LECCIÓN 2 Estadística de Electrones y Huecos en Semiconductores Semiconductor Intrínseco Impurezas y su Estadística de Ocupación Semiconductor de Tipo N (no compensado) Semiconductor Compensado Semiconductor Degenerado

- - + Semiconductor Intrínseco 0 K 300 K Banda de conducción Eg=0.5-2eV Eg Banda de valencia Banda de conducción Semiconductor Intrínseco - Ge - + 300 K Hay 1 enlace roto por cada 109 átomos. Un electrón “libre” y una carga “+” (hueco) por cada enlace roto. 0 K

T = 0 K T > 0 K E EF f (E) Semiconductor Intrínseco Electrones E 1 0.5 EF f (E) T > 0 K Ec Ev Estados posibles gc(E) gv(E) T = 0 K

T > 0 K p = n E fv=1-f EF f (E) Electrones Semiconductor Intrínseco Estados posibles gc(E) gv(E) Ec Ev Electrones E 1 0.5 EF f (E) Semiconductor Intrínseco fv=1-f El nivel de Fermi tiene que ser tal que las áreas que representan huecos y electrones sean idénticas (semiconductor intrínseco) p = n Huecos T > 0 K Electrones

n = p Semiconductor Intrínseco En el semiconductor no degenerado el nivel de Fermi se encuentra en la banda prohibida >> kT Ee = E - Ec Eh= -(E-Ev) EFe=Ec - EF EFh=EF - Ev Las energías EFe y EFh son magnitudes positivas y >> kT, pues son las distancias de la banda de conducción al nivel de Fermi (dentro de la banda prohibida en un semiconductor no degenerado) y de éste a la banda de valencia.

Semiconductor intrínseco Semiconductor intrínseco no degenerado Válido para cualquier semiconductor no degenerado: Para dar una expresión final para las densidades de estados integrales en las bandas de conducción y valencia, habremos de integrar la densidad de estados para electrones y huecos:

DENSIDAD DE ESTADOS 1D k dk 2D kx ky 3D kx ky kz

DENSIDAD DE ESTADOS 1D k dk Bandas parabólicas

DENSIDAD DE ESTADOS kx ky E+dE E k+dk k

DENSIDAD DE ESTADOS

DENSIDAD DE ESTADOS Banda de conducción en un semiconductor ortorrómbico o en cúbicos con k distinto de 0. Banda de conducción “multi-valle” (GERMANIO)

Semiconductor Intrínseco ni (cm-3)

Si se introducen pequeñas cantidades de impurezas del grupo V - Ge Sb 1 2 3 4 5 0 K Tiene 5 electrones en la última capa, uno más que el Ge.

Si se introducen pequeñas cantidades de impurezas del grupo V - Ge Sb 1 2 3 4 300 K Sb+ 5 Al aumentar la temperatura apenas unas decenas de K será posible ionizar el átomo de Sb, ofreciendo electrones a BC. Se dice entonces que el Sb es una impureza dadora. En el Ge habrán más electrones que huecos. Es un semiconductor de tipo N.

0ºK - + - Impurezas 4 est./atm. 300 K 0 electr./atm. Energía Eg=0.67eV Interpretación en diagrama de bandas de un semiconductor extrínseco Tipo N - Energía Eg=0.67eV 4 electr./atm. 4 est./atm. 0 electr./atm. ESb= 0.039 eV 0ºK 3 est./atm. 1 electr./atm. - + 300 K El Sb da lugar a un nivel de energía permitido en la banda prohibida, muy cerca de la banda de conducción. La diferencia de energía entre dicho nivel localizado y la banda de conducción determinará la temperatura necesaria para tener suficientes electrones en ésta.

Si se introducen pequeñas cantidades de impurezas del grupo III - Ge Al 1 2 3 0 K Tiene 3 electrones en la última capa, uno menos que el Ge.

Si se introducen pequeñas cantidades de impurezas del grupo III - Ge Al 1 2 3 300 K Al- + - 4 (extra) Al aumentar la temperatura apenas unas decenas de K será posible que los átomos de Al capten electrones de la BV. Se dice entonces que el Al es una impureza aceptora. En el Ge habrán más huecos que electrones. Es un semiconductor de tipo P. 0 K

Energía - + Impurezas 300 K 4 electr./atom. 0 huecos/atom. 0 K Interpretación en diagrama de bandas de un semiconductor extrínseco Tipo P Energía Eg=0.67eV 4 electr./atom. 0 huecos/atom. 4 est./atom. EAl=0.067eV - 0 K + 3 electr./atom. 1 hueco/atom. 300 K El Al da lugar a un nivel de energía permitido en la banda prohibida, muy cerca de la banda de valencia. La diferencia de energía entre dicho nivel localizado y la banda de conducción determinará la temperatura necesaria para tener suficientes huecos en ésta.

Niveles de impureza en Silicio y Germanio Impurezas Niveles de impureza en Silicio y Germanio e- + Impurezas dadoras Si, Ge (4 e) N, P, As, Sb (5 e) SUSTITUCIONALES Impurezas aceptoras h+ - Si, Ge (4 e) B, Al, Ga, In (3 e)

Niveles de impureza en semiconductores compuestos (GaAs) Impurezas Niveles de impureza en semiconductores compuestos (GaAs) Impurezas dadoras sustituyendo al catión e- + As (5 e) Si, Ge, Sn, In (4 e) en lugar de Ga (3 e) SUSTITUCIONALES Impurezas dadoras sustituyendo al anión + e- Ga (3 e) S, Se, Te (6 e) en lugar de As (5 e)

Niveles de impureza en semiconductores compuestos (GaAs) Impurezas Niveles de impureza en semiconductores compuestos (GaAs) Impurezas aceptoras sustituyendo al catión h+ - As (5 e) Zn, Cd (2 e) en lugar de Ga (3 e) SUSTITUCIONALES Impurezas aceptoras sustituyendo al anión h+ + Ga (3 e) C, Si, Ge (4 e) en lugar de As (5 e)

Estadística de Electrones en Impurezas EV ED Se puede considerar un modelo hidrogenoide para un electrón ligado a la atracción de una impureza cargada positivamente, teniendo en cuenta que esta interacción está apantallada por la polarización del medio (constante dieléctrica relativa) Ee-e= energía de repulsión entre los dos electrones El estado de energía para el segundo electrón aparecería a una energía mucho mayor, confundido con los estados de la banda de conducción.

Estadística de Electrones en Impurezas EV ED Se puede considerar un modelo hidrogenoide para un electrón ligado a la atracción de una impureza cargada positivamente, teniendo en cuenta que esta interacción está apantallada por la polarización del medio (constante dieléctrica relativa) Ee-e= energía de repulsión entre los dos electrones El estado de energía para el segundo electrón aparecería a una energía mucho mayor, confundido con los estados de la banda de conducción.

Estadística de Electrones en Impurezas Fórmula de Gibbs número promedio de electrones en los niveles localizados (sólo puede ser ocupado por un electrón) 1 Vacío 2 1e spin up 1e spin down N E ED

Semiconductor de tipo N Nd = concentración de impurezas dadoras. Nd+ = concentración de impurezas dadoras ionizadas. nd = concentración de electrones en las impurezas Ecuación de neutralidad eléctrica: np = ni2

Semiconductor de tipo N Definiendo

Semiconductor de tipo N Solución válida hasta temperaturas muy elevadas (p<<Nd) (1) A temperaturas muy bajas, para las que Nd >> Nc, y por tanto podemos despreciar el 1 en la raíz y fuera de la raíz La concentración de electrones crece con una energía de activación igual a la mitad de la energía de ionización de las impurezas.

Semiconductor de tipo N (2) A temperaturas intermedias Nc aumenta y podríamos aproximar la solución a: (3) El siguiente rango de temperaturas se caracteriza porque todas las impurezas están ionizadas y comienza a dominar el régimen intrínseco: p

Semiconductor de tipo N Estas expresiones dan lugar a las obtenidas en el rango (2) cuando ni<<Nd y conducen al comportamiento intrínseco cuando ni>>Nd

Semiconductor de tipo N

Semiconductor Compensado Nd = concentración de impurezas dadoras. Na = concentración de impurezas aceptoras. Semiconductor compensado: Nd = 1016 cm-3 Na = 1014 cm-3

Semiconductor Compensado Nd = concentración de impurezas dadoras. Na = concentración de impurezas aceptoras. Semiconductor compensado: El efecto de Na aceptores se reduce a disminuir el número efectivo de dadores, ya que Na electrones pasarán a los niveles aceptores. En las ecuaciones anteriores bastará con sustituir Nd por Nd- Na (o viceversa si se trata de un tipo P). Si estuviesen en igual concentración, el comportamiento del semiconductor sería el intrínseco. La mayor diferencia tendrá lugar a bajas temperaturas, para las cuales, la concentración de electrones y huecos es pequeña en comparación a la impurezas ionizadas (la que domine, supongamos que Nd>Na).

Semiconductor Compensado Semiconductor compensado de tipo N (baja T): En el caso de compensación (tipo N), no muy lejos de T = 0 K, la energía de activación para la concentración de electrones coincide con la energía de ionización de la impureza dadora.

Semiconductor degenerado Cuando la concentración de impurezas es muy alta, el nivel de Fermi puede penetrar en las bandas varias unidades kT (alcanzándose una situación similar a la de los metales: hay que volver a la estadística de Fermi-Dirac. El semiconductor es degenerado.

Semiconductor degenerado Cuando la concentración de impurezas es muy alta, el nivel de Fermi puede penetrar en las bandas varias unidades kT (alcanzándose una situación similar a la de los metales: hay que volver a la estadística de Fermi-Dirac. El semiconductor es degenerado.

Semiconductor degenerado La concentración crítica es la que determina una distancia media entre impurezas del orden del radio de Bohr efectivo. Las impurezas ya no pueden considerarse aisladas: se forma una banda que se superpone con la banda de conducción. El semiconductor, incluso a baja temperatura tiene un comportamiento metálico: transición de Mott (aislante-metal).

Semiconductor degenerado Cuando el semiconductor es degenerado hay que utiliza la estadística de Fermi-Dirac, lo que no permite utilizar una expresión analítica exacta para las concentraciones de electrones y huecos, como en el caso no degenerado. Caso no degenerado: Degeneración total:

Semiconductor degenerado Cuando el nivel de Fermi supera Ec en varias unidades kT es posible obtener una relación analítica entre el nivel de Fermi y la concentración de electrones. Para ello es necesario realizar un desarrollo de Sommerfeld de n(EF): Donde c(E) es una primitiva de f(E). Aproximando la derivada de la función de distribución a una delta de Dirac