Problema Dual INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Problema Dual

 En el desarrollo de la programación Lineal, se descubrió la existencia de un problema que se encuentra estrechamente relacionado con un problema de Programación Lineal dado:  Dicho problema se denominó PROBLEMA DUAL.  Cada problema dado (Problema principal, Problema primo, Problema primero), de programación lineal, tiene un problema dual  Problema dual que tiene las siguientes y muy interesantes características

En problemas de un gran número de restricciones, resolver el problema dual en la computadora es más eficiente que resolver el problema principal. En algunas ocasiones resulta más sencilla la resolución del problema dual que la del problema principal, en términos de menor número de iteraciones. Los valores óptimos de las variables del dual, proporcionan una interpretación económica del problema principal, interesante.

Algunas veces se puede evitar el uso de las variables artificiales (Super-Avit), mediante la aplicación del método de solución denominado Dual – Simplex, sobre el problema dual. Facilita el estudio del impacto sobre la optimalidad por cambios en el problema original.

Si tenemos un problema de programación lineal así: Problema PrincipalProblema Dual Existe otro problema, el Dual, que se expresa así:

El siguiente ejemplo numérico Fíjese que cada restricción del problema principal está representada por una variable en el dual.

Otro ejemplo numérico es el siguiente: El problema principal tiene cuatro (4) restricciones, Entonces el dual tendrá cuatro (4) variables. Cada uno de los recursos del problema principal estará representado por una variable en el problema dual.

 El dual del dual, tiene como resultado el problema principal.  Una restricción que es una igualdad en el problema principal, genera una variable en el dual sin restricción en el signo  Una variable del problema principal, sin restricción en el signo, genera una restricción de igualdad en el problema dual. Entre el problema principal y el problema dual existen las siguientes relaciones:

 El número de restricciones del problema principal es igual al número de variables en el problema dual.  El número de variables del problema principal es igual al número de restricciones en el problema dual.

EL MÉTODO DUAL – SIMPLEX  Una vez formulado el problema dual, debemos encontrar su solución, el método a emplear será el denominado  Método Dual-Simplex el cuál empieza con una solución óptima o mejor que óptima (Zj – Cj > 0 ; ∀ j ), pero no factible (Algunos bi son < 0).  Esta se mueve hacia el óptimo mediante iteraciones que mejoran su factibilidad conservando su optimalidad.  Es lo contrario al método Simplex, en donde se empieza mediante una solución factible pero no óptima y mediante iteraciones se mejora la optimalidad, conservando la factibilidad.

EL MÉTODO DUAL – SIMPLEX

Ejemplo Prototipo Un fabricante tiene tres centros de distribución en: Bogotá, Medellín y Cali. Estos centros tienen disponibilidades de: 20, 50 y 40 unidades respectivamente. Sus detallistas requieren los siguientes cantidades: Pereira 25, Tulúa 10, Anserma 20, Ibagué 30 y Armenia 15. El costo de transporte por unidad en pesos entre cada centro de distribución y las localidades de los detallistas se dan en la siguiente tabla: Cuantas unidades debe mandar el fabricante desde cada centro de distribución a cada detallista, de manera que los costos totales de transporte sean mínimos?

Ejemplo Prototipo X ij = Cantidad de unidades a enviar desde el centro de distribución i al detallista j. i = 1 = Bogotá j = 1 = Pereira j = 4 = Ibagué i = 2 = Medellín j = 2 = Tulúa j = 5 = Armenia i = 3 = Cali j = 3 = Anserma Minimizar Z = 55X X X X X X X X X X X X X X X 35 Sujeta a: X 11 + X 12 + X 13 + X 14 + X 15 ≤ 20 X 21 + X 22 + X 23 + X 24 + X 25 ≤ 50 X 31 +X 32 + X 33 + X 34 + X 35 ≤ 40 X 11 + X 21 + X 31 ≥ 25 X 12 + X 22 + X 32 ≥ 10 X 13 + X 23 + X 33 ≥ 20 X 14 + X 24 + X 34 ≥ 30 X 15 + X 25 + X 35 ≥ 15 Xij ≥ 0 ; i = 1, 2 y 3 ; j = 1, 2, 3, 4 y 5 Disponibilidad máxima de los centros de distribución Requerimientos mínimos de los Detallistas

Tabla Final Simplex WinQSB ( fraccionada )

Juan José Bravo B., M.Sc. Su identificación en la Tabla Final Simplex Precios Sombra y Costos Reducidos Observe el renglón (Cj – Zj) de la Tabla Final arrojada por el WinQSB. (Verifique que se trata de una tabla optima de minimizacion) Cada valor de este renglón tiene un importante significado y por ello estos valores se dividen en dos grupos: a) Los llamados Precios Sombra (ó Precios Duales)  Asociados a las Variables de Holgura y Exceso b) Los Llamados Costos Reducidos  Asociados a las variables originales (en este caso las X ij )

Los Precios Sombra ó Precios Duales

Juan José Bravo B., M.Sc. Significado Económico de los Precios Sombra Existe un Precio Sombra por cada restricción Restricción 1 Restricción 2 Restricción 3 Restricción 4 Restricción 5 Restricción 6 Restricción 7 Restricción 8 Precio Sombra Y 1 = 0 Y 2 = 0 Y 3 = - 10 Y 4 = 35 Y 5 = 30 Y 6 = 40 Y 7 = 45 Y 8 = 40 /1 Precio que estamos dispuestos a pagar por un recurso adicional en cada restricción “ ≤ ”. Tienen un efecto NULO ó FAVORABLE en el valor de la Funcion Objetivo. Precio que estamos dispuestos a pagar por un recurso adicional en cada restricción “≥”. Tienen un efecto NULO ó DESFAVORABLE en el valor de la Funcion Objetivo. ¿ Por qué Y 3 =-10 ?

Juan José Bravo B., M.Sc. Identifique los Precios Sombra (Shadow Prices) en la solución proporcionada por el software WinQSB, centrándose en la parte correspondiente al análisis de restricciones. Significado Económico de los Precios Sombra /2 Estos corresponden a los rangos de variación del Lado Derecho de las restricciones, en donde los Precios Sombra mostrados tienen vigencia. Es decir, cuando quiero hacer sensibilidad y cambio el lado derecho de las restricciones, al salirme de estos rangos el problema cambia, algunas variables que eran básicas ya no lo son (cambia el Basis Status que muestra la siguiente diapositiva), los precios sombra pueden cambiar y el análisis ya no lo puedo hacer con los precios sombra mostrados. Veremos luego qué análisis es al que nos referimos.

Significado Económico de los Precios Sombra /3 Detalle las Variables que actualmente son Básicas en la columna Basis Status Cuando se modifica un modelo y se dice que “ la Base no cambió ” es porque las variables básicas continúan siéndolo según el Basis Status.

Significado Económico de los Precios Sombra /4 Observe en la Tabla Final Simplex que: Z opt = $3.525 Variable Holgura/Exceso Holgura = 0 Holgura = 10 Holgura = 0 Exceso = 0 Disponibilidad del Recurso C120 C250 C340 C425 C510 C620 C730 C815 Note que: 20Y Y Y Y Y Y 6 +30Y Y 8 = $3.525 Precio Sombra Y 1 = 0 Y 2 = 0 Y 3 = - 10 Y 4 = 35 Y 5 = 30 Y 6 = 40 Y 7 = 45 Y 8 = 40 Estado del Recurso Escaso Abundante Escaso Sin Exceso

Maximizar D = 20Y Y Y Y Y Y 6 +30Y Y 8 Función Objetivo Dual Minimizar Z = 55X X X X X X X X X X X X X X X 35 Función Objetivo Primal (Original) Z opt = $3.525 D opt = $3.525 Los cambios en el Z opt al variar los lados derechos de las restricciones, pueden estudiarse analizando la Función Objetivo Dual, y observando los cambios en D opt. Hay que recordar que: D opt = Z opt Significado Económico de los Precios Sombra /5

Significado Económico de los Precios Sombra /6 Disponibilidad del Recurso C120 C250 C340 Precio Sombra Y 1 = 0 Y 2 = 0 Y 3 = - 10 Estado del Recurso Escaso Abundante Escaso Precio Sombra Interpretación Básica Y 1 = 0 A pesar de que el recurso es escaso, estamos dispuestos a pagar $0 por una unidad adicional de este recurso (capacidad de Centro de Distribucion 1). Observando los rangos de variación, vemos que si la capacidad de la fabrica 1 se incrementa unitariamente hasta 25, la Base no cambia y además el Zopt tampoco según lo indica la Función Obj. Dual. Efecto NULO en el Valor Objetivo. Y 2 = 0 Recurso abundante, y por lo tanto es razonable estar dispuestos a pagar $0 por una unidad adicional de capacidad en el C. de D. 2. Efecto NULO en el Valor Objetivo. Y 3 = - 10 Recurso escaso, y estoy dispuesto a pagar $10 por cada unidad adicional de capacidad en el C.de.D 3. Según la Función Obj. Dual y los rangos de variación R.H.S., por cada incremento unitario de capacidad hasta 45, la función objetivo disminuirá en $10. Efecto FAVORABLE en el Valor Objetivo.

Significado Económico de los Precios Sombra Disponibilidad del Recurso C425 C510 C620 C730 C815 Precio Sombra Y 4 = 35 Y 5 = 30 Y 6 = 40 Y 7 = 45 Y 8 = 40 Estado del Recurso Sin Exceso Precio Sombra Interpretación Básica Y 4 = 35 No hay excesos, y es debido a que cada incremento unitario en la demanda del detallista 1 (primera restricción) por encima de 25 y hasta 35 según los rangos de variación, ocasionará, de acuerdo a la Función Objetivo Dual, un incremento del Zopt en $35. Efecto DESFAVORABLE en el Valor Objetivo. Similar interpretación tienen los precios sombra Y 5, Y 6, Y 7, Y 8

Significado Económico de los Precios Sombra /8 Ejemplo: Suponga que la capacidad del Centro de Distribución 3 pasa de 40 a 44 unidades. Como este cambio está dentro del rango permisible, el precio sombra Y3=-10 rige para este caso y decimos que la función objetivo mejorará en $40 según lo indica la Función Objetivo Dual, es decir, el nuevo Zopt = $ La Base no cambiará pero las variables básicas tomarán nuevos valores que el WinQSB muestra:

Significado Económico de los Precios Sombra El Problema Dual Todo modelo de programación lineal tiene un modelo hermano que se llama el modelo dual. Suele llamarse al problema original “ Problema Primal (PP) ” y al otro “ Problema Dual (PD) ”. Las variables del PD son los Precios Sombra del PP. Supóngase que el PP tiene n variables y m restricciones. Puesto que por cada restriccion existe un precio sombra, entonces el PD tendrá m variables y n restricciones