Modelo de Drude Transporte en metales.

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1 Modelo de Drude Transporte en metales

2 Hacia 1900 se desarrolla el modelo de Drude, que se usa hasta hoy
Metales Poseen un conjunto de Propiedades Particulares Excelente conductor del calor y la electricidad Ductiles Maleables Superficie brillante La mayoría de los sólidos no son metálicos (Sales, óxidos) Sin embargo los metales son una de las substancias mas interesantes. 2/3 de los elementos son metálicos Hacia 1900 se desarrolla el modelo de Drude, que se usa hasta hoy

3 Suposiciones Básicas 1897 Decubrimiento del electron (Thomson) 1900 Desarrollo de Drude sobre la base de la teoría cinética de gases El sólido (metal) es neutro. Como los electrones son negativos y livianos, otras partículas positivas y pesadas compensan. Las partículas positivas están inmóviles. Supondremos que cuando los átomos del sólido se los pone uno junto a otro, los electrones de valencia se desprenden y vagan por el metal. Los iones juegan el role de las partículas positivas inmóbiles.

4 Aspectos Básicos de la Teoría
Se trata de partículas (electrones) que se mueven sobre un background de iones. Calculo de la densidad de electrones n=N/V: A: Masa atómica del elemento (gr/átomo) rm: Densidad en gr/cm3. Otro parámetro interesante es rs, radio de la esfera cuyo volumen es igual al volumen por electrón de conducción. rs puede expresarse en términos del radio de Bohr

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6 Detalles del Modelo A pesar de la elevada densidad del gas de los electrones, el modelo los trata con la teoría de un gas diluido, con algunas modificaciones. Se desprecian las interacciones del electrón con los otros electrones y con los iones entre dos colisiones sucesivas. Implica que en ausencia de un campo externo entre colisiones se mueve en línea recta. Con un campo externo el electrón se moverá de acuerdo a la ley de Newton. Siempre ignorando la presencia de los otros electrones. Se conoce como Aproximación de electrones independientes. Se define una colisión como un evento instantáneo que altera la velocidad del electrón. Drude propone que estas colisiones ocurren con los iones y no con los otros electrones

7 Detalles del Modelo Se supone que el electrón tiene una colisión con una probabilidad por unidad de tiempo 1/t. Con esto la probabilidad que en un diferencial de tiempo dt el electrón sufra una colision es dt/t. Nombres para t : Tiempo de relajación, Tiempo de colisión o entre colisión, o Tiempo medio libre. Significado: el electrón elegido de manera aleatoria habrá viajado por un tempo t antes de colisionar Se supone que t es independiente de la posición y velocidad del electrón. El equilibrio térmico de los electrones solo se logra por intermedio de estas colisiones. Luego de cada colisión el electrón emerge de la misma con su velocidad que no tiene relación con su velocidad anterior. La dirección emergente es aleatoria y apropiada a la T del lugar de la colisión.

8 Conductividad dc de un metal
La corriente que fluye por un alambre metálico es, de acuerdo a la ley de Ohm: I=V/R , donde R es independiente de V y de I. La manera de independizarlo de la geometría es con r . E= r j La relación entre R y r es R= r L/A. Si n electrones se mueven con velocidad v darán lugar a una corriente en la dirección de la velocidad En un tiempo dt se habrán desplazado vdt, de modo que n(vdt)A habrán atravesado el área A perpendicular a v. Como cada electrón porta una carga –e , de modo que la corriente que atraviesa A será –nevAdt, y la densidad de corriente será j= -nev . Esta es la corriente media en cualquier punto, y v es la velocidad. En ausencia de campo eléctrico v será cero, por lo tanto j tambien. En caso de la presencia de un campo E la velocidad media no será nula

9 Conductividad dc de un metal
Sea t el tiempo transcurrido desde la última colisión. La velocidad en ese momento será la velocidad luego de la colisión v0, mas un adicional adquirida debido al campo: -eEt/m. Como el electrón emerge de la colisión en una dirección aleatoria, lo referido a la contribución de v0 será nula. En consecuencia la velocidad media serála que venga de la contribución -eEt/m, pero considerando el tiempo t. (j= -nev ) Usualmente esto se pone en términos de la inversa de la resistividad r, la conductividad s

10 Conductividad dc de un metal
A partir de esta ecuación es posible estimar el tiempo de relajación t= m/rne2

11 Conductividad dc de un metal

12 Conductividad dc de un metal
De acuerdo a la tabla los valores típicos de la resistividad está en el orden de mohm-cm. (rm es en esta unidad) A temperatura ambiente el valor de t es típicamente a segundos. Para un mejor entendimiento de este número es mejor evaluar el camino libre medio l=v0t . En la época de Drude la velocidad media se evaluaba con el teorema de equipartición de la energía: ½ mv02= ⅔ kBT. Calcular la velocidad media y el camino libre medio a temperatura ambiente

13 Ecuación del movimiento
Dos situaciones: con el campo eléctrico constante y con el campo eléctrico variable en el tiempo. En términos del momento Dado el momento p(t) al tiempo t, calculemos cual será su valor a t+dt. Este electron tiene una probabilidad de chocar en ese tiempo que es dt/t, y una probabilidad de no haber chocado: 1-dt/t Si no hay colisiones en ese tiempo simplemente evolucionara bajo una fuerza f(t). En ese tiempo habrá adquirido un momento adicional f(t)+O(dt)2. La contribución de los electrones que no colisionan entre t y t+dt es una fracción (1-dt/t) por su momento medio. Despreciando la contribución de los que colisionan en este periodo tendremos

14 Ecuación del movimiento
La contribución de los electrones que si han colisionado entre t y t+dt es del orden de (dt)2 Por que? : estos electrones son solo una fracción dt/t. Estos solo contribuirán a agrandar p solo si adquieren algo de momento en la dirección de v . El momento que adquieren es f(t) dt, como máximo. La corrección a lo de arriba será entonces del orden de dt/t f(t) dt. En consecuencia no afectan el primer orden en dt . Reescribiendo Dividiendo por dt y tomando el limite para dt tendiendo a cero tenemos

15 Efecto Hall y Magnetoresistencia
El experimento de hall surge como busqueda de la magnetoresistencia. En la configuración del experimento hay dos relaciones de interes: La magnetoresistencia y el coeficiente Hall

16 Efecto Hall y Magnetoresistencia
En la mayoría de los metales signo de RH es concordante con portadores de carga negativos. Solo en algunos casos es positivo. Esto lleva a la necesidad de mejorar la teoría de metales. Consideremos la magnetoresistencia teniendo en cuenta un campo Ex y Ey, y un Hz. La fuerza actuando sobre cada electrón será: En el estado estacionario

17 Efecto Hall y Magnetoresistencia
Multiplicando estas ecuaciones Por –net/m, se tiene: Siendo s0 la conductividad de corriente continua El campo de Hall Ey es determinado con el requerimiento que la corriente transversal sea cero (jy=0) Notar que el coeficiente solo depende de n. En la realidad R depende también del campo y la temperatura. Se requiere una Teoría mas elaborada para tener en cuenta este comportamiento

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19 Magnetoresistencia Caso del Aluminio
Los resultados de la teoría de Drude dejan claro que la resistividad no es funcion de H (segunda ecuación). La cantidad wct es importante. Si su valor es pequeño J es practicamente paralelo a E. El ángulo entre E y J es conocido como Angulo de Hall. (tan f= wct ) wc es la frecuencia de cicrotrón. Caso del Aluminio

20 Conductividad alterna (ac)
Sea un campo eléctrico La ecuación del movimiento se convierte en La solución al estado estacionario es de la forma Reemplazando tenemos Dado que j= -nep/m Se puede escribir Esto se conoce como conductividad dependiente de la frecuencia

21 Conductividad alterna (ac)
Hay un par de aproximaciones, la primera tiene que ver con no haber considerado el efecto del Campo magnético. La relación entre ambos campos tiene un factor v/c. La segunda tiene que ver con que la misma fuerza ha actuado sobre el electrón todo el tiempo. Mientras que en este caso el campo varía en el espacio. El calculo está localizado en r. Este campo pudo haber variado entre el r y el último punto de la colisión. Esta distancia no es mayor al camino libre medio. Por lo tanto si la longitud de onda de la perturbación es >> que el c.l.m., entonces la aproximación es correcta. Esto es aplicable al campo electrico de la luz visible, cuya longitud de onda es en general >> que el c.l.m.

22 Interacción con el campo EM
Las ecuaciones de Maxwell Teniendo en cuenta la dependencia temporal Tenemos: Esto toma la forma de la ecuación de onda Con una constante dieléctrica compleja dada por:

23 Interacción con el campo EM
En la aproximación wt>>1 En primera aproximación tenemos Donde tenemos la frecuencia del plasma Cuando e es real y negativo la onda decae exponencialmente en el espacio (wp >w). Mientras que si e es positiva (wp <w) la solución se vuelve oscilatoria. En este caso el metal es transparente. Expresando en términos de las variables atómicas: Con los valores de resistividad y radios atómicos se puede verificar la condición wp t >>1

24 Frecuencia de Plasma Los metales alcalinos se vuelven transparentes en la región ultravioleta

25 Oscilaciones de carga Una perturbación de la carga eléctrica en un metal, o en un gas de electrones, genera oscilaciones con frecuencia w De la ecuación de continuidad Con la ley de Gauss De la Ecuacion de Ohm : J(w)=s(w)E(w) tenemos Esto tiene solución si La naturaleza de estas ondas de densidad de carga (plasmones u oscilaciones de plasma) se entiende en términos de un modelo simple

26 La consecuencia termina siendo la oscilación de las cargas
La consecuencia termina siendo la oscilación de las cargas. Se las denomina oscilaciones de Plasma o Plasmones.