Microeconomía Superior II: Optimización (2) Rafael Salas UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Departamento de Fundamentos del Análisis Económico I Microeconomía Superior II: Optimización (2) Rafael Salas

Dos problemas equivalentes Empresa Empresa y mercado Estática comparativa Optimización Producción Problema dual Problema primal Problema primal Problema dual

Problema dual (primera etapa) Elegimos un nivel de productoY Tomamos como dados los precios de los inputs w (y del output P) Maximizamos beneficios... ...minimizando los costes S wi zi m i=1

Definimos la isocoste Dado un vector de precios w... éste es el conjunto de puntos z en el espacio de los inputs... ...que consiguen un nivel de costes de los factores C determinado. Forman un hiperplano (línea recta)... C=wizi

Usamos ésto para derivar el óptimo Líneas isocostes z2 z1 Coste creciente w1z1 + w2z2 = c" w1z1 + w2z2 = c' w1z1 + w2z2 = c (constante) Usamos ésto para derivar el óptimo

Minimización de costes Coste decreciente ¿Qué condiciones cumple z*? z* z1

_____ __ = Fi(z) wi Fj(z) wj Dados los inputs i y j ... RMST ¿Qué sucede si alteramos la tecnología? En la práctica Obtenemos la misma CPO (condición de tangencia) que con el problema primal

La solución general... obtenemos los valores de los inputs que minimizan el coste para cada input... ...a través de los multiplicadores de Lagrange... ...y, por supuesto, el valor del coste mínimo. Ambos valores pueden escribirse como funciones de los precios (w) y del output (Y). Veamos...

Las funciones de demanda de factores condicionada z1* = z1c (Y,w1 ,...,wm ) ... ... ... zm* = zmc (Y,w1 ,...,wm ) ü ý þ Nivel de producto especificado vector de precios de los inputs

Las funciones de demanda condicionada de factores La f. de demanda condicionada de factores es no creciente en sus precios Homogéneas de grado 0 en w

Las funciones de costes Si introducimos z1c (Y,w1 ,w2 ) y z2c (Y,w1 ,w2 ) en la definición de los costes obtenemos la función de costes: C (Y,w1 ,w2 ) = w1z1c (Y,w1 ,w2 ) + w2 z2c (Y,w1 ,w2 ) Indica el mínimo coste obtenible, dados los precios de los factores y un nivel de producto (es análoga a la f. de gasto en el problema dual del consumidor)

min S wi zi C(w, Y) := La función de costes {G(z) ³Y} vector de precios de los inputs Nivel de producto especificado

La función de costes va a ser un concepto útil Dado que es una función de óptimo... ...tiene propiedades interesantes. Lo cual es cierto para todas las funciones de producción F. Como veremos en aplicaciones a lo largo del curso Veamos...

La f. de costes es no decreciente en wi C(w, Y) wi

La f. de costes es creciente en Y C(w, Y+DY) C C(w, Y) wi

La f. de costes es cóncava en precios B A Coste en D > 1/2 [Coste en A + Coste en B] w1

La f. de costes es homogénea de grado 1 en w C(tw,Y) = t Siwi zi* = tC(w,Y) z2 z* Mínimo coste dado tw, y dados Y z* Mínimo coste dado w, y dado Y z1

Lema de Shephard Pendiente = z1* C ¶C(w, Y) ¶wi = zi* _______ wi

Práctica Deriva la demanda condicionada de factores y la función de costes de: Y= z11/2 z2 1/2 Y= (z11/2 + z2 1/2)2 Y= L1/2 K 1/2, K=25 Comprueba el lema de Shephard Deriva la demanda condicionada de factores dada la función de costes siguiente: C= A w1a w2 b Y .

Práctica . Calcule las funciones de costes correspondientes a: Y=a z1 + b z2 Y=min(z1/a , z2/b) Y= a z1 2 + b z2 2 donde a y b > 0 ¡Cuidado con los casos no difereciables y con el último caso! ·Indique los rendimientos a escala que poseen a partir de la función de costes. .

Problema dual (segunda etapa) Una vez resuelto el problema de minimización de costes Tomamos el precio del output P como dado. Usamos la función de costes C(w,Y) para plantear la maximización del beneficio. Derivamos de esta forma Y que maximiza beneficios... Derivamos de nuevo la oferta de producto y la demanda de factores P=PY- C(w,Y)

Maximización de beneficios: oferta de producto Solución:  P/  Y = 0  P = C(w,Y)/Y  P =Cmg Y

Maximización de beneficios: demanda de factores Solución:  P /  z1 = 0  P Y/z1 = w1  P /  z2 = 0  P Y/z2 = w2  P Pmg z1 = w1  P Pmg z2 = w2

Las funciones de oferta de producto y demanda de factores P = dC (w, Y)/dY “Precio igual al coste marginal” Se deduce la oferta de producto Ys (w,P) P dY/dz1=w1 “Valor de la productividad igual al precio del factor” Se deduce la demanda de factores z1d (w,P)

Práctica Deriva la oferta de producto y la demanda de factores, a partir de las funciones de costes, de: Y= z11/2 z2 1/2 Y= (z11/2 + z2 1/2)2 Y= L1/2 K 1/2, K=25 .

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