Décima sesión Orbitales: gráficas de la parte angular (2)

Jueves 13: Primera práctica a las 18:00 h Martes 18: Primer examen

Resumen Postulados de la Mecánica Cuántica Interpretación del cuadrado de la función de onda Operadores hermitianos –Propiedades y teoremas Ortogonalidad y ortonormalidad Problemas básicos de la mecánica cuántica

Partícula en un pozo de potencial unidimensional Partícula libre Partícula en un pozo de potencial tridimensional Partícula en un pozo de potencial unidimensional con paredes finitas Oscilador armónico unidimensional Rotor rígido de dos partículas

Efectos cuánticos Principio de incertidumbre Efecto túnel Energía de punto cero

Átomo hidrogenoides

E 0 1s 2s 3s 2p 3p 3d D=1 D=4 D=9 Diagrama de niveles de energía (Hidrogenoides)

Orbitales del Hidrógeno

Parte angular de los orbitales (Armónicos esféricos)

Parte angular de los orbitales s en polares En coordenadas esféricas polares:

Tarea 38

¿En esféricas?  =0 Plano xz

ΘY 10 Y 10 2 ΘY 10 Y

ΘY 10 Y 10 2 ΘY 10 Y

pzpz pz2pz2

Ilián Serrano

pzpz + -

+ - pzpz

pxpx

pypy

¿Qué son? Ejemplos de varios libros

Simetría ante inversión

+

+ Gerade

Ungerade

Gerade

Ungerade

Curvas de nivel

Curvas de nivel (2)

Curvas de nivel (3)

Curvas de nivel (4)

Curvas de nivel 1s

Curvas de nivel 2s

Curvas de nivel 3s

Densidad electrónica

Curvas de nivel

Representaciones incompletas más usuales a)Parte angular de un orbital p. b)Cuadrado de la parte angular de un orbital p.

Orbital viewer

The Orbitron

The Orbitron (2)

The Orbitron (3)

The Orbitron (4)

The Orbitron (5)

Efecto Zeeman Pieter Zeeman ( ). Premio Nóbel en 1902.

Espectro de Emisión

Efecto Zeeman

Efecto Zeeman (2)

E 0 1s 2s 3s 2p 3p 3d D=1 D=4 D=9 Diagrama de niveles de energía (Hidrogenoides)

Efecto Zeeman (3) Se rompe la simetría, se rompe la degeneración.

Efecto Zeeman (4)

Efecto Zeeman (5) Los valores de m son los responsables. Número cuántico magnético.

Momento angular en mecánica cuántica

Momento Angular Orbital Tanto el rotor rígido como el Átomo de Hidrógeno contienen en su solución a los armónicos esféricos: Y l.m Vimos además, que dichas funciones son propias de los operadores momento angular al cuadrado y la componente en z del momento angular. Eso nos habla de la importancia del momento angular en mecánica cuántica.

Momento Angular Orbital (2)

Momento Angular Orbital (3) Analizaremos el tema del momento angular con dos objetivos –Familiarizarnos con el álgebra de operadores –Entender los fundamentos para la comprensión del espín electrónico

Momento Angular Orbital (4)

Momento Angular Orbital (5)

Momento Angular Orbital (6)

Conmutación e incertidumbre Si dos operadores conmutan, es posible medir precisa y simultáneamente las propiedades correspondientes a esos dos operadores. Si los operadores no conmutan, existe una relación de incertidumbre entre las propiedades correspondientes. Veamos que pasa con los operadores de momento angular:

Momento Angular Orbital (6) Se puede demostrar que el operador momento angular al cuadrado conmuta con cualquiera de las componente. Sin embargo, ninguna de las componentes conmuta con las otras.

Momento Angular Orbital (7)

Conmutación e incertidumbre (2) El significado físico de los conmutadores es que solo se pueden medir de manera precisa el cuadrado del momento angular y una componente. Es decir, es imposible conocer exactamente en un tiempo dado más de una componente del momento angular. Por convención, la componente medible se toma como la componente z.

Conmutación e incertidumbre (3) El eje Z queda frecuentemente definido por un campo eléctrico o un campo magnético.

El espín electrónico

Espín (1) Poco tiempo después de que se desarrollara la mecánica Cuántica George Uhlenbeck ( ) y Samuel Goudsmit (1902–1978) postularon que el electrón posee un momento angular intrínseco, al que llamaron momento angular de espín.

Espín (2) Esta nueva propiedad, muchas veces llamada simplemente espín tiene características poco comunes debido a que no existe un análogo clásico para el espín. Este es un resultado que no predice la resolución de la ecuación de Schrödinger, pero si la de Dirac (efecto relativista).

Evidencias experimentales del espín 1.Experimento de Stern y Gerlach. 2.Las espectroscopias de resonancia magnética nuclear y electrónica. 3.El efecto anormal de Zeeman. 4.La estructura fina de los espectros atómicos.

Experimento de Stern y Gerlach

Efecto anormal de Zeeman Aún sin la presencia de un campo magnético había líneas del espectro que se desdoblaban. En presencia de un campo magnético había más líneas que las esperadas para los valores de m.

Espín (3) Debido a que no existen análogos clásicos para el espín, no podremos seguir los procedimientos acostumbrados, que empiezan por escribir la expresión clásica. Por lo tanto se introducirá con una serie de postulados que se justifican a posteriori, pues explican correctamente los experimentos.

El Espín. Postulado I Los operadores para el momento angular de espín conmutan y se combinan de la misma forma que los operadores para el momento angular ordinario.

Comentario Por lo tanto, se tienen operadores

El Espín. Postulado II Para un solo electrón existen exclusivamente dos valores propios simultáneos de los operadores espín al cuadrado y componente z del espín. Estos valores se llaman α y β y tienen como ecuaciones de valores propios:

Paréntesis (Unidades Atómicas) La apariencia de muchas ecuaciones en mecánica cuántica (y otros campos) se simplifica considerablemente si las cantidades físicas que aparecen se expresan como múltiplos de varias constantes o de una combinación de ellas. Éstas constantes y múltiplos no son estrictamente unidades, pero frecuentemente se tratan como si lo fueran.

Unidades Atómicas (2) Así, en el sistema de unidades atómicas: –La masa se expresa en múltiplos de la masa del electrón m e –La carga, en múltiplos de la unidad de carga e –La longitud, en múltiplos del primer radio de Bohr a 0 –La acción (energía x tiempo) en términos de ħ

Unidades Atómicas (3) Así, en unidades atómicas, la expresión:

Unidades Atómicas (4) La energía se expresa en Hartrees: Douglas Rayner Hartree ( )

El Espín. Postulado II Para un solo electrón existen exclusivamente dos valores propios simultáneos de los operadores espín al cuadrado y componente z del espín. Estos valores se llaman α y β y tienen como valores propios:

Comentario Si expresamos el espín en unidades atómicas, entonces ħ=1 y se dice que las funciones α y β son funciones propias de la coordenada z del espín con valores propios de +½ y -½, respectivamente. Se supondrá que las funciones α y β están normalizadas, es decir las integrales sobre todo el espacio de espín de α 2 y β 2 son iguales a 1 y también son ortogonales de acuerdo con el Teorema II.

Teorema II “Las funciones propias que provienen de diferentes valores propios de un operador hermitiano son ortogonales”.

El Espín. Postulado III El electrón girando actúa como un imán, cuyo momento dipolar magnético es:

Comentario Las cantidades g 0 y β m son, respectivamente el factor de desdoblamiento espectroscópico = x erg G -1 y el magnetón de Bohr = x erg G -1. g 0 originalmente se obtuvo empíricamente, pero después se dedujo a partir de la teoría de Dirac (relativista)

Comentario (2) El signo menos indica que la dirección del vector momento dipolar es antiparalela a la del vector espín. Lógicamente, para la componente z del vector momento magnético será:

Comentario (3) Debido a que el operador de espín afecta exclusivamente a las “coordenadas de espín”, conmuta con todos los operadores que sean función solamente de las coordenadas espaciales. Así, los operadores

Comentario (4) Entonces se pueden escoger las funciones propias simultáneas a los cinco operadores. Por lo tanto, se acostumbra caracterizar a las funciones de onda atómicas con cuatro números cuánticos: n, l, m, S z o n, l, m l, m s Con lo que puede considerarse a un solo electrón como si se moviera en un espacio de 4 dimensiones (tres espaciales y una de espín).