Sucesiones

Sucesiones Tipos de Sucesiones 1. Sucesión Literal Una sucesión es un conjunto ordenado de números, letras o figuras, tal que cada uno ocupa un lugar establecido; acorde con una ley de formación, criterio de ordenamiento o fórmula de recurrencia. Tipos de Sucesiones 1. Sucesión Literal Es el conjunto ordenado por letras; deacuerdo a un determinado criterio como es:

Iniciales de palabras conocidas. Lugar que ocupa cada letra (no se considera la CH ni la LL, a no ser que lo indique el problema) A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 J 10 K 11 L 12 M 13 N 14 Ñ 15 O 16 P 17 Q R S 18 T 21 U 22 V 23 W 24 X 25 Y 26 Z 27 Iniciales de palabras conocidas. Formación de palabras

Ejemplo: Resolución: ¿Qué letra sigue en cada caso? A; D; H; K; U; … L; P; M; S; M; T; J; C; V; … O; D; N; U; G; E; … Resolución: Reemplazando cada letra por el lugar que ocupa en el alfabeto tenemos A; D; H; K; U; X 1 4 8 11 22 25 +3 x2 +3 x2 +3

L; P; M; S; M; T; J; C; V; Q O; D; N; U; G; E; S II. Examinando: RIMERO ARTES EGUNDO IERCOLES ERCERO UEVES UARTO IERNES UINTO III. De derecha a izquierda se lee: SEGUNDO Es decir: O; D; N; U; G; E; S

2. Sucesión Gráfica Ejemplo: Están formados por figuras ordenadas de acuerdo a criterios lógicos. Ejemplo: ¿Qué figura sigue en cada caso? I. II.

Resolución: I. Analizando la figura observamos que: 90 0 Rota 90° en sentido antihorario, la bolita interior cambia de lugar entre los dos triángulos pequeños y la sombra rota en sentido horario. II. Analizando la figura se observa que: La sombra avanza en sentido antihorario.

El punto avanza en sentido antihorario El otro punto avanza en sentido antihorario. avanza 1 avanza 1 avanza 1

3. Sucesiones Numéricas Ejemplo N° Ordinal 1° 2° 3° 4° … n° Términos Es un conjunto ordenado de números; es decir cada elemento tiene un orden designado. N° Ordinal 1° 2° 3° 4° … n° Términos 2; 4; 6; 8; … ; 𝑡 𝑛 =2𝑛 Ejemplo Halle el término enésimo 𝑡 𝑛 de: 3 5 ; 6 10 ; 9 17 ; 12 26 ; …

Resolución: Asociando cada término con el lugar que ocupa: 3 5 ; 6 10 ; 9 17 ; 12 26 ; … 𝑡 𝑛 3(1) 2 2 +1 ; 3(2) 3 2 +1 ; 3(3) 4 2 +1 ; 3(4) 5 2 +1 ; … 3(𝑛) (𝑛+1) 2 +1 Por lo tanto: 𝑡 𝑛 = 3𝑛 (𝑛+1) 2 +1

3.1. Sucesiones Especiales De los números primos 2; 3; 5; 7; 11; 13;… De Fibonacci 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; … De Feinberg (tribonacci) 1; 1; 2; 4; 7; 13; 24; … De Lucas 1; 3; 4; 7; 11; 18; … Oscilante 1; −1; 1; −1; 1; −1; …

3.1. Sucesiones Notables De los números naturales 1; 2; 3; 4; 5; 6;…; 𝑡 𝑛 =𝑛 De los números impares o en escuadra 1; 3; 5; 7; 9; 11;…; 𝑡 𝑛 =2𝑛−1 De los números triangulares 1; 3; 6; 10; 15; 21;…; 𝑡 𝑛 = 𝑛(𝑛+1) 2

De los números cuadrados 1; 4; 9; 16; 25; 36;…; 𝑡 𝑛 = 𝑛 2 De los números pentagonales 1; 5; 12; 22;…; 𝑡 𝑛 = 𝑛(3𝑛−1) 2 De los números hexagonales 1; 5; 12; 22;…; 𝑡 𝑛 = 𝑛(3𝑛−1) 2

Sucesiones Numéricas importantes 1. Sucesión Lineal También conocida como sucesión de primer orden o progresión aritmética 𝑡 1 ; 𝑡 2 ; 𝑡 3 ; 𝑡 4 ; … ; 𝑡 𝑛 +r +r +r El término enésimo se calcula así: t n = t 0 +nr Donde: t n =último término t 0 = t 1 −r r=razón aritmética n=número de términos

Ejemplo: Halle el término enésimo y el término de lugar 40 en la siguiente sucesión: 7; 13; 19; 25; … Resolución: Se trata de una progresión aritmética: 𝑡 1 𝑡 2 𝑡 3 𝑡 4 … 𝑡 𝑛 7; 13; 19; 25; … +6 +6 +6 r=6 Como: 𝑡 𝑛 = 𝑡 1 + 𝑛−1 𝑟 𝑡 𝑛 =7+ 𝑛−1 6 𝑡 𝑛 =6𝑛+1 𝑡 40 =6 40 +1 𝑡 40 =241

2. Sucesión o Progresión geométrica Se denomina así a la sucesión en la cual, cada término que continúa a partir del segundo término, se obtiene del inmediato anterior al multiplicarlo por un número diferente de cero, llamado razón geométrica (q) Dada la progresión geométrica (P.G) 𝑡 1 ; 𝑡 2 ; 𝑡 3 ; 𝑡 4 ; … ; 𝑡 𝑛 xq xq xq El término enésimo se calcula así: t n = t 1 . 𝑞 𝑛−1 Donde: t n =último término t 1 =primer término r=razón aritmética n=número de términos

Ejemplo: 3. Sucesión Cuadrática 𝑡 𝑛 =𝑎 𝑛 2 +𝑏𝑛+𝑐 Llamada sucesión polinomial de segundo orden. Son aquellos en el cuál la razón constante aparece en segunda instancia. Su término enésimo es de la forma: 𝑡 𝑛 =𝑎 𝑛 2 +𝑏𝑛+𝑐 Donde a; b y c se calculan aplicando una regla práctica que lo explicaremos con el siguiente ejemplo: Ejemplo: Calcular el trigésimo término en: 3; 13; 29; 51; …

Solución: -1 3; 13; 29; 51; … 4 10 16 22 6 6 6 Los valores obtenidos: Primero debemos hallar el término anterior al primero -1 3; 13; 29; 51; … 4 10 16 22 6 6 6 Los valores obtenidos: 6; 4 y -1 nos permiten hallar a; b y c Así: 𝑎= 6 2 =3 𝑏=4−𝑎=4−3=1 𝑐=−1 𝑡 𝑛 =𝑎 𝑛 2 +𝑏𝑛+𝑐 Reemplazando a; b y c tenemos que: 𝑡 𝑛 =3 𝑛 2 +𝑛−1 Piden 𝑡 30 ; entonces: 𝑡 30 =3 30 2 +30−1 𝑡 30 =2729

3. Sucesión Polinomial de mayor orden Son de la forma: 𝑡 1 ; 𝑡 2 ; 𝑡 3 ; 𝑡 4 ; 𝑡 5 ; … ; 𝑡 𝑛 a b c d m n p +r +r Su término enésimo se calcula así: 𝑡 𝑛 = 𝑡 1 + 𝑛−1 1 𝑎+ 𝑛−1 𝑛−2 1𝑥2 𝑚+ 𝑛−1 𝑛−2 𝑛−3 1𝑥2𝑥3 𝑟

Ejemplo: Resolución: Halle el término enésimo de: 2; 10; 28; 60; 110; … Resolución: Como: 2; 10; 28; 60; 110; … 8 18 32 50 10 14 18 4 4 𝑡 𝑛 =2+ 𝑛−1 1 𝑥8+ 𝑛−1 𝑛−2 1𝑥2 𝑥10+ 𝑛−1 𝑛−2 𝑛−3 1𝑥2𝑥3 𝑥4 𝑡 𝑛 =2+8 𝑛−1 +5 𝑛−1 𝑛−2 + 2 3 𝑛−1 𝑛−2 (𝑛−3) Operando: 𝑡 𝑛 = 2 3 𝑛 3 + 𝑛 2 + 𝑛 3