1.2 DIAGRAMA DE VENN UNA DE LAS MÁS IMPORTANTES ES QUE NOS PERMITEN RESOLVER PROBLEMAS DONDE SE INVOLUCREN VARIOS CONJUNTOS. SUPONGAMOS QUE UNA EDITORIAL HACE UNA ENCUESTA DE PREFERENCIAS SOBRE SUS TRES REVISTAS A LAS QUE LLAMAREMOS A, B, C. LOS RESULTADOS DE LA ENCUESTA REVELARON LOS SIGUIENTES DATOS:

RESULTADOS DE LA ENCUESTA SE ENCUESTARON 1000 PERSONAS. 600 LEEN LA REVISTA A 500 LA REVISTA B 500 LA REVISTA C 200 LAS REVISTAS B Y C 300 LA C Y LA A 300 LA A Y LA B 100 LA A, LA B Y LA C. VAMOS A RESOLVER CON LA AYUDA DE DIAGRAMAS DE VENN LAS SIGUIENTES PREGUNTAS: 1) ¿CUÁNTOS LEEN DOS Y SÓLO DOS REVISTAS? 2) ¿CUÁNTOS LEEN SÓLO UNA REVISTA? 3) ¿CUÁNTOS NO LEEN NINGUNA REVISTA?

DIAGRAMAS DE VENN REGIÓNES QUE SE FORMAN INTERPRETACIÓN DE LAS REGIONES IV = LEEN LAS 3 REVISTAS SON 100 IV Y V JUNTAS = PREFIEREN A Y C, QUE SON 300, PERO COMO YA SABEMOS QUE IV ES 100, ENTONCES V SERÁN 200 IV Y VI JUNTAS = LEEN B Y C QUE SON 200, COMO IV ES 100, VI DEBEN SER 100 IV Y II JUNTAS = PREFIEREN A Y B Y SON 300, IV ES 100, II ES ENTONCES 200. I, II, IV Y V = SÓLO LEEN A Y SON 600, COMO YA SABEMOS QUE: II =200, IV = 100 Y V = 200, TENDREMOS QUE I=100 II, III, IV Y VI = LEEN B Y SON 500, CONOCEMOS QUE II = 200, IV = 100, Y VI = 100, POR TANTO III = 100 V, IV, VI Y VII = PREFIEREN C Y SON 500, V= 200, IV = 100 Y VI = 100, VII = 100 A B C III VII IV III V VI

DIAGRAMAS DE VENN CANTIDADES EN LAS REGIONESRESPUESTAS A LAS PREGUNTAS 3) ¿CUÁNTOS NO LEEN NINGUNA REVISTA? SI SUMAMOS LA CARDINALIDAD DE CADA REGIÓN: n(I) + n(II) + n(III) + n(IV) + n(V) + n(VI) + n (VII) = 900 LAS 100 QUE FALTAN PARA 1000, QUE FUERON LAS ENCUESTADAS, SON LAS PERSONAS QUE NO LEEN NINGUANA DE LAS TRES REVISTAS. A B C I II IV III V VI VII

BUSCANDO LAS DEMÁS RESPUESTAS 1) ¿CUÁNTOS LEEN DOS Y SÓLO DOS REVISTAS? SON LOS QUE ESTAN EN LAS REGIONES II, V Y VI, ASÍ QUE SUMANDO SUS CARDINALIDADES TENEMOS: n(II) + n(V) + n(VI) = = 500 2) ¿CÚANTOS LEEN SÓLO UNA REVISTA? LOS QUE ESTAN EN LAS REGIONES I, III Y VII n(I) + n(III) + n(VII) = = 300 ¿QUÉ CANTIDAD DE LECTORES COMPRAN LAS TRES REVISTAS? LOS QUE ESTAN EN LA ZONA IV n(IV) = 100

EJERCICIO DE TAREA EN UNA SECUNDARIA CON 300 ALUMNOS, SE PRACTICAN FUTBOL (F), ATLETISMO (A) Y VOLEIBOL (V), SI 74 PRACTICAN V, 92 PRACTICAN A, 117 PRACTICAN F, ADEMÁS 24 PRACTICAN V Y F, 22 PRACTICAN F Y A, 19 PRACTICAN V Y A Y 9 LOS TRES DEPORTES. REALIZAR UN DIAGRAMA DE VENN Y RESPONDER: a)¿CUÁNTOS ALUMNOS NO PRACTICAN ALGUNO DE ESTOS TRES DEPORTES? b)¿CUÁNTOS PRACTICAN SÓLO F Y V? c)¿CUÁNTOS ALUMNOS PRACTICAN SÓLO UN DEPORTE?

Conjunto Universo y Conjunto Unitario Universo: Esta formado por todos los elementos que intervienen en una situación dada. Ejemplo: U =  x  x es un Estado de la República Mexicana  Unitario: Consta de un solo elemento. Ejemplo: M =  x  x es maestra de Álgebra de Prepa UPAEP Santiago de 1º B  A =  x  x es alumno de primer semestre de Bachillerato de UPAEP de nombre René Santos Gómez 

Representación de Subconjuntos Los representaremos ahora con un diagrama de Venn. K M L

PROPIEDADES DE LOS SUBCONJUNTOS 1)Cualquier conjunto esta incluido en si mismo, es decir es subconjunto de sí mismo. A  A 2)El conjunto vacio es un subconjunto de cualquier conjunto.   A. ¿Por qué? Como el conjunto no tiene elementos, si no fuera así, significaría que alguno de sus elementos no esta en otro. 3)Al conjunto que contiene todos los elementos se le denomina Conjunto Universal.

EJEMPLO Sea Z =  l, m, n  Escribir todos los posibles subconjuntos de Z: ,  l ,  m ,  n ,  l, m ,  m, n ,  l, n ,  l, m, n 

COMPLEMENTO DE UN SUBCONJUNTO Si tenemos un conjunto U =  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  y otro B =  3, 7 , decimos que B es subconjunto de U. Los elementos  1, 2, 4, 5, 6  están en U pero no están en B, este conjunto se representa como B c o B ’ y se lee “complemento de B” o “B prima”. B’ =  1, 2, 4, 5, 6  Su notación sería B’ =  x  U  x  B 

Ejemplos de Complemento de un Subconjunto Si U =  1, 2, 3… 20  y A  U y sabemos que: A =  x  x es un número par menor o igual a 20 , encontrar A’ A =  2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20  A’ =  x  x es un número non menor a 20  A’ =  1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19  A’ =  x  U  x  A 

Ejemplos de Complemento de un Subconjunto Si U =  a, b, c, d, e, f, g, h, i, j  y S  U y sabemos que: S =  a, g, h, i , encontrar S’ S’ =  b, c, d, e, f, j  S’ =  x  U  x  S 

OPERACIONES BÁSICAS CON CONJUNTOS Existen dos formas básicas para combinar conjuntos: la Unión y la Intersección. UNIÓN: Si L y M son dos conjuntos entonces la unión de L con M es el conjunto formado por los elementos de L o de M o de ambos y se representa como L  M. L  M =  x  L o x  M 

UNIÓN L =  1, 2, 3, 4  y M =  3, 4, 5, c, d  L  M =  1, 2, 3, 4, 5, c, d  Nótese que no se repiten los elementos que están en ambos conjuntos.