UNA PROMESA DE PAGAR MONTOS ESPECIFICOS DE DINERO BONOS DEFINICION: UN BONO ES UNA PROMESA DE PAGAR MONTOS ESPECIFICOS DE DINERO EN FECHAS PREDETERMINADAS EN EL FUTURO A LO LARGO DE UN PRIODO FIJO DE TIEMPO.

Los parámetros de los bonos P = El precio de mercado del bono Ct = El monto que el bono promete pagar en fin del período t. M = El período del vencimiento del bono. t = 1,2,……, M. ( Maturity) VF = El valor nominal del bono (Face Value o, Valor Futuro) Usualmente, los montos de los pagos son iguales: Ct = C t = 1, …., M - 1 y el último pago: CM = C + FV C se llama también el cupón del bono CR = La tasa del cupón. Es un % del VF: C = (CR)(VF).

EJEMPLO: UN BONO PARA 30 AÑOS CON VALOR NOMINAL DE $1.000 Y CUPON RATE DEL 8% PAGADOS ANUALMENTE. CR = 8%; FV = $1.000; M = 30 C = (0,08)($1.000) = $80 El tenedor del bono recibirá $80 todos los años a lo largo de los siguientes 29 años. El último pago será: $80 + $1.000 = 1.080 = C + FV.

Muchos de los bonos existentes pagan su cupón más que una vez al año. En terminos generales: N = el número de los pagos al año, así que hay NM pagos en total. C/N = el monto de los pagos VF + C/N = el último pago. En el ejemplo arriba, si los pagos fueran EMESTRALES, N = 2, Los pagos serían = C/2

que nunca se vence se llaqma DEFINICIÓN: Bonos que pagan el VF al vencimiento y no pagan nada, C = 0, durante los períodos interinos se llaman BONOS CUPON CERO Un bono con cupón C que nunca se vence se llaqma CONSUL

FORMULAS DE PRECIOS DE BONOS

La fórmula para el bono cupón cero: En las fórmulas en la pagina anterior la r significa el rendimiento al vincimiento (YIELD TO MATURITY). La fórmula para el bono con pagos semestraleses: La fórmula para el bono cupón cero: La fórmula para el precio de un Consul es: P = C/r

EJEMPLOS: M = 30 FV = $1.000 CR= 8% Pagos semestrales: C = (0,08)1.000/2 = $40. r = 10%

Y el bono se vendría con una prima. Resultado: El mismo bono con pagos anuales: M = 30; FV = $1.000; CR= 8%; C = (0,06)1.000 = $80; r = 10%. Se vende este bono a un descuento porque CR =0,8 < r = 10%. Si la r fuera del 5% (en vez del 10%), el precio del mismo sería: Y el bono se vendría con una prima. Resultado: CR = r  el bono se vende a su par P = VF CR > r  el bono lleva una prima P > VF CR < r  el bono lleva un descuento P < VF

Si dicho bono fuera un bono de cupon cero el bono se vendría a: Si el bono fuera un consul su precio sería: Es decir, invertiendo $800, el bono promete al inversionista un flujo de caja indefinido de $80.

(BOND EQUIVALENT YIELD(BEY) En los EEUU las cuotas de los precios de bonos son en términos de un rendiniento de descuento: d Sin embargo, lo que se interesa al inversionista se llama el rendimiento equivalente del bono (REB) (BOND EQUIVALENT YIELD(BEY)

EJEMPLO: t = 90 days FV = $1.000.000 d = 11%

DURATION de MACAULY

INTERPRETACION DE LA DURACION La DURACION es un promedio ponderado del número de los períodos, es decir, de los tiempos de los pagos de los cupones. Las ponderaciones son las proporciones de los valores actuales de los montos pagados del precio actual del bono.

DURACION interpretada como una medida de sensibilidad.

D = - {La elasticidad del precio del bono} RESULTADO: D = - {La elasticidad del precio del bono} Según las dos interpretaciones arriba, se puede interpretar una duración de D = 7 de un bono con vencimiento de 15 añoa como: 1. La inversión en el bono se recupera en 7 años. 2. Cunado se cambia el rendimiento al vencimiento por 1%, el precio del bono se cambia en unos 7%.

La fórmula (cerrada) para calcular la duración de un bono depende de los siguientes parámetros: N = El número total de los pagos m = El número de los pagos cada año f = La fracción del año hasta el pago del próximo cupón f 1 2 3 4…….……N años

EJEMPLO: r = 10% = 0,1 VF = $ 100 C = $6 => CR = 6% N = 30 f = 1 m = 1 P = $62,29

Ejemplo: r = 10% VF = $ 100 C = $6 f = 1 m = 2 => Pagos semestrales N = 60

Tabla de duración r = 10%

Obsérvase que de la fórmula: Como aproximarse el cambio del precio del bono antes de un cambio de rendimiento al vencimiento Usando la DURACION: Obsérvase que de la fórmula:

EJEMPLOS:

EL RATIO DE COBERTURA BASADO DE LA DURACION El ratio de sensibilidad del precio: Recuérdese que el valor de la posición de cobertura es: V = S + NF. El activo subyacente es un bono y por lo tanto, los cambios del precio del bono ocurren cuando se cambie la tasa de interés y por ella se cambia el remdimiento al vencimiento. En términos matematicos:

EL OBJETIVO DEL RATIO DE LA SENSIBILIDAD DEL PRECIO En este caso el objetivo de la cobertura es que no se cambia el valor de la posición, SPOT y FUTUROS cuando se cambie la tasa de interés. Otra vez, el cambio del valor de la posición es: El problema es resolver esta ecuació para el número de los futuros, N, bajo la condición que el valor de la posición SPOT y FUTUROS ne se cambia:

Usando la definición de la duración: Sustituimos por dS/dys y también por dF/dyF y resolvemos por N: El óptimo número de los futuros es:

LOS FUTUROS SOBRE ACTIVOS SUBYACENTES QUE REDITUAN INTERES Los contratos más exitosos son los dos futuros a corto plazo: 13-semanas T-bills y 3-months Eurudólar time deposit y el futuro a largo plazo: Treasury T-bonds. En esta asignatura vamos a tocar sólo los primeros.

LAS ESPECIFICACIONS DE LOS CONTRATOS Specifications 13-week Three-month Eurodollar U.S Treasury bill time deposit Size $1,000,000 $1,000,000 Contract grade New or Dated treasury bills Cash settlement with 13 weeks to maturity Yields Discount Add-on Hours 7:20AM to 2:00 7:20 AM to 2:00 PM (Chicago time) Delivery Months Mar. Jun. Sep. Dec. Mar. Jun. Sep. Dec. Ticker Symbol TB ED Minimum Price .01(1 basis point) .01(1 basis point) Fluctuations ($25/pt) ($25/pt) Last day of The day before the first 2nd London business day trading delivery day before 3rd Wednesday Delivery Date 1st day of spot month on Last day of trading which 13-week Treasury bill is issued and a 1-year T-bill has 13 weeks to maturity

COBERTURA LARGA CON FUTUROS DE T-BILLS FECHA SPOT FUTUROS 15.2 P = $979.272,22 F = $978.300 Comprar 1 futuro de T-bill para junio. 17.5 P = $980.561 Vender 1 futuro de T-bill para junio. F = $981.350 Comprar $1M por $980.561 Ganacia de futuros: ($981.350 – 978.300)(1) = $3.050 El precio pagado $977.511

COBERTURA CON FUTUROS DE EURODOLARES FECHA SPOT FUTUROS 23.5 90-días L = 9,25% F = 906.500 Vas a tomar un préstamo de Vender 10 futuros de $10M el 19 de junio por L eurodólares para junio 19.6 Tomar $10M para 90 Comprar 10 futuros de Días r = L eurodólares F = $930.000 1. L = 7% Pérdida de los futuros: $235.000/4 = $58.750 Interés ($10M)(0,07)(0,25) = $175.000 Pago total $233.750 L = 10,5% F = 895.000 Ganacia de los futuros: $115.000/4 = $28.750 Interés ($10M)(0,105)(0,25) = $262.500 r pagado: [233.750/10M](4) = 9.35%

Una firma toma un préstamo de $10M con tasa flotante L+1% FECHA SPOT FUTUROS 15.Sep Recibir $10M Vender 10 futuros de T-bills L = 8% =>r = 9%=>I = $225.000 F(diciembre) = 91,75 F(marzo) = 91,60 F(junio) = 91,45 I pagado $225.000 (9%) 15.Dic L = 9,15%=>r=10,15%=>I=$235.750 Comprar 10 futuros de T-bills F(diciembre)=90,85 ganancia = 10[91,75-90,85]10.000(0,25) = $22.500 I pagado $231.250 (9,25%) 15.Marzo L =9,50%=>r=10,50%=>I =$262.500 Comprar 10 futuros de T-bills F(Marzo) = 90,50 ganacia = 10[91,60-90,50]10.000(0,25)= $27.500 I pagado &235.000(9,40%)

FECHA SPOT FUTUROS 15.June L = 10,05%=>r=101,05%=>I=$276.250 Comprar 10 futuros de T-bills F(junio)=89,95 ganancia = 10[91,45-89,95]10.000(0,25) = $37.500 I pagado $238.750 (9,55%) 15.Sep Repagar $10M En todos los períodos el interés, I, y la tasa r se determinan según las fórmulas: I = 10[(L + 100)/100]10.000(0,25) r = {[I pagado]/10M}(0,25)

El banco da un préstamo de $10M con tasas fijas FECHA TASA SPOT FUTUROS 15.Sep 9,00% L = 8,00% Vender 10 futuros de T-bills F(diciembre) = 91,75 Margen de ganacia = 1% F(marzo) = 91,60 F(junio) = 91,45 I pagado $225.000 (9%) 15.Dic 9,25% L = 9,15% Comprar 10 futuros deT-bills (0,001)10M(0,25) = $2.500 F(diciembre) = 90,85 ganancia = 10[91,75-90,85]10.000(0,25) = $22.500 Margen de ganancia = 1% 15.Marzo 9,40% L = 9,50% Comprar 10 futuros deT-bills (-0,001)10M(0,25) = -$2.500 F(Marzo) = 90,50 ganacia = 10[91,60-90,50]10.000(0,25) = $27.500

FECHA TASA SPOT FUTUROS 15.June 9,55% L = 10,05% Comprar 10 futuros deT-bills (-0,005)10M(0,25) = - $12.500 F(junio) = 89,95 ganancia = 10[91,45-89,95]10.000(0,25) = $37.500 Margen de ganacia = 1% 15.Sep Recibir $10M