Estadística social fundamental Facultad de ciencias

ADMINISTRATIVO - MONITORES Cristian Andrés González: Lunes de 9am a 11am en el salón 404-206 Camila Grass: Martes y jueves de 9am a 11am en el salón 405-312 Leidy Johana Angel: Miércoles de 11am a 1pm en el salón 404-206 Julian López: Miércoles de 1pm a 3 pm en el salón 404-206 Luisa Fernanda Parra: Martes y jueves de 6pm a 8pm en el salón 405-313

¿Preguntas? Ya poseemos el 30% de las nota final de esta clase. Para esta clase, ¿Qué deben leer? Ritchey, Estadística para las ciencias sociales Cap. 6 y7 Blanco, Probabilidad, Apéndice A y Apéndice B Blanco, Probabilidad, Cap. 1 Haber, Runyon. Estadística General. Cap 11 El taller 3 es un quiz, el taller solo es para prepararlos.

SEGUNDA PARTE DEL CURSO INFERENCIA ESTADÍSTICA

¿QUÉ VEREMOS HOY? Teoría de Conjunto Combinatoria

SI NOS ALCANZA EL TIEMPO ¿QUÉ VEREMOS HOY? Experimento aleatorio Espacio muestral

LA IDEA DEL CONJUNTO Conjunto: En el lenguaje matemático, conjunto significa colección, agrupación, reunión de elementos. Los elementos del conjunto los denotamos con letras minúsculas, y los conjuntos los denotamos con letras mayúsculas. DOS CONJUNTOS SON IGUALES SI TIENEN LOS MISMO ELEMENTOS.

LA IDEA DEL CONJUNTO Conjunto: En el lenguaje matemático, conjunto significa colección, agrupación, reunión de elementos. Los elementos del conjunto los denotamos con letras minúsculas, y los conjuntos los denotamos con letras mayúsculas. EJEMPLO: «Grupo de mujeres que hay en este salón en este momento» «Número de planetas con uno o dos lunas en el sistema solar» «Grupo de bebidas alcohólicas que han tomado en su vida» DOS CONJUNTOS SON IGUALES SI TIENEN LOS MISMO ELEMENTOS.

¿CÓMO SE PUEDEN DEFINIR? Por extensión: Cuando se nombran cada uno de los elementos que componen el grupo EJEMPLO: Abecedario =A = { a, b, c, d, e, f} Facultades =F = { Economía, Enfermería, ciencias, Medicina} Shows de televisión = S = { Los graduados, American horror story, How i met your mother}

¿CÓMO SE PUEDEN DEFINIR? Por compresión: Cuando se expresa una característica común que poseen los elementos del grupo. EJEMPLO: A = ( Letras que componen el abecedario de la lengua española) F = ( Nombres de las facultades que existen en la UNAL Bogotá) S = ( Programas de televisión que tienen mejor «rating»)

¿CÓMO SE PUEDEN DEFINIR? ERRORES Un conjunto JAMAS puede tener dos elementos iguales. Un conjunto no puede contenerse a si mismo. No existe el conjunto que tiene TODO. Error lógico.

REPRESENTACIÓN DE CONJUNTOS Diagrama de Venn: Un método practica para representar los conjuntos es el llamado Diagrama de Venn, que consiste en encerrar los elementos del conjunto en una región al interior de un diagrama ovalado. EXPLICAR ∈

CONJUNTOS IMPORTANTES Conjunto vacío: Este conjunto se caracteriza porque no tiene ningún elemento. LÓGICA: Solo existe un único conjunto vacío ¿Por qué?

CONJUNTOS IMPORTANTES Conjunto vacío: Este conjunto se caracteriza porque no tiene ningún elemento. LÓGICA: Solo existe un único conjunto vacío ¿Por qué? Conjunto Universal: Este conjunto se caracteriza porque tiene todos los elementos en referencia al contexto que tengamos.

CONJUNTOS IMPORTANTES Conjunto vacío: Este conjunto se caracteriza porque no tiene ningún elemento. LÓGICA: Solo existe un único conjunto vacío ¿Por qué? Conjunto Universal: Este conjunto se caracteriza porque tiene todos los elementos en referencia al contexto que tengamos. EJEMPLO: « Contexto: Universidad – Conjunto Universal = (Todos los estudiantes activos de la UNAL) «Contexto: Colombia - Conjunto Universal = ( Todos los departamentos, regiones o municipios del país)

CONJUNTOS IMPORTANTES Conjunto unitario: Este conjunto se caracteriza porque tiene un único elemento en referencia al conjunto universal. RECUERDEN: Este conjunto es único. EJEMPLO: « Contexto: Universidad – Conjunto Unitario = (Willie Hernández) «Contexto: Colombia - Conjunto Universal = ( Departamento del Meta)

SUBCONJUNTOS Subconjuntos: Un subconjunto de otro es cuando todos lo s elementos de este pertenecen al segundo Conjunto. Es decir que esta incluido en el segundo conjunto o que el segundo incluye al primero. EJEMPLO: «Conjunto Unitario = (Willie Hernández), Subconjunto = ( Willie Hernández)» «Contexto: Colombia - Conjunto Universal, subconjunto = ( Región Andina)» « Contexto: Enfermedades del colon, Subconjunto = ( Cáncer)»

SUBCONJUNTOS RECUERDEN: Todos los conjuntos, son subconjuntos del conjunto universal. El conjunto vacío es subconjunto de todos los conjuntos.

OPERACIONES DE CONJUNTOS UNIÓN = 𝐴 ∪𝐵={ 𝑥:𝑥 ∈𝐴 ó 𝑥 ∈𝐵} INTERSECCIÓN = 𝐴 ∩𝐵={ 𝑥:𝑥 ∈𝐴 𝑦 𝑥 ∈𝐵} DIFERENCIA = 𝐴 \𝐵={ 𝑥:𝑥 ∈𝐴 𝑦 𝑥 ∉𝐵} COMPLEMENTO 𝐴 𝑐 ={ 𝑥: 𝑥 ∉𝐴} DIFERENCIA SIMÉTRICA 𝐴 △𝐵={ 𝑥:𝑥 ∈𝐴 \B ó 𝑥 ∈𝐵\A}

OPERACIONES DE CONJUNTOS B= { 1, 3, 4, 5} 𝒰=𝐴 ∪𝐵 Calcular. ¿𝐴 ∪𝐵? ¿𝐴 ∩𝐵? ¿𝐴 \B? ¿ 𝐴 𝐶 ?¿ 𝐵 𝐶 ? ¿𝐴 △𝐵?

OPERACIONES DE CONJUNTOS LEYES DISTRIBUTIVAS 𝐴 ∩ 𝐵 ∪𝐶 = 𝐴 ∩𝐵 ∪ 𝐴∩𝐶 𝐴 ∪ 𝐵 ∩𝐶 = 𝐴 ∪𝐵 ∩ 𝐴∪𝐶 LEYES DE-MORGAN 𝐵 ∪𝐶 𝐶 = 𝐵 𝐶 ∩ 𝐴 𝐶 𝐵 ∩𝐶 𝐶 = 𝐵 𝐶 ∪ 𝐴 𝐶

MITAD DE LA CLASE Conjunto Diagrama de Venn Representación Pertenencia Recopilando… Conjunto Diagrama de Venn Representación Pertenencia Subconjunto Operación entre conjuntos

COMBINATORIA BIBLIOGRAFÍA: Blanco, Liliana. Probabilidad. Página 378. Principio fundamental de conteo: Supóngase que se realizan dos experimentos. Si el primer experimento tiene m posibles resultados y si para cada uno de los resultados del primer experimento hay n posibles resultados del segundo experimento, entonces, el número de posibles resultados de los dos experimentos realizados en el orden indicado es m*n.

Lanzamiento de una moneda COMBINATORIA BIBLIOGRAFÍA: Blanco, Liliana. Probabilidad. Página 378. Principio fundamental de conteo: Básicamente lo que nos quiere decir este principio es que si los experimentos entre sí no tienen dependencia una de la otra, la simple multiplicación del número de eventos que puede tomar cada experimento es el total de casos. EJEPMPLO: Lanzamiento de una moneda Lanzamiento de un dado.

COMBINATORIA - EJEMPLOS BIBLIOGRAFÍA: Blanco, Liliana. Probabilidad. Página 378. EJEMPLO 1. En el departamento de Estadística de una universidad hay 10 profesores, cada uno de los cuales tiene 15 alumnos a su cargo. Si un profesor y uno de sus alumnos van a ser escogidos para representar al departamento en un evento académico ¿De cuántas maneras puede hacerse la selección?

COMBINATORIA - EJEMPLOS BIBLIOGRAFÍA: Blanco, Liliana. Probabilidad. Página 378. EJEMPLO 1. En el departamento de Estadística de una universidad hay 10 profesores, cada uno de los cuales tiene 15 alumnos a su cargo. Si un profesor y uno de sus alumnos van a ser escogidos para representar al departamento en un evento académico ¿De cuántas maneras puede hacerse la selección? RESPUESTA: Tenemos 10 profesores y cada uno de ellos tiene 15 alumnos, por lo tanto por el principio fundamental del conteo la respuesta es: 10* 15 = 150 PROFESOR: EXPLICAR EL ARBOL DEL PRINCIO DE CONTEO.

COMBINATORIA - EJEMPLOS BIBLIOGRAFÍA: Blanco, Liliana. Probabilidad. Página 378. EJEMPLO 2. ¿ Cuántos números de tres dígitos distintos, menores que 500, puede formarse con los dígitos 1,2,3,4,5,6, y 7?

COMBINATORIA - EJEMPLOS BIBLIOGRAFÍA: Blanco, Liliana. Probabilidad. Página 378. EJEMPLO 2. ¿ Cuántos números de tres dígitos distintos, menores que 500, puede formarse con los dígitos 1,2,3,4,5,6, y 7? RESPUESTA: Tenemos tres dígitos y cada uno de los dígitos puede tomar 7 números, por lo tanto, por el principio fundamental de conteo, tenemos: 7*7*7 = 353

COMBINATORIA - EJEMPLOS BIBLIOGRAFÍA: Blanco, Liliana. Probabilidad. Página 378. EJEMPLO 2. ¿ Cuántos números de tres dígitos distintos, menores que 500, puede formarse con los dígitos 1,2,3,4,5,6, y 7? RESPUESTA: Tenemos tres dígitos y cada uno de los dígitos puede tomar 7 números, por lo tanto, por el principio fundamental de conteo, tenemos: 7*7*7 = 353 El primer dígito no puede tomar valores de 5, 6, o 7. Por lo tanto, la respuesta es: 4*7*7 = 196

FACTORIAL 𝑁!

FACTORIAL 𝑁! 5!=5∗4∗3∗2∗1

FACTORIAL 𝑁! 5!=5∗4∗3∗2∗1 8!=8∗7∗6∗5!

FACTORIAL 𝑁! 5!=5∗4∗3∗2∗1 8!=8∗7∗6∗5! 0!= ?

FACTORIAL 𝑁! 5!=5∗4∗3∗2∗1 8!=8∗7∗6∗5! 0!=1 −4!= ?

FACTORIAL 𝑁! 5!=5∗4∗3∗2∗1 8!=8∗7∗6∗5! 0!=1 −4!=𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

FACTORIAL 𝑁! 5!=5∗4∗3∗2∗1 8!=8∗7∗6∗5! 0!=1 −4!=𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 1.5!=?

FACTORIAL 𝑁! 5!=5∗4∗3∗2∗1 8!=8∗7∗6∗5! 0!=1 −4!=𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 1.5!=𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒

FACTORIAL - FORMULAR 𝑁! 𝑁!=𝑁 𝑁−1 𝑁−2 …(1)

PERMUTACIÓN BIBLIOGRAFÍA: Blanco, Liliana. Probabilidad. Página 380. Permutaciones del mismo tamaño de objetos: Una permutación es una arreglo en un orden particular de los objetos que forman un conjunto. 𝑁! Permutaciones de diferentes tamaños: Una permutación con un orden particular es donde se forman grupos que son menores al tamaño. 𝑁! 𝑛−𝑟 !

PERMUTACIÓN BIBLIOGRAFÍA: Blanco, Liliana. Probabilidad. Página 380. EJEMPLO: ¿Cuántos grupos de 3 se pueden formar con las letras a, b, c ? Dado que nos importa el orden.

PERMUTACIÓN BIBLIOGRAFÍA: Blanco, Liliana. Probabilidad. Página 380. EJEMPLO: ¿Cuántos grupos de 3 se pueden formar con las letras a, b, c ? Dado que nos importa el orden. POR EMPIRISMO 𝑨𝑩𝑪,𝑨𝑪𝑩,𝑩𝑨𝑪,𝑩𝑪𝑨,𝑪𝑨𝑩,𝑪𝑩𝑨.=𝟔

PERMUTACIÓN BIBLIOGRAFÍA: Blanco, Liliana. Probabilidad. Página 380. EJEMPLO: ¿Cuántos grupos de 3 se pueden formar con las letras a, b, c ? Dado que nos importa el orden. POR FORMULA 𝟑!=𝟔

PERMUTACIÓN BIBLIOGRAFÍA: Blanco, Liliana. Probabilidad. Página 380. EJEMPLO: ¿Cuántos son las posibles permutaciones de las letras a,b,c,d en grupos de 2 en 2?

PERMUTACIÓN BIBLIOGRAFÍA: Blanco, Liliana. Probabilidad. Página 380. EJEMPLO: ¿Cuántos son las posibles permutaciones de las letras a,b,c,d en grupos de 2 en 2? POR EMPIRISMO 𝑨𝑩,𝑩𝑨,𝑨𝑪,𝑪𝑨,𝑨𝑫,𝑫𝑨,𝑩𝑪,𝑪𝑩,𝑩𝑫,𝑫𝑩,𝑪𝑫,𝑫𝑪.=𝟏𝟐

PERMUTACIÓN BIBLIOGRAFÍA: Blanco, Liliana. Probabilidad. Página 380. EJEMPLO: ¿Cuántos son las posibles permutaciones de las letras a,b,c,d en grupos de 2 en 2? POR FORMULA 4! 4−2 ! =12

PERMUTACIONES BIBLIOGRAFÍA: Blanco, Liliana. Probabilidad. Página 378. EJEMPLO 1. Se desea calcular el numero de maneras de acomodar a 3 mexicanos, 4 venezolanos, 3 argentinos y 5 colombianos alrededor de una mesa redonda si las personas de la misma nacionalidad insisten en sentar juntas ¿Cuántas maneras de acomodarlos hay?

COMBINATORIA - EJEMPLOS BIBLIOGRAFÍA: Blanco, Liliana. Probabilidad. Página 378. EJEMPLO 1. Se desea calcular el numero de maneras de acomodar a 3 mexicanos, 4 venezolanos, 3 argentinos y 5 colombianos alrededor de una mesa redonda si las personas de la misma nacionalidad insisten en sentar juntas ¿Cuántas maneras de acomodarlos hay? RESPUESTA: El número de maneras de acomodar los cuatro grupos en la mesa redonda es de 3!. Los mexicanos se pueden acomodar de 3! Formar, los venezolanos de 4! Formas, los argentinos de 3! Y los colombianos de 5! . Por lo tanto, 3!*3!*4!*3!*5! = … .

COMBINATORIA - EJEMPLOS BIBLIOGRAFÍA: Blanco, Liliana. Probabilidad. Página 378. EJEMPLO 2. Supóngase que se desea sentar a cuatro niñas y tres niños en una fila. Si los niños y las niñas estén intercalados ¿Cuántas maneras de ordenarlos hay?

COMBINATORIA - EJEMPLOS BIBLIOGRAFÍA: Blanco, Liliana. Probabilidad. Página 378. EJEMPLO 2. Supóngase que se desea sentar a cuatro niñas y tres niños en una fila. Si los niños y las niñas estén intercalados ¿Cuántas maneras de ordenarlos hay? RESPUESTA: Si se desea que los niños y las niñas queden alternados entonces habría: 4*3*3*2*2*1 = …

PERMUTACIONES CON OBJETOS IGUALES BIBLIOGRAFÍA: Blanco, Liliana. Probabilidad. Página 382. Permutaciones con objetos iguales: El número total N de formas que se que puede permutarse n objetos de los cuales , 𝑛 1 , 𝑛 2 , …, 𝑛 𝑛 son iguales entre si, es: 𝑁! 𝑁 1 ! 𝑁 2 !… 𝑁 𝑁 !

PERMUTACIONES CON OBJETOS IGUALES BIBLIOGRAFÍA: Blanco, Liliana. Probabilidad. Página 382. Permutaciones con objetos iguales: El número total N de formas que se que puede permutarse n objetos de los cuales , 𝑛 1 , 𝑛 2 , …, 𝑛 𝑛 son iguales entre si, es: 𝑁! 𝑁 1 ! 𝑁 2 !… 𝑁 𝑁 ! EJEMPLO: ¿Cuántos arreglos diferentes pueden formarse con las letras de la palabra «elefante» y «ganancia»?

PERMUTACIONES CON OBJETOS IGUALES BIBLIOGRAFÍA: Blanco, Liliana. Probabilidad. Página 382. Permutaciones con objetos iguales: El número total N de formas que se que puede permutarse n objetos de los cuales , 𝑛 1 , 𝑛 2 , …, 𝑛 𝑛 son iguales entre si, es: 𝑁! 𝑁 1 ! 𝑁 2 !… 𝑁 𝑁 ! EJEMPLO: ¿Cuántos arreglos diferentes pueden formarse con las letras de la palabra «elefante» y «ganancia»? 𝑬𝒍𝒆𝒇𝒂𝒏𝒕𝒆= 𝟖! 𝟑! ⇒𝑮𝒂𝒏𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂= ???

COMBINATORIA 𝑁! (𝑁−𝑅)!𝑅! BIBLIOGRAFÍA: Blanco, Liliana. Probabilidad. Página 382. Combinaciones: Supóngase que se tienen n objetos diferentes. Cada elección de r <= n de dichos objetos se llama una combinación de orden r de un conjunto con n elementos es un subconjunto con r elementos del conjunto. Esto se calcula con: 𝑁! (𝑁−𝑅)!𝑅!

COMBINATORIA BIBLIOGRAFÍA: Blanco, Liliana. Probabilidad. Página 382. Combinaciones: Las combinaciones de orden 2 de las letras ab,c y d son por empirismo {a,b} , {a,c} , {a,d} , {b, c} y {c,d}. Por formula 4! (4−2)!2! =6

¿Cuál es la diferencia Entre permutación y combinatoria?

PERMUTACIÓN : EL ORDEN IMPORTA COMBINATORIA: El ORDEN NO IMPORTA

EJERCICIOS COMBINATORIA EJERCICIO 1: En un examen de probabilidad un estudiante debe contestar diez de trece preguntas ¿Cuántas formas de contestar el examen tiene el estudiante? ¿Cuántas si debe contestar por lo menos tres de las primeras cinco preguntas? ¿Cuántas si debe contestar exactamente una de las primeras cinco preguntas? EJERCICIO 2: Los treinta alumnos de tercer grado de una escuela deben ser repartidos en 5 grupos con 12, 5, 3, 6 y 4 alumnos respectivamente. ¿ Cuántas reparticiones son posibles? EJERCICIO 3 ¿De cuántas maneras se pueden repartir 7 regalos entre 3 niños si uno de ellos debe recibir 3 regalos y los otro niños 2 cada uno? EJERCICIO 4 Un inversionista tiene 300 millones de pesos para invertir en 6 posibles bonos. Cada inversión debe hacerla en millones de pesos. Si el total de los 300 millones deben ser invertidos. ¿Cuántas estrategias de inversión son posibles?

TALLER

¿PREGUNTAS?

Próxima clase (semana) Temas Principios de probabilidad Experimento aleatorio Lecturas Runyon. Estadística fundamental. Capítulo 11. Probabilidad (FEM) Liliana López, Probabilidad, Capítulo 1.