Modelizaci ó n Tareas ClasesEvaluaci ó n Reflexi ó n

¿ Qu é es la modelizaci ó n? Modelizaci ó n Tareas ClasesEvaluaci ó n Reflexi ó n 2

Sesión 1 Introducción a la modelización 3

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 4 Trabajar en distintas tareas basadas en la realidad. Reflexionar sobre las características de estas tareas. Pensar en criterios para identificar tareas de modelización desde otras tareas basadas en la realidad. Objetivos

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 5 Criterios para identificar tareas de modelización Visión general del proceso de modelización Resultados

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 6 Actividad 2: Reflexionar sobre las características de las situaciones dadas Actividad 3: Compartir las reflexiones [Grupos pequeños] [Todo el grupo] Actividad 1: Trabajar sobre las situaciones dadas Actividad 4: Desarrollar criterios [Todo el grupo] Estructura de la sesi ó n

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 7 Resolver algunas tareas. Actividad 1:

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 8 Tarea 1: «Firmar contra una nueva ley» Hace poco, el 25 de abril de 2006, el partido español en la oposición presentó en el Congreso firmas contra una nueva ley promulgada por el gobierno. Todos los periódicos españoles publicaron fotos de las grandes cajas y las 10 furgonetas que se habían necesitado para transportar las hojas de papel al Congreso. ¿Crees que esta puesta en escena tenía una intención política o que todas estas cajas y furgonetas eran realmente necesarias para transportar los cuatro millones de firmas?

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 9 Por motivos de salud las personas tienen que limitar sus esfuerzos, por ejemplo al practicar deporte, para no exceder una cierta frecuencia cardiaca. Durante años la relación entre la frecuencia cardiaca máxima recomendada de una persona y la edad de dicha persona se describía según la siguiente fórmula: frecuencia cardiaca máxima recomendada = edad Investigaciones recientes muestran que esta fórmula debería modificarse ligeramente. La nueva fórmula es como sigue: frecuencia cardiaca máxima recomendada = (0,7 x edad) Un artículo periodístico declaraba: «El resultado de utilizar la nueva fórmula en vez de la antigua es que el número de latidos máximo recomendado por minuto para personas jóvenes baja ligeramente, y para personas mayores aumenta ligeramente». ¿De qué edad en adelante aumenta la frecuencia cardiaca máxima recomendada como resultado de la introducción de la nueva fórmula? Muestra tu trabajo. Tarea 2: «Frecuencia cardiaca» Obtenido de

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 10 Tarea 3: Festival de música El Festival de Artes Escénicas Contemporáneas de Glastonbury es el mayor festival al aire libre de música y artes escénicas del mundo. En 2005, el área vallada del festival tenía más de 3,6 km² (900 acres), y hubo más de 385 actuaciones en directo. Muchos de los asistentes al festival llevan sus propias tiendas de campaña y duermen dentro de la zona del festival. Los organizadores necesitan limitar el número de entradas a la venta y el número de tiendas que pueden instalarse para poder garantizar la seguridad. ¿Qué les aconsejarías? Gracias a Logan1138. Publicada en Wikimedia Commons

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 11 Tarea 4: Gas natural En 1993 las reservas mundiales de gas natural se estimaron en 141,8 billones de metros cúbicos. Desde entonces se han consumido anualmente una media de 2,5 billones de metros cúbicos. Calcula cuándo se acabarán las reservas de gas natural. Utiliza distintas suposiciones y modelos. Explica todos tus pasos. © 2007 Cornelsen Verlag Scriptor · Mathematisches Modellieren Gracias a Stan Shebs. Publicada en Wikimedia Commons

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 12 Tarea 5: Huevos de pascua Daniela ha encontrado 23 huevos. Tiene una sonrisa de oreja a oreja, porque ha encontrado nueve huevos más que Cris. Juani sonríe aún más. Ha encontrado exactamente tantos huevos como Cris y Daniela juntos. ¿Cuántos huevos ha encontrado Juani?

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 13 Tarea 6: Vecinos En tu opinión, ¿cuánta gente vive en este bloque de pisos? © 2007 Cornelsen Verlag Scriptor · Mathematisches Modellieren Timbres de la entrada:

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 14 Comparad vuestras soluciones por grupos: ¿Cuáles son las diferencias? ¿Y las similitudes? Registrad vuestras ideas en las tablas proporcionadas (utilizad una tabla distinta para cada tarea) Actividad 2:

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 15 Directrices para la reflexión Contexto de la tarea Conocimientomatemáticoimplicado Solucionesesperadas Principalescaracterísticas de quien resuelve la actividad

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 16 ¿Qué diferencias y similitudes puedes establecer entre estas tareas? Contexto Conocimiento matemático Soluciones esperadas Actividad de quien resuelve la tarea Actividad 3: Debate

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 17 Respecto al contexto de la tarea Respecto al conocimiento matemático implicado Respecto a las soluciones esperadas Respecto a la actividad de quien resuelve el problema Algunas conclusiones

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 18 ¿Qué características debería tener una tarea para que se la considerase de modelización? Relacionadas con: el contexto el conocimiento matemático las soluciones esperadas la actividad de quien resuelve el problema Actividad 4: Desarrollar criterios

Sesión 2 Describir el proceso de modelización 19

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 20 Reflexionar sobre los procesos de resolución de problemas que utilizasteis en la Sesión 1. Resumir estos procesos en un esquema común. Debatir un posible esquema que podríais utilizar para describir el proceso de modelización. Aprender sobre el proceso de modelización. Objetivos

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 21 Descripción del proceso de modelización. Resultados

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 22 Actividad 2: Compartir las reflexiones. [Grupos pequeños] [Todo el grupo] Actividad 1: Reflexión sobre tus procesos de resolución de problemas. Estructura de la sesi ó n

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 23 Trabajo en grupos: Volved sobre las tareas que se han resuelto hasta ahora. ¿Cómo procedisteis para encontrar una solución? Reflexionad sobre vuestros procesos de resolución de problemas a un nivel general. Esbozad un único diagrama sintetizando estos procesos. [ Tarea 1 – Tarea 2 – Tarea 3 – Tarea 4 – Tarea 5 – Tarea 6 ]Tarea 1 Tarea 2 Tarea 3 Tarea 4 Tarea 6 Actividad 1:

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 24 Compartid diagramas ¿Qué diferencias y similitudes podéis establecer entre ellos? Actividad 2: Compartir las reflexiones

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 25 Introducción de una descripción del proceso de modelización «Mundo real» «Mundo matemático» Problema del mundo real Problema matemático Solución matemática Solución real El ciclo de modelización (estudio PISA, 2003)

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 26 «Mundo real»«Mundo matemático» Problema del mundo real Problema matemático Solución matemática Solución real El ciclo de modelización (del estudio PISA, 2003) 1.Empezar con un problema de la realidad. 2.Organizarlo de acuerdo a conceptos matemáticos e identificar las matemáticas relevantes. 3.Recortar gradualmente la realidad a través de procesos como hacer suposiciones, generalizar y formalizar, que promueven las características matemáticas de la situación y transforman el problema del mundo real en un problema matemático que representa la situación. 4.Resolver el problema matemático. 5.Explicar la solución matemática en términos de la situación real Descripción ampliada... Descripción ampliada... Ejemplos...

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 27 Notas importantes El ciclo de modelización no es un algoritmo. En muchas ocasiones hay que adelantarse al paso siguiente e ir hacia atrás al paso anterior. Puedes necesitar dar varias vueltas al ciclo para llegar a una solución. Hay más de una solución posible. Muchas veces la solución depende de la persona que trabaja en las tareas. «Mundo real»«Mundo matemático» Problema del mundo real Problema matemático Solución matemática Solución real

Diapositivas extra Sesión 1: Introducción a la modelización 28

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 29 Respecto al contexto de la tarea ¿Real y auténtica? ¿Interesante para los alumnos? Relevante para los alumnos Tarea 1 SíPodría serSí Tarea 2 No estoy seguroPodría ser Tarea 3 SíPodría ser Tarea 4 SíPodría serSí Tarea 5 NoProbablemente noSeguro que no Tarea 6 SíPodría ser Volver a las conclusiones

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 30 Respecto al conocimiento matemático implicado Volver a las conclusiones ¿Único y completamente determinado por adelantado? ¿Promueve el uso de distintas partes del conocimiento matemático? Tarea 1 No Estimación, cálculos aritméticos, medidas, geometría Tarea 2 Sí Funciones lineales Tarea 3 No Estimación, cálculos aritméticos, medidas, geometría Tarea 4 No Estimación, cálculos aritméticos, medidas, álgebra, funciones Tarea 5 Sí Aritmética Tarea 6 No Estimación, cálculos aritméticos

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 31 Respecto a las soluciones esperadas Volver a las conclusiones ¿Una o varias? ¿Naturaleza de la solución esperada? ¿Relación entre la solución y el contexto inicial? Tarea 1Varias Un número, un intervalo, una afirmación Relevante Tarea 2UnaUn númeroRelevante Tarea 3VariasMedidas, intervalosRelevante Tarea 4Varias Números, intervalos, afirmaciones, funciones, patrones Relevante Tarea 5UnaUn númeroTotalmente irrelevante Tarea 6VariasNúmeros, intervalosRelevante

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 32 Respecto a la actividad de quien resuelve el problema Volver a las conclusiones ¿Llevar a cabo un procedimiento «óptimo y único»? ¿Explorar, plantear hipótesis, buscar distintas maneras de trabajar, interpretar y validar sus soluciones... ? Tarea 1 NoSí Tarea 2 SíNo Tarea 3 NoSí Tarea 4 NoSí Tarea 5 SíNo Tarea 6 NoSí

Diapositivas extra Sesión 2: Describir el proceso de modelización 33

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 34 Del «problema del mundo real» al «problema matemático» (1, 2, 3) (matematización horizontal, De Lange, 1987) identificar las matemáticas relevantes respecto a un problema situado en la realidad; representar el problema de manera distinta, lo que incluye organizarlo según conceptos matemáticos y haciendo suposiciones apropiadas; comprender las relaciones entre el lenguaje del problema y el lenguaje simbólico y formal que es necesario para entenderlo matemáticamente; encontrar regularidades, relaciones y patrones; reconocer aspectos que sean isomorfos a problemas conocidos; traducir el problema a las matemáticas: por ejemplo, a un modelo matemático. Proceso de modelización (matematización): Marco PISA 2003, página 39 El ciclo de modelización (PISA, 2003)

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 35 Trabajar en el «mundo matemático» (4) (matematización vertical, De Lange, 1987) utilizar y cambiar entre distintas representaciones; utilizar lenguaje y operaciones simbólicos, formales y técnicos; refinar y ajustar modelos matemáticos; combinar e interpretar modelos; argumentar; generalizar. Proceso de modelización (matematización): Marco PISA 2003, página 39 El ciclo de modelización (PISA, 2003)

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 36 Volver a la situación del mundo real (5) (interpretar y validar tanto la solución como el modelo) comprender la extensión y límites de los conceptos matemáticos; reflexionar sobre argumentos matemáticos, y explicar y justificar resultados; expresar el proceso y la solución; criticar el modelo y sus límites. Vuelta a la presentación Proceso de modelización (matematización): Marco PISA 2003, página 39 El ciclo de modelización (PISA, 2003)

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 37 Ejemplos Tarea 1: Firmar contra una nueva leyFirmar contra una nueva ley Tarea 2: Frecuencia cardiacaFrecuencia cardiaca

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 38 Ejemplo 1: Firmar contra... Vuelta a la presentaciónTexto de la tarea Mundo real Mundo matemático Tarea tipo 1: Tarea de modelización (todo el ciclo y los pasos tienen que tenerse en cuenta) «Mundo real»«Mundo matemático» Real-mundo problema Reunir firmas Llevarlas al Congreso Real-mundo problema Reunir firmas Llevarlas al Congreso ¿De verdad se necesitan 11 furgonetas? Matemático Problema ¿Cuántas hojas de papel? ¿Cuánto volumen ocupan? pornhojas de papel? Matemático Problema ¿Cuántas hojas de papel? ¿Cuánto volumen ocupan? ¿por n hojas de papel? Matemático solución Cálculos aritméticos Calcular un volumen Matemático solución Cálculos aritméticos Calcular un volumen Realsolución Comparar volúmenes (nhojas de papel vs. 11 furgonetas) Debatir sobre la situación Realsolución Comparar volúmenes (n hojas de papel vs. 11 furgonetas) Debatir sobre la situación

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 39 Ejemplo 2: Frecuencia cardiaca Vuelta a la presentaciónTexto de la tarea Mundo real Mundo matemático Tarea tipo 2: Tarea de aplicación (los pasos 2 y 3 no hay que tenerlos en cuenta: se proporciona el modelo matemático) «Mundo real» «Mundo matemático» Real-mundo problema Dos modelos matemáticos (lineales) y ¿De qué edad en adelante el nuevo por el antiguo? Real-mundo problema Se proporcionan 2 modelos matemáticos (lineales) y una afirmación cualitativa. ¿De qué edad en adelante el nuevo modelo aumenta la frecuencia recomendada por el antiguo? Realsolución términos de edad y Realsolución Interpretar esta desigualdad en términos de edad y frecuencia cardíaca máxima recomendada. Comparación de dos funciones: x / x < ,7x? Resolver una desigualdad lineal: x > 40

Diapositivas extra Tareas 40

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 41 Tarea 1: «Firmar contra una nueva ley» Hace poco, el 25 de abril de 2006, el partido español en la oposición presentó en el Congreso firmas contra una nueva ley promulgada por el gobierno. Todos los periódicos españoles publicaron fotos de las grandes cajas y las 10 furgonetas que se habían necesitado para transportar las hojas de papel al Congreso. ¿Crees que esta puesta en escena tenía una intención política o que todas estas cajas y furgonetas eran realmente necesarias para transportar los cuatro millones de firmas? Vuelta a la presentación

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 42 Por motivos de salud las personas tienen que limitar sus esfuerzos, por ejemplo al practicar deporte, para no exceder una cierta frecuencia cardiaca. Durante años la relación entre la frecuencia cardiaca máxima recomendada de una persona y la edad de dicha persona se describía según la siguiente fórmula: frecuencia cardiaca máxima recomendada = edad Investigaciones recientes muestran que esta fórmula debería modificarse ligeramente. La nueva fórmula es como sigue: frecuencia cardiaca máxima recomendada = (0,7 x edad) Un artículo periodístico declaraba: «El resultado de utilizar la nueva fórmula en vez de la antigua es que el número de latidos máximo recomendado por minuto para personas jóvenes baja ligeramente, y para personas mayores aumenta ligeramente». ¿De qué edad en adelante aumenta la frecuencia cardiaca máxima recomendada como resultado de la introducción de la nueva fórmula? Muestra tu trabajo. Tarea 2: «Frecuencia cardiaca» Obtenido de Vuelta a la presentación

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 43 Tarea 3: Festival de música El Festival de Artes Escénicas Contemporáneas de Glastonbury es el mayor festival al aire libre de música y artes escénicas del mundo. En 2005, el área vallada del festival tenía más de 3,6 km² (900 acres), y hubo más de 385 actuaciones en directo. Muchos de los asistentes al festival llevan sus propias tiendas de campaña y duermen dentro de la zona del festival. Los organizadores necesitan limitar el número de entradas a la venta y el número de tiendas que pueden instalarse para poder garantizar la seguridad. ¿Qué les aconsejarías? Vuelta a la presentación Gracias a Logan1138. Publicada en Wikimedia Commons

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 44 Vuelta a la presentación Tarea 4: Gas natural En 1993 las reservas mundiales de gas natural se estimaron en 141,8 billones de metros cúbicos. Desde entonces se han consumido anualmente una media de 2,5 billones de metros cúbicos. Calcula cuándo se acabarán las reservas de gas natural. Utiliza distintas suposiciones y modelos. Explica todos tus pasos. © 2007 Cornelsen Verlag Scriptor · Mathematisches Modellieren Gracias a Stan Shebs. Publicada en Wikimedia Commons

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 45 Tarea 6: Vecinos En tu opinión, ¿cuánta gente vive en este bloque de pisos? © 2007 Cornelsen Verlag Scriptor · Mathematisches Modellieren Timbres de la entrada: Vuelta a la presentación

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 46 Tarea 1: «Firmar contra una nueva ley» Hace poco, el 25 de abril de 2006, el partido español en la oposición presentó en el Congreso firmas contra una nueva ley promulgada por el gobierno. Todos los periódicos españoles publicaron fotos de las grandes cajas y las 10 furgonetas que se habían necesitado para transportar las hojas de papel al Congreso. ¿Crees que esta puesta en escena tenía una intención política o que todas estas cajas y furgonetas eran realmente necesarias para transportar los cuatro millones de firmas? Vuelta a la presentación

ClasesModelizaci ó n ¿ Qu é es la modelización? ¿ Por qu é la modelización? 47 Por motivos de salud las personas tienen que limitar sus esfuerzos, por ejemplo al practicar deporte, para no exceder una cierta frecuencia cardiaca. Durante años la relación entre la frecuencia cardiaca máxima recomendada de una persona y la edad de dicha persona se describía según la siguiente fórmula: frecuencia cardiaca máxima recomendada = edad Investigaciones recientes muestran que esta fórmula debería modificarse ligeramente. La nueva fórmula es como sigue: frecuencia cardiaca máxima recomendada = (0,7 x edad) Un artículo periodístico declaraba: «El resultado de utilizar la nueva fórmula en vez de la antigua es que el número de latidos máximo recomendado por minuto para personas jóvenes baja ligeramente, y para personas mayores aumenta ligeramente». ¿De qué edad en adelante aumenta la frecuencia cardiaca máxima recomendada como resultado de la introducción de la nueva fórmula? Muestra tu trabajo. Tarea 2: «Frecuencia cardiaca» Obtenido de Vuelta a la presentación