Fue un matemático inglés que vivió en el siglo XVIII. El teorema nombrado en su honor describe las alternativas para calcular la probabilidad de que sucedan eventos, usando la probabilidad condicional. La estrategia permite alcanzar un juicio racional a partir de datos incompletos y no del todo fiables, que, a menudo, constituyen la única información disponible cuando se presentan situaciones imprevistas. El manejo de la probabilidad condicional nos lleva al estudio del Teorema de Bayes. Este fenómeno se emplea en la teoría de la decisión, siempre que el responsable de la decisión tenga a su disposición información muestral.

Con esta información se revisan las probabilidades. Por lo general obedece a una recolección que podría comprender estudios de mercado, ensayo y evaluación de productos, etc. Por ejemplo, se piensa montar una microempresa para la preparación de Las chocolatinas rellenas de frutas. Para determinar si el producto tendrá aceptación en el mercado se realiza un estudio, sobre productos similares. Ello se muestra en la figura: A.Las chocolatinas rellenas de frutas tienen aceptación en el mercado. B.El estudio muestra que existe en el mercado un producto similar. La probabilidad condicional que se busca es:

Que expresa que la probabilidad de que las chocolatinas rellenas de frutas tengan aceptación en el mercado dado que, el estudio muestra que hay productos similares. Empleando la regla general de la multiplicación: Mediante el diagrama puede observarse que el evento conocido es B, entonces el camino resultante del experimento fue (A  B) ó ( A´  B), por lo tanto: P(B) = P (A  B) P ( A´  B) y aplicando nuevamente la regla de la multiplicación: *** P(A/B)= P ( B / A ) P ( A ) P ( B ) P ( B ) = P ( B / A ) P ( A ) + P ( B / A ) P (A´)

Sustituyendo (2) en (1) se tiene: Esta expresión que tenemos acá es conocida como el teorema de Bayes y en forma más general este teorema se escribe como: Gráficamente esto se puede ver de la siguiente manera en la figura: Donde, el espacio muestral S, está conformado por una serie de eventos A1, A2,…. An mutuamente excluyentes (no tienen elementos comunes) y si a estos elementos les asociamos un evento común B y nos interesa la ocurrencia de cualquiera de los eventos A dada la condición de que conocemos B llegamos a lo expresado en el teorema de Bayes. P(A/B)= P ( B / A ) P ( A ) P ( B / A ) P ( A ) + P (B / A´) P ( A´) P(A1/B)= P ( B / A1 ) P ( A1 ) P ( B / A1 ) P ( A1 ) + P (B / A2) p (A2)+….+ P ( B / An ) P ( An )

EJEMPLO: Una fábrica tiene tres máquinas. La máquina 1 produce el 50% del total, la máquina 2 produce el 20% y la máquina 3 produce el 30%. De la producción se sabe que la máquina 1 produce el 1%, la máquina 2 produce el 4%, y la 3 produce el 2% de artículos defectuosos. Se selecciona aleatoriamente un artículo y se encuentra que es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que lo haya producido la máquina 1?. Gráficamente esto lo podríamos ver de la siguiente forma, en la figura: ABC

S el espacio muestral es la producción total que ha sido dividido en tres eventos: A1: Lo producido por la máquina 1. P(A1) = 0.50 A2: Lo producido por la máquina 2. P(A2) = 0.20 A3: Lo producido por la máquina 3. P(A3) = 0.30

El diagrama de árbol correspondiente se representa en la figura: Se conoce también que la probabilidad de que un artículo sea defectuoso dado, que lo produjo la máquina 1 es P(D/A1) = La probabilidad de que un artículo sea defectuoso, dado que lo produjo la máquina 2 es: P(D/A2) = 0.04 La probabilidad de que un artículo sea defectuoso, dado que lo produjo la máquina 3, es: P(D/A3) = Por lo tanto, la probabilidad de que lo haya producido la máquina 1 dado que es defectuoso, es de acuerdo al teorema de Bayes. P(A1/D )= P ( D / A1 ) P ( A1 ) P ( D / A1 ) P ( A1 ) + P (D / A2) p (A2)+….+ P ( D / A3 ) P ( A3)

P(A1/D)= (0.50) (0.01) (0.50) (0.01) + (0.20)(0.04)+(0.30)(0.02) EJERCICIO: La producción de determinada cinta para máquina se hace en tres plantas diferentes con distintos equipos y operaciones. El promedio semanal del número de cintas producidas en estas tres plantas, denotadas por A1, A2, A3, son 500, 2000 y 1500 respectivamente. Las cintas producidas por las tres plantas se envían a un fabricante de máquinas de escribir. a.Cuál es la probabilidad de que el fabricante encuentre una cinta defectuosa? b.Si la cinta es defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la planta A2? = 0.263