UT 06: EL INTERÉS COMPUESTO con EL “LUISMA” Domingo González García IES Benjamín Jarnés Fuentes de Ebro (Zaragoza) UT 06: EL INTERÉS COMPUESTO con EL “LUISMA”

ÍNDICE DE LA UNIDAD 6.1.- Capitalización Compuesta TE ESTOY CONTROLANDO ÍNDICE DE LA UNIDAD 6.1.- Capitalización Compuesta A) Montante o Capital Final B) Capital Inicial o Valor Actual C) Cálculo de los Intereses Totales D) Cálculo del Tipo de Interés E) Cálculo del Tiempo 6.2.- Diferencia entre Capitalización Compuesta y Simple A) Interés Nominal B) Interés Efectivo o Tasa Anual Equivalente C) Comparación entre el tipo de interés nominal y efectivo 6.3.- CAPITALIZACIÓN FRÁCCIONADA A) Capitalización en tiempo fraccionado: convenio lineal y convenio exponencial.

Cn: Capital Final o MONTANTE Llamamos CAPITALIZACIÓN COMPUESTA “a la ley financiera en la que los INTERESES de cada período de capitalización se AGREGAN AL C APITAL para calcular los intereses del período siguiente LLAMAREMOS: Co: Capital inicial n: Duración de la operación i: Tipo de interés Cs: Montante del año “s” Is: Interés del año “s”, cuyo valor será: Cs – 1*i It: Interés Total. It = I1 + I2 +… + In Cn: Capital Final o MONTANTE INDICE

A.MONTANTE O CAPITAL FINAL ¿CÓMO OBTENEMOS LA FÓRMULA?... …CALCULAREMOS LOS SUCESIVOS MONTANTES AL FINAL DE CADA AÑO AL FINAL DEL PRIMER AÑO: C1 = Co I1 Sacando F.C. = Co(1+i) Como I1 = Co*i, Entonces C1 = Co + Co*i AL FINAL DEL SEGUNDO AÑO: C2 = C1 + I2 Como I2 = C1 *i Entonces C2 = C1 + C1*i = C1(1 + i) Como C1=Co(1+i) Entonces C2 =Co(1+i)*(1+i) Sacando F.C. C2 = Co(1 + i)2

Cn = Co(1+i)n El Montante… C3 = C2 + I3 I3 = C2 *i AL FINAL DEL TERCER AÑO: C3 = C2(1 + i) Entonces C3 =C2 + C2*i Entonces: C3 = Co(1 +i)2(1+i) C3 = Co(1+i)3 Y así sucesivamente hasta el año “n” (último año)…. Cn = C(n-1) + In Como In = C (n-1) *i Entonces APRÉNDETE ESO Cn = C (n-1) +C (n-1) *i , Es decir… Cn = C (n-1) (1 + i) Entonces… Cn = Co(1 + i) (n-1) *(1+i) Y GENERALIZANDO….. Cn = Co(1+i)n

GRÁFICAMENTE…

EJEMPLO: Calcular el montante obtenido al invertir 200 euros al 5% anual durante 10 años en régimen de capitalización compuesta. SOLUCIÓN: Cn = Co(1+i)n; Cn = 200(1 + 0,05)10 =

B) Capital Inicial o Valor Actual EJEM,EJEM… SEGUIIMOS SEÑORES/AS Nos permite expresar el valor actual (Co) de un Valor Futuro (Cn). Co Cn Co = Cn/(1+i)n O También Co = Cn(1 + i)-n

Co = Cn(1+i)-n ; Co = 1.500(1 + 0,06)-2 = 1.334,99 EJEMPLO Calcula el Capital inicial que se convirtio en 1.500€ durante 2 años y a un tipo de interés del 6% Solución Co = Cn(1+i)-n ; Co = 1.500(1 + 0,06)-2 = 1.334,99

C, D,CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES Y TIPO DE INTERÉS TE SIGO VIGILANDO C.- It= Co[(1 + i)n -1] D.- CALCULO DEL TIPO DE INTERÉS Partiendo de la fórmula general del montante: Cn/Co= (1+i)n ; Tomamos la raíz de orden “n” en ambos miembros de la igualdad y nos queda n Cn/Co = 1+i De donde O también n i = Cn/Co -1 ; i = (Cn/Co)1/n - 1

i = (Cn/Co)1/n – 1; i=(1.601,03/1.000)1/12 -1= 0,04 EJEMPLO Determinar el tanto de interés anual a que deben invertirse 1.000 euros para que en 12 años se obtenga un montante de 1.601,03 euros. SOLUCIÓN i = (Cn/Co)1/n – 1; i=(1.601,03/1.000)1/12 -1= 0,04

Log Cn = Log Co(1 + i)n y desarrollando la expresión, nos queda E. Cálculo del tiempo Igual que en los casos anteriores, partiendo de la fórmula general del contante y tomando logaritmos: Log Cn = Log Co(1 + i)n y desarrollando la expresión, nos queda Log Cn = Log Co + Log. (1 + i) Despejando “n” n = LogCn – Log Co Log (1 + i)

n =(Log.Cn – Log.Co)/(Log (1+i); Calculo del tiempo Un capital de 2.000 euros colocado a interés compuesto al 4% anual asciende a 3.202 euros. Determinar el tiempo que estuvo impuesto. SOLUCIÓN n =(Log.Cn – Log.Co)/(Log (1+i); n=( 3,5054-3,30103)/0,01703 =11,81 años

6.2.- Diferencia entre Capitalización Compuesta y Simple Cn = Co(1+i)n CAPITALIZACIÓN SIMPLE Cn = Co(1 + in) RECUERDA: “EL TIPO DE INTERÉS Y EL TIEMPO SIEMPRE DEBEN ESTAR EXPRESADOS EN LAS MISMAS UNIDADES TEMPORALES”

6.2.- Diferencia entre Capitalización Compuesta y Simple continucación De todo lo expuesto anteriormente podemos concluir diciendo: Que el montante de la capitalización ES MAYOR en la capitalización simple en períodos inferiores al año. IGUAL en períodos de un año y MENOR en períodos superiores al año. Tiempo Capitales n = 0 Cn(simple) = Cn(compuesta) n = 1 Cn(simple) = Cn(compuesta) 0<n<1 Cn(simple) >Cn(compuesta) n>1 Cn(simple) < Cn(compuesta)

De ahí que podemos establecer la siguiente relación: A) Interés Nominal En todos los documentos financieros, aparen normalmente dos tipos de interés: 1.- Jm Es el interés NOMINAL O PROPORCIONAL ANUAL.(Es decir, es el tanto proporcional anual; y que se obtiene multiplicando “m” veces el tipo de interés de un período fraccionado. 2.- i. Es la Tasa Anual Equivalente (TAE) De ahí que podemos establecer la siguiente relación: Jm =m * im Y en consecuencia: im = Jm /m

B) Interés Efectivo o Tasa Anual Equivalente OBERVA B) Interés Efectivo o Tasa Anual Equivalente POR LO TANTO El Interés Efectivo o TAE, (i) es el interés REALMENTE ABONADO O CARGADO EN LAS OPERACIONES FINANCIERAS Si 1€ invertido al tanto “i” durante 1 año, proporciona un montante de Cn=1(1+i)1. El mismo Euro invertido durante un año pero con capitalización fraccionada (im)proporcionará un montante igual a (1 + i(m))m

(1 + i) = (1 + i(m) )m i(m) = (1 + i)1/m -1 i = (1 + im)m - 1 B) Interés Efectivo o Tasa Anual Equivalente CONTINUACIÓN PARA QUE EL TANTO “i” SEA EQUIVALENTE A im , AMBOS MONTANTES TENDRÁN QUE SER IGUALES (1 + i) = (1 + i(m) )m i(m) = (1 + i)1/m -1 i = (1 + im)m - 1

C) Comparación entre el tipo de interés nominal y efectivo DADO QUE EN MUCHOS DOCUMENTOS MERCANTILES SE EXPRESA EL INTERÉS NOMINAL SOLAMENTE, ES NECESARIO PODER CALCULAR EL INTERÉS EFECTIVO EN FUNCIÓN DEL NOMINAL VASTA SUSTITUIR ENLA FÓRMULA DE EQUIVALENCIA EL VALOR im , POR EL CORRESPONDIENTE NOMINNAL PARA ELLO ES DECIR i = (1 + i(m))m – 1 ; i(m) = J(m) m i TAE GRÁFICAMENTE, LA COMPARACIÓN ENTRE EL INTERÉS NOMINAL Y EL EFECTIVO J(m)

6.3.- CAPITALIZACIÓN FRÁCCIONADA A) Capitalización en tiempo fraccionado: convenio lineal y convenio exponencial. Las variables con las que trabajaremos son: Co= Capital inicial im = Tanto fraccionado referido al período de capitalización n*m= Tiempo total de la operación, medido en la misma unidad que el tanto fraccionado Entendemos por CAPITALIZACIÓN COMPUESTA EN TIEMPO FRACCIONADO, la operación financiera en la que el tiempo no es un número exacto de períodos (años). Su cálculo se puede realizar CONVENIO LINEAL Cn = Co(1+i)n (1 + i*m) CONVENIO EXPONENCIAL Cn = Co(1 + i)(n+m)

Y de regalo…. http://www.youtube.com/watch?v=J0iYFPUdCE8