Teoría Semiclásica de las propiedades de transporte Lección 1 Teoría Semiclásica de las propiedades de transporte Velocidad de fase-velocidad de grupo. Modelo semiclásico: paquetes de ondas. Dinámica del electrón. Contribución de las bandas llenas al transporte de carga. Huecos: propiedades dinámicas. Modelo de Drude para semiconductores. Resistividad y efecto Hall. Magnetorresistencia. Conductividad en corriente alterna. Resonancia ciclotrónica

Velocidad de fase / velocidad de grupo Ondas sinusoidales Velocidad de fase Interferencia Los máximos corresponden a cierto valor de la fase

Velocidad de fase / velocidad de grupo Paquete de ondas

Aproximación semiclásica: paquete de ondas APROXIMACIÓN SEMICLÁSICA DE LOS ESTADOS ELECTRÓNICOS EN EL SÓLIDO: PAQUETE DE ONDAS Teoría cuántica Aproximación semiclásica: paquete de ondas g(k) solo es distinto de cero para un intervalo pequeño de k0, |k-k0| < Dk ~p/a DR >> a Velocidad electrón = Velocidad de grupo del paquete de ondas

En la aproximación semiclásica el paquete de ondas se mueve de acuerdo con las leyes de la macánica clásica TRANSPORTE DE CARGA

LAS BANDAS LLENAS NO CONTRIBUYEN AL TRANSPORTE DE ELECTRONES. En ausencia de campo eléctrico   LAS INTEGRALES, EXTENDIDAS A TODOS LOS VALORES DE k (dentro de la 1ª zona de Brillouin) SE ANULAN (ver Ashcroft-Mermim).

LAS BANDAS LLENAS NO CONTRIBUYEN AL TRANSPORTE DE ELECTRONES. En presencia de campo eléctrico  

CONTRIBUCIÓN DE BANDAS CASI VACÍAS (ELECTRONES) En ausencia de campo eléctrico  

CONTRIBUCIÓN DE BANDAS CASI VACÍAS (ELECTRONES) En presencia de campo eléctrico  

CONTRIBUCIÓN DE BANDAS CASI LLENAS (HUECOS) En ausencia de campo eléctrico  

CONTRIBUCIÓN DE BANDAS CASI LLENAS (HUECOS) En presencia de campo eléctrico  

Las bandas parcialmente llenas si contribuyen al transporte de electrones y lo podemos representar como si se tratase del transporte de cargas positivas ficticias: HUECOS (su masa efectiva será diferente).

Transporte de carga en una banda LCAO La velocidad resulta variar armónicamente, lo que indica que, en un sólido, un campo eléctrico uniforme daría lugar a una corriente alterna (esto si los portadores pudiesen alcanzar un k suficientemente grande). Este resultado es general dada la periodicidad de la relación e(k) en el espacio recíproco.

LEY DE OHM: CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA MODELO DE DRUDE En este modelo se supone que todos los electrones (o huecos) son dispersados en promedio con un intervalo de tiempo t (tiempo de relajación), perdiendo la energía adquirida en ese intervalo, lo que equivaldría al efecto de una fuerza disipativa En el estado estacionario LEY DE OHM: CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA

EFECTO HALL - - - - - - y + + + + + x z frecuencia ciclotrónica de los electrones Campo magnético en la dirección del eje Z Campos eléctricos y corrientes en el plano perpendicular). Multiplicando por (en) y sustituyendo envx=Jx y envy=Jy

Si la muestra tiene unos electrodos en las caras perpendiculares al eje X (campo eléctrico según X), que inyectan una corriente constante, y la muestra es finita entonces no puede haber flujo neto de carga en la dirección del eje Y. Muestra paralelepipédica: medidas con “4 puntas” h d l

MAGNETORRESISTENCIA - - - - - - y + + + + + x z En una muestra finita la conductividad es independiente del campo magnético: el campo de Hall compensa el efecto del campo magnético. x y z + + + + + - - - - - - Si la muestra es infinita no se anula ninguna componente de la densidad de corriente (y no aparecerá ningún campo de Hall). Las trayectorias electrónicas entre choques son arcos de circunferencia y el recorrido libre medio en la dirección del campo eléctrico es menor, lo que equivale a una disminución de la conductividad.

CONDUCTIVIDAD EN CORRIENTE ALTERNA En presencia de un campo eléctrico de la forma E0eiwt, es fácil ver que, si buscamos en la ecuación del movimiento soluciones de la forma v= v0eiwt: La conductividad pasa a ser compleja. Dado el valor tan pequeño de los tiempos de relajación, este efecto solo se observa para frecuencias muy elevadas (microondas) y en semiconductores para los que la movilidad sea alta.

CONDUCTIVIDAD versus SUSCEPTIBILIDAD (ELÉCTRICAS) En presencia de un campo eléctrico alterno de la forma E0eiwt

RESONANCIA CICLOTRÓNICA La resonancia ciclotrónica es un fenómeno de absorción resonante de ondas de alta frecuencia (microondas), en presencia de un campo magnético intenso (campo eléctrico E0eiwt y soluciones de la forma v= v0eiwt): Campo débil Campo intenso

La parte real del tensor conductividad tiene un máximo para w = wC , lo que indica que habrá un fenómeno resonante a esa frecuencia. Este fenómeno constituye la base del método más preciso utilizado para medir la masa efectiva (m*=eBres/w) según diferentes direcciones: Se han de producir dos condiciones: campo intenso (wCt>>1), para que un electrón complete varias órbitas ciclotrónicas sin ser dispersado, (ii) la energía que ganan los electrones al absorber las microondas ha de ser mayor que su energía térmica media ( ).

Interpretación cuántica de la resonancia ciclotrónica

Interpretación cuántica de la resonancia ciclotrónica a) Mínimo o máximo en k=0 (cúbico) b) Mínimo o máximo en k=0 (hexagonal o tetraédrico) o k 0 (cúbico)