Microeconomía Superior II: Tema 1 Rafael Salas UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Departamento de Fundamentos del Análisis Económico I Microeconomía Superior II: Tema 1 Rafael Salas

Esquema... La empresa: Producción Optimización Estática comparativa Mercados

Fundamentos de la producción... Función de producción Eficiencia técnica Convexidad Sustituibilidad Rendimientos a escala Producto marginal En este tema se establecen algunos elementos importantes para el análisis de las empresas. Lo hacemos en principio en un contexto de empresas productora de un solo producto... ...y (en principio) suponemos un contexto competitivo. Construimos el modelo...

Notación zi z = (z1, z2 , ..., zm ) Y wi w = (w1, w2 , ..., wm ) P Cantidades zi cantidad del input i z = (z1, z2 , ..., zm ) vector de inputs Y cantidad de output Precios wi precio del input i w = (w1, w2 , ..., wm ) vector de precios de Inputs P precio del output

La producción factible La función de producción Un único output, varios inputs La relación básica entre output e inputs: Y £ F(z1, z2, ...., zm ) Esto puede expresarse más compactamente como: Y £ F(z) Notad que usamos “£” y no “=“ en la relación. Véamos el significado de F vector de inputs Distinguimos dos tipos de casos... F proporciona la máxima cantidad de output que puede producirse dada una cantidad de inputs

Eficiencia técnica Caso 1: Y = F(z) Caso 2: Y < F(z) El caso donde la producción es ténicamente eficiente El caso donde producción es (técnicamente) ineficiente Caso 2: Y < F(z) Intuición: si la combinación (z,Y) es ineficiente, se podrían “tirar” varios inputs y seguir produciendo lo mismo

La función de producción Puntos no factibles Y > F(z1,z2) Y Puntos factibles e ineficientes Y < F(z1,z2) Puntos tecnicam. eficientes Y = F(z1,z2) output G(z , z ) 1 2 input 2 z2 input 1 z1

Esquema... Producción: Inputs necesarios Isocuantas Producto marginal

El conjunto de cantidades necesarias de inputs Selecciona un nivel de producto Y Buscad un vector factible z recordad, debemos tener Y £ F(z) Repetid hasta encontrad todos los vectores de inputs El conjunto de cantidades necesarias de los inputs Z(Y) := {z: Y  F(z)} El conjunto de vectores de inputs debe ser factible... Primero, veamos el caso “standard” ... La forma de Z depende de los supuestos sobre la tecnología...

El conjunto de cantidades necesarias de inputs: Factibles, pero ineficientes F(z1,z2) >Y z2 P. técnicamente eficientes F(z1,z2) =Y P. no factibles F(z1,z2) <Y _ Z(Y) z1

Axioma 1: La tecnogía es contínua Z(Y) es un conjunto cerrado, que contiene a su frontera La frontera, además, va a ser contínua z2 _ Z(Y) z Además se adoptan dos supuestos técnicos si z=0, Y=0 si Y>0, z>0 z1

_ Z(Y) Axioma 2: Z es monótono z¢ z z2 z1 Dado un z que pertenece a Z(Y) y dado un z¢, que no emplea menos cantidades que z z2 z¢ _ Z(Y) Entonces z¢ pertenece también a Z(Y) z Significado: existe eliminación gratuita (si aumentamos los inputs podemos producir lo mismo) z1

_ Z(Y) Axioma 3: Z es convexo z ¢ z² z2 z1 Elige dos puntos Dibuja una linea recta entre ellos _ Z(Y) Los puntos intermedios deben estar en Z (posiblemente en la frontera) z ¢ significado: una combinación de técnicas factibles es factible z² z1

_ Z(Y) Caso: Z no es convexo Esta región causa un problema 2 este punto no es factible Esta región causa un problema _ Z(Y) significado: en esta región puede haber indivisibilidades z 1

Caso: Z es convexo pero no suave 2 _ Z(Y) La pendiente no está definida en este punto El único punto eficiente F(z1,z2) =Y z 1

Esquema... Producción: Inputs necesarios Isocuantas Producto marginal

Isocuantas { z : F(z) = Y } Seleccionad un nivel de Y Buscad el conjunto necesario de factores Z(Y) La isocuanta es la frontera de Z(Y) { z : F(z) = Y } Usamos subíndices para denotar derivadas parciales. Así Si la función F es diferenciable en z entonces la relación marginal de sustitución técnica es la pendiente en z: ¶F(z) Fi(z) := —— ¶zi . Fj (z) —— Fi (z) Veamos la forma de la isocuanta Nos dice la tasa de sustitución entre factores a lo largo de una isocuanta – que mantiene Yconstante

La isocuanta es la frontera de Z La relación de inputs describen la técnica productiva Pend. = z2 / z1 A isocuanta por A z2 inputs requiridos para producir A { z : F(z) = Y } z1

La relación marginal de sustitución técnica La pendiente de la isocuanta es la relación marginal de sustitución en A. Nos indica el número de unidades necesarias de 2 para sustituir a una de 1, infinitesimalmente, y seguir produciendo lo mismo. F1(z)/F2(z) ratio de input z2 A' A (Y) z1

La elasticidad de sustitución La respuesta del ratio de factores a la RMST es la elasticidad de sustitución log(z1/z2) -  log(F1/F2) Puede entenderse como una medida de la “curvatura” de la isocuanta F1(z)/F2(z) ratio de inputs z2 A' A (Y) Un caso especial... z1

Elasticidad de sustitución constante: z2 Incremento de la elasticidad de sustitución... Veamos la estructura del mapa de isocuantas... z1

Isocuantas homotéticas z2 z1

Funciones homogéneas tz1 tz2 trY z 2 F(t z) = t F(z) r Y z 1

Incremento proporcional de todos los inputs: RCE Q F(t z) = t F(z) Rendimientos constantes a escala z 2 Rayo de expansión z 1

Incremento proporcional de todos los inputs: RCreE Q Rendimientos crecientes a escala t >1Þ F(t z) > t F(z) z 2 z 1

Incremento proporcional de todos los inputs: RDecrE Q Rendimientos decrecientes a escala t >1Þ F(t z) < t F(z) z 2 z 1

Funciones homogéneas Grado de homogeneidad 1  Rendimientos constantes a escala Grado de homogeneidad <1  Rendimientos decrecientes a escala Grado de homogeneidad >1  Rendimientos crecientes a escala Para analizar el tipo de rendimientos cuando la función no es homogénea, utilizamos la elasticidad de escala: Se define como el incremento porcentual del output al incrementar proporcionalmente todos los inputs, localmente en z, evaluado para t=1: F (tz)/F(tz) —————  t/t

Práctica . EJERCICIO: Dibuje las isocuantas correspondientes a: Y=a z1 + b z2 Y=min(z1/a , z2/b) Y= z1a z2 b Y= a z1 2 + b z2 2 donde a y b > 0 Indique los rendimientos a escala y el valor de la elasticidad de sustitución .

Práctica EJERCICIO: Calcule la elasticidad de sustitución correspondiente a: Y= {a1 z1 b + a2 z2 b }1/b donde a i > 0 y 1  b > -  Indique los rendimientos a escala .

Tomemos una sección “horizontal” Tomemos una sección “horizontal”...para obtener la noción de la isocuanta Q Y =`Y isocuanta z 2 z 1

Tomemos ahora una sección “vertical”... Q z 2 …esto nos proporciona nuestro nuevo concepto z 1

Esquema... Producción: Inputs necesarios Isocuantas Producto marginal

Producto marginal ¶F(z) —— Pmgi = Fi(z) = ¶zi Seleccione un vector de inputs técnicamente eficiente Recuerde, esto significa que elegimos z tal que Y= F(z) Varíe un input y deje los demás costantes Medimos el cambio marginal en el output con respecto a ese input El producto marginal ¶F(z) —— ¶zi Pmgi = Fi(z) = Veamos su forma

Tomemos el caso convencional… Posibles relaciones entre el output y un input z1 Q F(z) z1 Q F(z) z1 Y F(z) z1 Y F(z)

Veamos la relación entre el output y el input 1... F(z) Conjunto factible Conjunto de técnicas eficientes Input 1 es esencial: Si z1=0, Y=0 z 1

F1 cae con z1 si F es cóncava Producto marginal Y pendiente = F1(z) F(z) F1 cae con z1 si F es cóncava z 1

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