MÉTODO SIMPLEX UNIVERSIDAD DE LOS ANDES NUCLEO UNIVERSITARIO “RAFAEL RANGEL” DEPARTAMENTO FISICA Y MATEMATICA PAMPANITO ESTADO TRUJILLO MÉTODO SIMPLEX CATEDRA: ALGEBRA LINEAL. PROF: WILFREDO ZULETA. BACHILLER: MOLINA B. MARIA C.I: 18733892 TRUJILLO, 30 DE NOVIEMBRE DE 2011

El método simplex fue creado en 1947 por el matemático George Dantzig ; se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen tres o más variables.

METODO SIMPLEX: Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución. El método constituye una forma sistemática y de búsqueda intensiva a través de todas las posibles soluciones para obtener una solución óptima. Es fácil programarlo en una computadora. En contraste con el análisis gráfico, este método permite el uso de muchas mas variables. También permite la aplicación de cantidades de restricciones lineales con signos; mayores e igual, menores e igual y de igualdad. Se puede aplicar a situaciones de maximización, minimización y análisis de sensibilidad.

obtener de la producción y venta de dos clases de relojes de pulsera. Utilizando el siguiente ejemplo estableceremos la formulación inicial simplex y la mecánica del método. El gerente de una Relojería desea conocer la ganancia máxima que se puede obtener de la producción y venta de dos clases de relojes de pulsera. La ganancia que se obtiene por la producción y venta de un reloj de hombre es de $4 y de $6 para un reloj de mujer. La empresa cuenta con 120 horas semanales para la producción de los relojes y 100 horas para la inspección y empaque de estos. La fabricación de un reloj de hombre requiere 2 horas de producción y 2 horas de inspección y empaque. Mientras que un reloj de mujer requiere 4 horas de producción y 3 horas de inspección y empaque. La formulación del problema para esta situación es la siguiente: Maximizar Z = $4X1 + $6X2 (ganancias de producción) Sujeto a: 2X1 + 4X2 ≤ 120 (horas de producción) 2X1 + 3X2 ≤ 100 (horas de inspección y empaque) (X1, X2 ≥ 0) Donde X1 = cantidad de relojes de hombre que se producen semanalmente. X2 = cantidad de relojes de mujer que se producen semanalmente

Se debe hacer el aumento de las restricciones y de la función objetivo en el método simplex por definición; comienza en el origen es decir en el punto (0,0) y de este punto al valor de las restricciones existe una diferencia. La primera restricción se reformula asignándole una variable de holgura (diferencia ) Para poder hacer el cambio de la desigualdad a igualdad tendremos que añadir la variable que absorba la diferencia entre ambos lados positiva conocida como S1, la que aparecerá de la siguiente forma: 2X1 + 4X2 + S1 =120. la segunda restricción se reformula de la siguiente forma: 2X1 + 3X2 + S2 = 100 en donde S2 variable de holgura. S1 representa las horas de producción no utilizadas y S2 las horas de inspección y empaque no utilizadas. Tenemos que ambas restricciones se presentan de la siguiente forma: (igualando las restricciones) 2X1 + 4X2 + S1 = 120 2X1 + 3X2 + S2 = 100

Cuadro inicial Cj = forma aumentada de los coeficientes de la función objetivo Ci = coeficientes de las variables básicas aij = forma aumentada de los coeficientes de las restricciones o tasa de sustitución bi = valores del lado derecho de las restricciones z = valor de la función objetivo Zj = reducción de ganancias, aumento en costos asociados con la introducción de una de sus valores en las columnas respectivas ΔZj = Cj - Zj = índice de mejoramiento o renglón de criterio símplex Ratio = límites introductorios.

Maximizar Z (ganancia) = $4X1 + $6X2 + $0S1 + $0S2 Sujeto a: 2X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 = 120 2X1 + 3X2 + 0S1 + 1S2 = 100 (X1, X2, S1, S2 ≥ 0) Busquemos ahora los valores para Zj C1 a11 C2 a21 Z1 = (0)(2) + (0)(2) = 0; este valor irá en la primera columna para el renglón Zj debajo de la columna X1. C1 a12 C2 a22 Z2 = (0)(4) + (0)(3) = 0; este valor irá en la segunda columna para el renglón Zj debajo de la columna X2. C1 a13 C2 a23 Z3 = (0)(1) + (0)(0) = 0; este valor irá en la tercera columna para el renglón Zj debajo de la columna S1. C1 a14 C2 a24 Z4 = (0)(0) + (0)(1) = 0; este valor irá en la cuarta columna para el renglón Zj debajo de la columna S2.

Tablón Nª1 Maximizar Z (ganancia) = $4X1 + $6X2 + $0S1 + $0S2 Sujeto a: 2X1 + 4X2 + 1S1 + 0S2 = 120 2X1 + 3X2 + 0S1 + 1S2 = 100 (X1, X2, S1, S2 ≥ 0) Trasladamos todos los datos al tablón inicial y tenemos nuestro primer tablón simplex. Coeficiente da las variables básicas Limites introductorios Tablón Nª1 Coeficientes de las restricciones Valor del lado derecho de las restricciones Reducción de ganancias Valor de la función objetivo Índice de mejoramiento

S1 120 ÷ 4 = 30» límite positivo más pequeño (renglón pivote) Mejorando el tablón Nª1 El método seleccionará la variable X2 porque esta posee el mejor cambio en Zj,(ganancias) circulamos la columna X2 y a esta columna se le conoce como la columna pivote. bi ÷ aij = Ratio (b1) (a12) S1 120 ÷ 4 = 30» límite positivo más pequeño (renglón pivote) (b2) (a22) S2 100 ÷ 3 = 33.33

30» límite positivo más pequeño (renglón pivote) Elemento Nuevo Renglón Pivote ÷ Intersección = Renglón Pivote (2, 4, 1, 0; 120) ÷ 4 = (½, 1, ¼, 0; 30) » Trasladar al segundo tablón

A continuación se resume el proceso de revisión de los renglones según el método símplex: 1. Halle el elemento de intersección que se encuentra entre la columna pivote y el renglón a revisarse. (3 para nuestro ejemplo) 2. Multiplique el nuevo renglón pivote por el negativo del elemento de intersección. (½, 1, ¼, 0; 30) x – (3) = (- 3/2 , -3, -¾, 0; -90) 3. Súmele algebraicamente al el renglón negativo el renglón que se está revisando y trasládelo al próximo tablón. (Segundo tabla símplex) (- 3/2, -3, -¾, 0; -90) S2: + ( 2, 3, 0, 1; 100) ( ½, 0, -¾, 1; 10) Al igual que para el tablón inicial habrá que buscar los valores Zj para la nueva tabla símplex. (Zj = Σ Cijaij.), llevarlos al segundo tablón y luego buscar la ganancia de manera parecida donde Z = Σ Cijbi. C2 a11 C2 a21 Z1= (6)(½) + (0)(½) = 3; primera columna para el renglón Zj( reduccion de ganancias) C2 a12 C2 a22 Z2 = (6)(1) + (0)(0) = 6; segunda columna para el renglón Zj debajo de la columna X2.

C2 a13 C2 a23 Z3 = (6)(¼) + (0)(-¾) = 3/2; este valor irá en la tercera columna para el renglón Zj debajo de la columna S1. C1 a14 C2 a24 Z4 = (6)(0) + (0)(1) = 0; este valor irá en la cuarta columna para el renglón Zj debajo de la columna S2. Z = (6)(30) + (0)(10) = 180 Finalmente para completar el tablón habrá que buscar los ΔZj correspondientes donde ΔZj = CJ - Zj. (índice de mejoramiento) ΔZ1 = C1 - Z1 = 4 – 3 = 1 ΔZ2 = C2 - Z2 = 6 – 6 = 0 ΔZ3 = C3 - Z3 = 0 – 3/2 = -3/2 ΔZ4 = C1 - Z4 = 0 – 0 = 0   Tablon Nª2

Mejorando el tablón Nª2 se repiten los pasos. Se obtiene así; El tablón final indica que la mezcla para la producción de los relojes se encuentra en el punto (20, 20) en donde la producción semanal será de 20 relojes de hombre (X1) y 20 relojes de mujer (X2). Se utilizó todos los recursos para obtener una ganancia máxima semanal de $200. En resumen, para casos de maximización una solución será óptima si está posee ΔZj de cero para las variables básicas

En la solución gráfica, aparecen cuatro puntos extremos que son soluciones posibles, estas se prueban hasta obtener una solución óptima. Donde, la solución en la gráfica son los tres tablones y la solución optima es el punto (20,20)

VARIANTES EN LAS APLICACIONES SIMPLEX. 1. Degeneración. En este caso no existe la seguridad de que el valor de la función objetivo se pueda mejorar, ya que los valores de una o más variables básicas llegan a ser cero, es posible que las iteraciones del simplex entren en un circuito que repetirá las misma(as) sucesión de iteraciones sin alcanzar nunca la óptima EJEMPLO: Maximizar Sujeto a:   X1 X2 S1 S2 Z Tabla 1 8 4 Tabla 2 2 18 Tabla 3

2. Soluciones óptimas múltiples. Existen problemas que tienen más de una solución óptima. En este caso se dice que se tienen soluciones óptimas múltiples debido a que la solución óptima se encuentra acotado por una de las restricciones. V. Básica Z X1 X2 S1 S2 Solución 1 2 42 7/45 -2/45 7/3 Si existe un cero en el primer renglón significa que hay soluciones óptimas múltiples

Comparación del método grafico con el método simple: Maximizar Z = f(x,y) = 3x + 2y sujeto a: 2x + y ≤ 18   2x + 3y ≤ 42 3x + y ≤ 24 x ≥ 0 , y ≥ 0 Las tablas que se construyen con el método simplex van proporcionando el valor de la función objetivo en los distintos vértices de la grafica. Tabla I . Iteración nº 1   3 2 Base Cb P0 P1 P2 P3 P4 P5 18 1 42 24 Z -3 -2 Tabla Nª1, se calcula el valor de la función objetivo en el vértice (0,0).

En la tabla Nª2 se calcula el valor correspondiente al vértice F(8,0): Z = f(8,0) = 24. El valor máximo de la función objetivo es 33, con el vértice (3,12)

Punto extremo Coordenadas (x,y) Valor bjetivo (Z) O (0,0) C (0,14) 28 G (3,12) 33 H (6,6) 30 F (8,0) 24 El método grafico; se igualan las ecuaciones a cero y se dibuja el sistema en un eje de coordenadas (X,Y).

REFERENCIA BIBLIOGRAFICA: APUNTES SOBRE EL MÉTODO SÍMPLEX DE PROGRAMACIÓN LINEAL Adriel R. Collazo Pedraja.(2000).