CONCLUYÓ QUE CUANDO NO SE OBSERVA UNA PARTÍCULA ESTA ACTÚA COMO UNA ONDA.  Este experimento explica la dualidad onda-partícula, una de las bases de la mecánica cuántica. Cabe destacar que esta dualidad es aplicable a cualquier cuerpo, sin importar el tamaño (incluso un ser humano se comporta como onda y como partícula) Experimento de Claus Jönsson (doble rendija modificado).

4. Paradoja de Schrödinger. Gato de Schrödinger: un gato, junto con un matraz que contiene un veneno y una fuente radiactiva, se coloca en una caja sellada. Si un contador Geiger detecta la radiación, el frasco se rompe, liberando el veneno que mata al gato. La interpretación de la mecánica cuántica de la Escuela de Copenhague implica que, después de un tiempo, el gato está al mismo tiempo vivo y muerto. No se puede implementar un observador para conocer el estado de los electrones sin alterar el estado de estos.

5.Pozos y barreras de potencial.  Como LA ENERGÍA POTENCIAL ES INFINITA FUERA DEL POZO, ψ=0 allí y la partícula debe estar dentro del pozo. Como ψ(x) debe ser continua, ψ(x)debe ser nula en x=0 y x=L.  De la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo: Donde : k número de onda  Solución de la Ecuación: con A y B constantes  Condición límite: ψ(x)=0 para x=0 → se elimina la solución coseno ya que cos(0) =1  Condición límite: ψ(x)=0 para x=L → ψ(L)=A senkL=0 → kL= nπ  n=1,2,3,… 5.1. Pozos infinitos.

Pozo cuadrado finito. E>V0 Estudiaremos luego la solución. Consideraremos ahora E<V0 Dentro del pozo: V(x) =0 Fuera del pozo: V(x) =V0 Condición: ψ(x) y ψ´(x) deben ser continuas en los límites del pozo.

5.2. Conclusiones principales.

Bibliografía  Barco, Héctor. Rojas, Edilberto. Electromagnetismo y Física Moderna. Tercera edición. Editorial Universidad Nacional.   Capitulo4.pdf