Geomecánica computacional Módulo 1 Geotecnia III UNLP

Terzaghi – Peck, Prólogo a la primera edición, 1948 “Desafortunadamente las actividades de investigación en mecánica de suelos... distrajeron la atención de muchos investigadores y docentes de las múltiples limitaciones impuestas por la naturaleza a la aplicación de la matemática a los problemas de ingeniería de tierras... En la inmensa mayoría de los casos no se necesita más que una predicción grosera, y si dicha predicción no puede ser realizada con medios simples, no puede ser realizada en absoluto” Geomecánica Computacional 1 (Terzaghi 1948)

Terzaghi – Peck, Prólogo a la tercera edición, 1996 “En el medio siglo que transcurrió... la investi-gación... ha permanecido inalterada, y se ha acumulado una vasta literatura referida a las propiedades de los suelos... Por lo tanto, hoy puede no ser cierto que si una predicción no puede ser realizada con medios simples, no puede ser realizada en absoluto. Como contrapartida de este progreso, es cada vez más importante que la elección de las propiedades de los suelos usadas en el análisis esté basada en un conocimiento fundamentalmente correcto del comportamiento de los suelos” Geomecánica Computacional 1 (Peck 1996)

Geomecánica computacional Mecánica computacional: Simulación del compor-tamiento mecánico de materiales mediante técnicas computacionales Geomecánica computacional: Mecánica computa-cional aplicada a geomateriales En ingeniería civil Suelos Rocas Hormigones Materiales pulverulentos (cementos, etc.) Geomecánica Computacional 1

Geomecánica computacional Geotecnia: resistencia de materiales muchas hipótesis simplificativas sobre materiales y geometría fórmulas analíticas “universales” Geomecánica Computacional: mecánica del continuo menos hipótesis sobre materiales y geometría resultados numéricos válidos caso a caso Geotecnia Geomecánica Computacional 1 G. Computacional

Geomecánica computacional Analítico: geometría simple, material simple: una formula Numérico: geometría compleja, material complejo: un número Geomecánica Computacional 1 (Duncan 2005)

Modelos de resortes vs geomecánica computacional En los modelos de resortes la única “estructura” es el hormigón Barras o placas elásticas o elasto-plásticas Geomateriales reemplazados por cargas y resortes Se calcula el equilibrio de la estructura con sus apoyos (el terreno) y cargas (¡el terreno!) Geomecánica Computacional 1 (USACE)

Modelos de resortes vs geomecánica computacional En la geomecánica computacional tanto el terreno como el hormigón son estructuras Los materiales son elasto- visco-plásticos o discontinuos Los elementos estructurales son barras, placas, cables, membranas o 3D Los geomateriales son elementos 2D o 3D Se calcula el equilibrio entre sólidos en contacto Geomecánica Computacional 1

Ecuaciones constitutivas El equilibrio relaciona fuerzas con tensiones (son las mismas para cualquier material) Geomecánica Computacional 1 Fuerza  Tensión  Deformación  Desplazamiento

Ecuaciones constitutivas El equilibrio relaciona fuerzas con tensiones La cinemática relaciona deformaciones con desplazamientos (son las mismas para cualquier material) Geomecánica Computacional 1 Fuerza  Tensión  Deformación  Desplazamiento

Ecuaciones constitutivas El equilibrio relaciona fuerzas con tensiones La cinemática relaciona deformaciones con desplazamientos Las ecuaciones constitutivas relacionan tensiones con deformaciones (dependen del material que se estudia) Sólido elástico… Fluido Newtoniano… Gas perfecto… Geomecánica Computacional 1 Fuerza  Tensión  Deformación  Desplazamiento

Ecuaciones constitutivas comunes en mecánica del sólido Hemos usado ecuaciones constitutivas Elasticidad: en resistencia de materiales Plasticidad: en los criterios de rotura Fluidos: en hidráulica Gases: ley de gas perfecto de termodinámica Geomecánica Computacional 1

Ecuaciones constitutivas comunes Elástico lineal Elástico no lineal Rígido plástico Geomecánica Computacional 1 (Olivella, CIMNE) Elastoplástico perfecto Elastoplástico endurecimiento Elastoplástico ablandamiento Elastoplástico, endu-recimiento no lineal

Cantidad de parámetros materiales 100 10 Cantidad de parámetros Geomecánica Computacional 1 2 1 1960 1970 1980 1990 2000 año Hasta 1960, la mecánica de suelos estaba confinada a elasticidad isótropa lineal, con dos parámetros materiales (Scott 1988)

Cantidad de parámetros materiales 100 10 Cantidad de parámetros Geomecánica Computacional 1 5 2 1 1960 1970 1980 1990 2000 año La introducción de la plasticidad perfecta (Drucker-Prager y luego Mohr-Coulomb) agregó tres parámetros materiales (Scott 1988)

Cantidad de parámetros materiales 100 10 14 Cantidad de parámetros Geomecánica Computacional 1 5 2 1 1960 1970 1980 1990 2000 año A finales de los 70’, Lade presentó un modelo con catorce parámetros materiales (Scott 1988)

Cantidad de parámetros materiales 100 25 10 14 Cantidad de parámetros Geomecánica Computacional 1 5 2 1 1960 1970 1980 1990 2000 año El los seminarios de Villard-de-Lans se introdujeron modelos con 25 constantes (Scott 1988)

Cantidad de parámetros materiales 100 40 25 10 14 Cantidad de parámetros Geomecánica Computacional 1 5 2 1 1960 1970 1980 1990 2000 año En un seminario de 1988 se presentaron modelos con hasta 40 parámetros (Scott 1988)

Geomecánica Computacional 1 Criterios de rotura Los criterios de rotura son funciones del tensor de tensiones que definen cuando ocurre la falla Geomecánica Computacional 1

Geomecánica Computacional 1 Criterios de rotura Tresca y Von Mises Mohr-Coulomb Geomecánica Computacional 1 (Wikipedia) (Plaxis UM)

Mohr-Coulomb vs Matsuoka-Nakai Influencia de σ2 Geomecánica Computacional 1 (Plaxis UM)

Mohr-Coulomb vs Matsuoka-Nakai Influencia de σ2 Geomecánica Computacional 1 s1 s2 s3

FEM – aproximado por definición Un BVP es una gran integral, sin solución analítica en general Geomecánica Computacional 1 (Viggiani 2004)

FEM – aproximado por definición Un BVP es una gran integral, sin solución analítica en general FEM es un procedi- miento para partir un BVP complejo en la suma de pedazos (elementos) pequeños (finitos) Geomecánica Computacional 1 Introducción elementos finitos (Viggiani 2004)

FEM – aproximado por definición Se calcula la respuesta de cada elemento y se la ensambla en un gran recipiente (la matriz de rigidez) Con ella, el BVP se resuelve a gran escala Geomecánica Computacional 1 (Viggiani 2004)

FEM – aproximado por definición Las incógnitas viven en los nodos (p.ej. desplazamientos) Geomecánica Computacional 1 Introducción elementos finitos ue = f(Ue (Viggiani 2004)

FEM – aproximado por definición Las incógnitas viven en los nodos (p.ej. desplazamientos) Los desplazamientos se interpolan a los puntos de Gauss Introducción elementos finitos Geomecánica Computacional 1 ue = f(Ue) (Viggiani 2004)

FEM – aproximado por definición Las incógnitas viven en los nodos (p.ej. desplazamientos) Los desplazamientos se interpolan a los puntos de Gauss Las deformaciones se calculan como derivadas de despl. Introducción elementos finitos Geomecánica Computacional 1 ue = f(Ue) ∧ ε = f(ue) (Viggiani 2004)

FEM – aproximado por definición Las incógnitas viven en los nodos (p.ej. desplazamientos) Los desplazamientos se interpolan a los puntos de Gauss Las deformaciones se calculan como derivadas de despl. Las tensiones se calculan con un modelo constitutivo Introducción elementos finitos Geomecánica Computacional 1 ue = f(Ue) ∧ ε = f(ue) ∧ σ = f(ε) (Viggiani 2004)

FEM – aproximado por definición Las incógnitas viven en los nodos (p.ej. desplazamientos) Los desplazamientos se interpolan a los puntos de Gauss Las deformaciones se calculan como derivadas de despl. Las tensiones se calculan con un modelo constitutivo Las tensiones se integran (aprox) en fuerzas nodales Introducción elementos finitos Geomecánica Computacional 1 ue = f(Ue) ∧ ε = f(ue) ∧ σ = f(ε) ∧ F = f(σ) (Viggiani 2004)

FEM – aproximado por definición Las incógnitas viven en los nodos (p.ej. desplazamientos) Los desplazamientos se interpolan a los puntos de Gauss Las deformaciones se calculan como derivadas de despl. Las tensiones se calculan con un modelo constitutivo Las tensiones se integran (aprox) en fuerzas nodales Las fuerzas nodales deben estar en equilibrio con las condiciones de borde Introducción elementos finitos Geomecánica Computacional 1 ue = f(Ue) ∧ ε = f(ue) ∧ σ = f(ε) ∧ F = f(σ)  F = ffff(Ue) = Ke x Ue = Fext (Viggiani 2004)

FEM – aproximado por definición Las incógnitas viven en los nodos (p.ej. desplazamientos) Los desplazamientos se interpolan a los puntos de Gauss Las deformaciones se calculan como derivadas de despl. Las tensiones se calculan con un modelo constitutivo Las tensiones se integran (aprox) en fuerzas nodales Las fuerzas nodales deben estar en equilibrio con las condiciones de borde Con estos elementos se calculan las incógnitas Geomecánica Computacional 1 Ke x Ue = Fext Ue = (Ke)-1 x Fext (Viggiani 2004)

Geomecánica Computacional 1 Precacuciones No pueden quedar nodos sueltos La distorsión tiene límites (no concavidad) Geomecánica Computacional 1 (Bathe 1996)

Geomecánica Computacional 1 Criterios de mallado La malla es la discretización de un problema continuo La densidad local de la malla depende del gradiente de la solución (de cómo “cambian los colores”) La malla es una combinación de Tipo de elemento (en Plaxis, T6 y T15) Tamaño medio de elementos Refinamientos locales Geomecánica Computacional 1

Geomecánica Computacional 1 Tipos de elemento En Plaxis hay T6 y T15 Elemento de seis nodos T6 Interpolación cuadrática No funciona bien con axisimetría No funciona bien cerca de falla (y en análisis FoS) Elemento de quince nodos T15 Interpolación de orden cuatro Distorsión limitada (puede fallar en updated mesh) Geomecánica Computacional 1

Tipos de elemento En Plaxis hay T6 y T15 Para una misma cantidad de nodos T15 tiene 10% mas precisión que T6 para análisis FoS 6-node triangular elements 15-node triangular elements Geomecánica Computacional 1 (Waterman 2010)

Tamaño de elemento y refinamiento de malla La malla se refina donde el gradiente de la solución es grande Cerca de cargas y estructuras En zonas con saltos de rigidez significativos Es mejor usar mallas grandes con elementos grandes cerca de los bordes que mallas chicas Geomecánica Computacional 1 (Viggiani 2004)

Tamaño de elemento y refinamiento de malla En Plaxis, el tamaño de los elementos se calcula con la expresión Donde nc es un número que se define con la tabla very coarse - coarse - medium - fine - very fine o se entra a mano (opción experta) Geomecánica Computacional 1

Geomecánica Computacional 1 Una malla bonita Geomecánica Computacional 1 (Waterman 2014)

Condiciones iniciales y de borde Condiciones de borde: restricciones permanentes Dirichlet: determinan el valor de la incógnita en el contorno de la malla (p.ej. desplazamientos) Von Neumann: determinan el valor de derivadas de la incógnita (p.ej. fuerzas) Geomecánica Computacional 1

Condiciones iniciales y de borde Condiciones de borde: restricciones permanentes Dirichlet: determinan el valor de la incógnita en el contorno de la malla (p.ej. desplazamientos) Von Neumann: determinan el valor de derivadas de la incógnita (p.ej. fuerzas) Condiciones iniciales (en todos los nodos / GP) Desplazamientos Fuerzas Variables de estado (tensión, def. plástica, etc.) Geomecánica Computacional 1

Todos los bordes – siempre - tienen condiciones impuestas Ux = 0 Fy = P Fx = 0 Fy = 0 Ux = 0 Fy = 0 Geomecánica Computacional 1 Ux = 0 Fy = 0 Uy = 0 Fx = 0

Geomecánica Computacional 1 Tensiones iniciales Representan el estado (de equilibrio) inicial del terreno Peso propio Historia de tensiones (p.ej. K0) Geomecánica Computacional 1

Geomecánica Computacional 1 Tensiones iniciales Representan el estado (de equilibrio) inicial del terreno Peso propio Historia de tensiones (p.ej. K0) Se pueden calcular reproduciendo la historia de tensiones (laborioso y poco práctico) Geomecánica Computacional 1

Geomecánica Computacional 1 Tensiones iniciales Representan el estado (de equilibrio) inicial del terreno Peso propio Historia de tensiones (p.ej. K0) Se pueden calcular reproduciendo la historia de tensiones (laborioso y poco práctico) Para casos simples se pueden imponer y luego verificar equilibrio y admisibilidad plástica Geomecánica Computacional 1

Geomecánica Computacional 1 Cuando se puede usar K0 K0 – OCR – POP: Sólo en terreno horizontal con estratos horizontales Para cualquier otro caso se debe reproducir la historia de tensiones del material Geomecánica Computacional 1 (Waterman 2008) No usar K0 en estos casos Fin

Concepto de comportamiento elástico Un sólido tiene comportamiento elástico si luego de un ciclo de carga y descarga recupera su forma y no disipa energía en en proceso carga-descarga Geomecánica Computacional 1 Elasticidad lineal Elasticidad no lineal ¿trayectoria de corte? Elasticidad no lineal ¿trayectoria edométrica? (Hasbani 2010)

Elasticidad lineal isotrópica La elasticidad lineal isotrópica se escribe como Tiene dos parámetros materiales: E, ν Para deformación plana tiene la forma matricial Geomecánica Computacional 1

G0: Teoría de contacto elástico La rigidez elástica es proporcional a la presión y densidad Contacto esférico Contacto cono-placa Geomecánica Computacional 1

Geomecánica Computacional 1 Correlaciones para G0 Geomecánica Computacional 1 (Pestana 2010)

El concepto de las “propiedades dinámicas” de los suelos El movimiento de un punto material obedece a Esto prueba que la única “propiedad dinámica del suelo” es su masa En ingeniería civil se resuelve el problema Y se define una “rigidez dinámica” Geomecánica Computacional 1

El concepto de las “propiedades dinámicas” de los suelos La diferencia entre las curvas se debe a c pero se atribuye a k La amplitud de la “carga dinámica” es pequeña: k alto La “rigidez dinámica” es la suma de la rigidez a baja deformación mas el efecto viscoplástico Geomecánica Computacional 1

El problema no-lineal, caso unidimensional Formulación hiperelástica para K constante Para K dependiente de la presión Geomecánica Computacional 1

El problema no-lineal, caso unidimensional Explícito: parece hiperelasticidad, es hipoelasticidad Implícito: es hiperelasticidad, puede despejarse pn+1 Geomecánica Computacional 1

El problema no-lineal, caso unidimensional Datos Solución implícita Solución explícita Geomecánica Computacional 1 Cant pasos 1 10 100 1000 Presión -73kPa -156kPa -171kPa -173kPa

Esquema de Newton-Raphson Se parte de un estado convergido Se impone el incremento de def. El problema a resolver es Que se reescribe implícita (se caen los (n+1)) Este problema se resuelve a partir de pn y se itera en p hasta que se alcanza la condición F = 0 Geomecánica Computacional 1

Esquema de Newton-Raphson Para eso se hace una expansión de Taylor de F y se despeja el incremento de tensión Δp que permite calcular La derivada es (Cuando anda) el esquema es robusto y de convergencia rápida Geomecánica Computacional 1

Geomecánica Computacional 1 Cómo funciona Geomecánica Computacional 1

Geomecánica Computacional 1 Cómo funciona Geomecánica Computacional 1

Geomecánica Computacional 1 Cómo funciona Geomecánica Computacional 1

Geomecánica Computacional 1 Cómo funciona Geomecánica Computacional 1

Geomecánica Computacional 1 Cómo funciona Geomecánica Computacional 1

Geomecánica Computacional 1 Cómo funciona Geomecánica Computacional 1

Geomecánica Computacional 1 Cómo se arregla El reducido radio de convergencia de N-R originó cientos de métodos de integración Una manera sencilla de resolver el problema para el ejemplo es complementar a N-R con bisección Geomecánica Computacional 1

Geomecánica Computacional 1 Cómo se arregla Se eligen topes ridículamente lejanos Geomecánica Computacional 1

Geomecánica Computacional 1 Cómo se arregla Se eligen topes ridículamente lejanos Se resuelve N-R Geomecánica Computacional 1

Geomecánica Computacional 1 Cómo se arregla Se eligen topes ridículamente lejanos Se resuelve N-R Si la presión cae fuera de los topes, se ignora el resultado y se adopta un promedio de los topes Geomecánica Computacional 1

Geomecánica Computacional 1 Cómo se arregla Se eligen topes ridículamente lejanos Se resuelve N-R Si la presión cae fuera de los topes, se ignora el resultado y se adopta un promedio de los topes En función del valor de F se corrigen los topes Geomecánica Computacional 1

Bibliografía esencial (en orden decreciente) Potts et al. Guideline for the use of advanced numerical analysis. COST Action C7. Thomas Telford 2002. Potts & Zdravkovic. Finite element analysis in geotechnical engineering. Thomas Telford 1999. Chen & Mizuno. Nonlinear analysis in soil mechanics. Elsevier 1990. Muir Wood. Geotechnical modelling. 2004. USACE. Geotechnical analysis by the FEM. Report ETL 1110-2-544. Puzrin. Constitutive modelling in geomechanics. Springer 2012. Yu. Plasticity and geotechnics. Springer 2006. Bull. Numerical analysis modelling geomechanics. Spon Press 2003. Geomecánica Computacional 1

Bibliografía esencial (en orden decreciente) Bull. Numerical analysis modelling geomechanics. Spon Press 2003. Zienkiewicz et al. Computational geomechanics. Wiley 1999. Lewis&Schrefler. The FEM in the static and dynamic deformation and consolidation of porous media. Wiley 1998. Bathe, K. Finite element procedures. Bathe. Zienkiewicz et al. The finite element method. Butterworth-Heinemann. Olivella & Agelet. Mecánica de medios continuos para ingenieros. UPC. Geomecánica Computacional 1