Las Funciones Trigonométricas: su dominio y su contradominio. por Alberto Rojas Hernández

Definición de función Es una relación de dos o más variables en donde a uno de los elementos del dominio (conjunto que contiene todos los valores que pueden tomar la variables independientes) corresponde uno y sólo un elemento del rango (conjunto que contiene todos los valores que puede tomar la variable dependiente).

Relaciones trigonométricas en triángulos rectángulos Aunque lo común es empezar por presentar la relaciones trigonométricas para ángulos en los triángulos rectángulos, definidas como cocientes de la magnitud de dos de sus lados –catetos o hipotenusa, es posible extender su definición para ángulos de cualquier magnitud a través del círculo trigonométrico de radio unitario. (Ver las presentaciones de Shirley Bromberg, Raquel Valdés y Consuelo Díaz en este mismo sitio.)

Funciones trigonométricas: Así, cuando las relaciones trigonométricas se definen para cualquier ángulo (sobre todo cuando se mide en radianes, lo que en realidad es la medida del ángulo en números reales), puede demostrarse que las relaciones de seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante de un ángulo, cumplen con la definición de función. Es por ello que se les conoce como funciones trigonométricas. (Ver las presentaciones de Shirley Bromberg, Raquel Valdés y Consuelo Díaz en este mismo sitio.)

Dominio y contradominio de las funciones trigonométricas Aunque las seis funciones trigonométricas arrojan valores de la variable dependiente de cada una de ellas, cuando se aplican a ángulos que toman diferentes valores de la variable independiente; estas funciones tienen dominio y rango diferentes. (Ver las presentaciones de Shirley Bromberg, Raquel Valdés y Consuelo Díaz en este mismo sitio.)

Dominio de las funciones seno y coseno de un ángulo Como se muestra en la figura 1, en la siguiente diapositiva, es posible definir la función seno y la función coseno de un ángulo (x) sin importar el valor que este ángulo tome. De manera que el dominio de las funciones es todo el conjunto de los números reales. Esto puede escribirse en lenguaje simbólico como: y = sen(x), z = cos(x) donde x  

Rango de las funciones seno y coseno de un ángulo Sin embargo, la figura 1 muestra que la función seno y la función coseno de un ángulo (x) sólo puede tomar valores en el intervalo cerrado de –1 a 1, que constituye el contradominio de ambas funciones. Esto puede escribirse en lenguaje simbólico como: y = sen(x) donde y  [-1,1] z = cos(x) donde z  [-1,1]

 2 3 - -2 -3 Figura 1. Funciones seno (en azul) y coseno (en rosa) del ángulo x (en radianes).

Características de las funciones seno y coseno de un ángulo Característica 1. En la figura 1 (diapositiva anterior) puede observarse el gran parecido que tienen ambas funciones entre sí. De hecho, las identidades trigonométricas (ver las presentaciones de Shirley Bromberg, Raquel Valdés y Consuelo Díaz en este mismo sitio) permiten asegurar que y = sen(x) = cos(x-[/2]), lo que también se deduce al analizar las gráficas. Es conveniente recordar que el ángulo que mide 90º (sexagesimales) mide [/2] (en números reales o radianes).

z = cos(x) = cos(x + 2n ) siendo n  . Características de las funciones seno y coseno de un ángulo Característica 2. En la figura 1 también se puede observar que los valores de ambas funciones, seno y coseno, se repiten cíclicamente para múltiplos de 2. Esto permite escribir otras identidades trigonométricas (ver las presentaciones de Shirley Bromberg, Raquel Valdés y Consuelo Díaz en este mismo sitio) de manera que: y = sen(x) = sen(x + 2n ) siendo n elemento de los números enteros (n  ), o bien z = cos(x) = cos(x + 2n ) siendo n  .

Dominio de las funciones tangente y secante de un ángulo Como se muestra en las figuras 2 y 3, en las siguientes diapositivas, no siempre es posible definir la función tangente y la función secante de un ángulo (x). De hecho, cuando la función coseno del ángulo toma el valor de cero, las funciones tangente y secante no pueden definirse (¿por qué?). En la figura 1 puede verse que esto ocurre para ángulos que toman valores semienteros de ; lo que simbólicamente puede expresarse como (2n+1) [/2] siendo n  .

x-{[/2], [3/2],[5/2],…,(n+1)[/2],…} Dominio de las funciones tangente y secante de un ángulo Por lo tanto, las figuras 2 y 3, muestran que las funciones tangente y secante w = tan(x), v = sec(x) tienen como dominio el conjunto de números reales menos el conjunto de números semienteros (en donde se dice que estas funciones son discontinuas). x-{[/2], [3/2],[5/2],…,(n+1)[/2],…} (Ver en las figuras 2 y 3 cómo es que las funciones tangente y secante tienden a infinito o a menos infinito en los valores semienteros del ángulo, marcados por líneas verticales que no forman parte de la función.)

Figura 2. Función tangente del ángulo x (en radianes).  2 3 - -2 -3 Figura 2. Función tangente del ángulo x (en radianes).

Figura 3. Función secante del ángulo x (en radianes).  2 3 - -2 -3 Figura 3. Función secante del ángulo x (en radianes).

Rango de la función tangente de un ángulo La figura 2 muestra que la función tangente de un ángulo w = tan(x) puede tomar cualquier valor en el campo de los números reales, por lo que se puede afirmar que el contradominio de la función tangente está formado por todos los números reales, lo que simbólicamente puede escribirse como w  

Rango de la función secante de un ángulo La figura 3 muestra que la función secante de un ángulo v = sec(x) no puede tomar cualquier valor en el campo de los números reales, porque observando bien dicha figura la función secante nunca toma valores comprendidos en el intervalo abierto de –1 a 1. Simbólicamente esto puede escribirse como v   - (-1,1)

Ejercicio Encontrar el dominio y el contradominio de las funciones cotangente y cosecante de un ángulo y explicar su respuesta.

Figura 4. Función cotangente del ángulo x (en radianes).  2 3 - -2 -3 Figura 4. Función cotangente del ángulo x (en radianes).

Figura 5. Función cosecante del ángulo x (en radianes).  2 3 - -2 -3 Figura 5. Función cosecante del ángulo x (en radianes).

Tabla 1. Valores de las funciones trigonométricas para algunos ángulos.