Razones y Proporciones

Aprendizajes esperados: Aplicar las propiedades de razones y proporciones. Reconocer y distinguir entre una proporción directa y una proporción inversa. Resolver problemas de planteo aplicando el concepto de proporción compuesta.

Contenidos Razones y Proporciones 1.1 Definiciones: razón y proporción 1.2 Teorema fundamental de la proporciones 1.3 Propiedades 1.4 Clasificación: Proporción Continua y Discontinua 1.5 Serie de Razones 1.6 Proporcionalidad directa 1.7 Proporcionalidad inversa 1.8 Proporcionalidad compuesta.

1. Razones y proporciones 1.1 Definiciones Razón: Es el cuociente entre dos cantidades cualesquiera. Su notación es: a b ó a : b y se lee: “a es a b” a : antecedente, b : consecuente Nota: Es importante el orden de nombramiento en una razón.

Densidad Poblacional = = 9,94… Ejemplo: La razón entre “población” y “superficie”, se conoce como Densidad Poblacional. Por ejemplo, la población de la ciudad de Concepción es de 179.450 habitantes, distribuidos en una superficie de 18.051 km2. (Según los datos entregados por el Instituto Nacional de Estadística). Por lo tanto: 179.450 18.051 Densidad Poblacional = = 9,94… En cada Km2 viven aproximadamente 10 personas.

b a d = c a : b = c : d c y d : medios Ejemplo: Proporción: Es la igualdad de dos razones: b a d = c ó a : b = c : d y se lee: “ a es a b como c es a d ” Además, a y d : extremos c y d : medios Ejemplo: 40 35 200 = 175

1.2 Teorema fundamental de las proporciones El producto de los medios es igual al producto de los extremos. b a d = c ad = bc a : b = c : d ad = bc Ejemplo 1: 40 35 64 = 56 Es una proporción ya que 35∙64 = 40∙56 = 2.240

Ejemplo 2: Solución: Dulces de Agustín x 3 = 2 x 12 3 = 2 2x = 36 x = La razón entre el número de dulces que tiene Agustín y el número de dulces que tiene su hermano es 2 : 3. Si Agustín tiene 12 dulces, ¿cuántos dulces tiene su hermano? Solución: Si x es el número de dulces del hermano, entonces: Dulces de Agustín x 3 = 2 x 12 3 = 2 2x = 36 x = 18 Por lo tanto, su hermano tiene 18 dulces.

1.3 Propiedades b a d = c b d a = c c a d = b a b c = d Si , entonces: La proporción es la misma si se cambian de orden los extremos b d a = c b) La proporción es la misma si se cambian de orden los medios c a d = b c) La proporción es la misma si se invierten las dos razones a b c = d

a a + b c c + d b a + b d c + d = = a a - b c = c - d b a - b d = Composición de proporciones: a a + b c c + d b a + b d c + d ó = = e) Descomposición de proporciones: a a - b c = c - d b a - b d = c - d ó f) Composición y descomposición de proporciones: a - b a + b c - d = c + d

1.4 Clasificación Proporción discontinua: b a d = c 5 25 9 = 45 Es aquella que tiene todos sus términos distintos, es decir: b a d = c es discontinua si a ≠ b ≠ c ≠ d 5 25 9 = 45 Ejemplo: Cuarta Proporcional Geométrica (CPG) Es un cuarto valor que junto a otros tres, forman una proporción. En el ejercicio anterior: 25 es CPG entre 45, 5 y 9 5 es CPG entre 45, 25 y 9 45 es CPG entre 25, 5 y 9 9 es CPG entre 25, 45 y 5

Proporción continua: b a d = b a = c Ejemplo: 9 6 = 4 Es aquella que tiene los extremos, o medios iguales. b a d = b a = c ó Ejemplo: 9 6 = 4 Tercera Proporcional Geométrica (TPG) Es cada uno de los términos no repetidos de una proporción continua. En el ejercicio anterior: 9 es TPG entre 4 y 6 4 es TPG entre 9 y 6

Ejemplo: 2 4 = 8 Media Proporcional Geométrica (MPG) Es el término que se repite en una proporción continua. Ejemplo: 2 4 = 8 4 es media proporcional geométrica (MPG) entre 2 y 8.

1.5 Serie de razones b a d c f e = = = ……… = k Es la igualdad de 2 o más razones. b a d c f e K: constante de proporcionalidad K  IR = = = ……… = k ó a : c: e: … = b : d: f : … Ejemplo 1: 2 1 4 2 6 3 8 4 10 5 = = = = = ……… = 0,5

Ejemplo 2: Solución: Si a : b : c = 3 : 5 : 6 , determinar a, b y c. a : b : c = 3 : 5 : 6, entonces: 3 a 5 b 6 c = = = k Luego: a = 3k, b = 5k y c = 6k Como a + b + c = 42, entonces: 3k + 5k + 6k = 42 14k = 42 k = 42 14 k = 3 Por lo tanto: a = 9, b = 15 y c = 18

1.6 Proporcionalidad directa Dos variables son directamente proporcionales, si al aumentar (disminuir) una de ellas, la otra también aumenta (disminuye). y es directamente proporcional a x si x y = k, k: constante Ejemplo: La siguiente tabla representa la relación entre el número de fotocopias y su costo en pesos: N° de fotocopias (x) $ (y) K = x y 1 20 2 40 20 3 60 20 4… 80… 20…

Gráficamente: El gráfico de una proporción directa es una recta con pendiente positiva o negativa.

1.7 Proporcionalidad inversa Dos variables son inversamente proporcionales, si al aumentar una de ellas, la otra disminuye (y viceversa). y es inversamente proporcional a x si y∙x= k, k: constante Ejemplo: Para construir una piscina en 20 días se requiere de 4 obreros.  Entonces se puede inferir que para demorar 10 días se requieren 8 obreros, y para demorar 5 días se requieren 16 obreros, y así sucesivamente. Si tabulamos: N° de obreros (x) Días (y) k = y∙x 4 20 80 8 10 80 16 5 80 40… 2… 80…

Gráficamente: El gráfico de una proporción inversa es una hipérbola.

1.8 Proporcionalidad compuesta Es aquella en que intervienen más de dos variables. Ejemplo: Si 5 pasteleros producen en 7 días 400 tortas, ¿cuántas tortas pueden producir 14 pasteleros en 9 días? Solución: Un método práctico es el siguiente: 1° Se ordenan los datos dejando la incógnita (tortas), en el centro: N° pasteleros N° tortas Días 5 400 7 14 x 9

Por lo tanto, 14 pasteleros en 9 días, pueden producir 1.440 tortas. 2° Se analiza el tipo de proporcionalidad de cada variable con la incógnita, esto es: N° pasteleros N° tortas Días 5 400 7 14 x 9 N° de Pasteleros y N° de tortas son directamente proporcionales, ya que, mientras más pasteleros mayor es la cantidad de pasteles producidos. Días y N° de tortas son directamente proporcionales, ya que, mientras más días, mayor es la cantidad de pasteles producidos. Entonces: 5 ∙ x ∙ 7 = 14 ∙ 400 ∙ 9 x = 14 ∙ 400 ∙ 9 5∙7 x = 1.440 Por lo tanto, 14 pasteleros en 9 días, pueden producir 1.440 tortas.