UPC Tema: ESPACIO VECTORIAL Rn Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas TÓPICOS DE MATEMATICA 1 (E.P.E.) MA112 (EPE) UPC Tema: ESPACIO VECTORIAL Rn

Competencias: 1. Define el espacio Rn y sus propiedades 2. Explica el concepto de combinación lineal de vectores de Rn. 3. Define base de un E.V., conjunto LI y LD. 4. Explica el concepto de coordenadas de un vector respecto a una base B de Rn.

ESPACIO VECTORIAL Rn INTRODUCCIÓN Se dá este nombre por que el conjunto de vectores de Rn ( en particular R2 o R3 ) junto con las operaciones de adición y multiplicación por un escalar satisfacen una serie de axiomas. Así todo conjunto de entes matemáticos que cumplan estos axiomas se dice que es un espacio vectorial , esto permite extender muchas propiedades a una gran variedad de elementos matemáticos.

1. x+y está en Rn. 2. .x está en Rn. 3 . x + y = y + x AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL Sean x,y,z vectores de Rn ;  ,  escalares. Rn es un espacio vectorial, ya que satisface los sigientes axiomas 1. x+y está en Rn. 2. .x está en Rn. 3 . x + y = y + x 4 . (x + y) +z = x+ (y + z)

5 . Existe un vector 0 de Rn tal que : 0 + x= x+ 0= x 6 . Para todo x de Rn existe un elemento –x en Rn tal que: x +(-x)= 0 7. 1. x= x 8 .  (. x)= (  ).x 9 . ( +  ).x=.x+ . x 10 . (x + y)= .x +.y

VECTORES Definición 1: (Definición Geométrica de un vector) Definamos el vector como un segmento de recta dirigido. Sean P y Q dos puntos del espacio. El segmento de recta dirigido PQ, es el segmento de recta que va del punto inicial P al punto final Q. Q P

z y x Método del triángulo OPERACIONES CON VECTORES Adición de vectores x z y A B R = A+B Método del triángulo B R = A+B Método del paralelogramo. A

VECTOR n - DIMENSIONAL Definición: A los n números reales ordenados le llamaremos n-upla o vector n-dimensional.

{ IGUALDAD u (a , a , ... , a ) v (b , b , ... , b ) a = b u v 2 1 n n

SUMA (a , a , ... , a ) 2 1 n (b , b , ... , b ) n 2 1 + (a + b , a + b , ... , a + b ) 2 1 n PRODUCTO POR UN ESCALAR (a , a , ... , a ) 2 1 n ( a , a , ... , a ) 2 1 n C c

u (a ,a ,... ,a ) v (b , b ,..., b ) u.v a b + a b + ... + a b PRODUCTO ESCALAR u (a ,a ,... ,a ) 1 2 n v (b , b ,..., b ) 1 2 n 2 n 1 u.v a b + a b + ... + a b

PRODUCTO ESCALAR

OBSERVACIONES: y negativo si 1. El producto escalar de dos vectores es un número real. 2. El producto escalar es positivo si y negativo si OBSERVACIONES:

y a . b = a b 3. Si tienen la misma dirección y sentido 4. Si los vectores son perpendiculares el producto escalar es cero y viceversa. 5. a . a = a 2

Dado el vector a = (a1,a2,a3) de R3 se Módulo de un vector en R3 Dado el vector a = (a1,a2,a3) de R3 se define a la norma o módulo de a : p(a1,a2,a3) z a3 a2 y a1 x

Vectores unitarios: Son aquellos cuya norma es igual a la unidad. Nota: En R3 existen tres vectores que nos permiten representar cualquier otro vector como una combinación lineal de ellos. Se les llaman vectores canónicos y se representan por

VECTORES UNITARIOS I, J , K Los vectores i, j y k son unitarios y están dirigidos en la dirección de los ejes x, y y z respectivamente. x z y i j k

Definición Paralelismo de vectores Dos vectores son paralelos entre sí si todas sus componentes son proporcionales. Ejemplo: Dado:

a V + a V +... + a V COMBINACION LINEAL Dados los vectores V , V ,..., V de R y sean a , a ,..,a escalares . La expresión 1 2 n n 2 n 1 a V + a V +... + a V 2 n 1 Se llama combinación lineal de V , V ,.. , V 1 2 n

EJEMPLOS: 1. Expresar el vector u =(- 3;4) como combinación lineal de los vectores a=(1;2) y b=(3;1). Solución: Se quiere que u = ma +n b es decir (-3;4) = m(1;2) +n (3;1) de donde: m=3 , n =-2 luego: (-3;4) = 3(1;2) - 2 (3;1)

x y b 3 a a u -2 b u = 3 a - 2 b NOTA: La combinación lineal de dos vectores a y b siempre va a estar en el plano formado por ellos y en consecuencia cualquier vector del plano puede obtenerse (generarse) como la combinación lineal de dos vectores no paralelos.

siguientes ejemplos geométricos. 1. Dados los vectores paralelos a y b INDEPENDENCIA LINEAl Antes de dar la definición, veamos los siguientes ejemplos geométricos. 1. Dados los vectores paralelos a y b a Se tiene : a = t b b Como a es una combinación lineal de b es decir a depende de b luego el conjunto { a , b} se dice que es LINEALMENTE DEPENDIENTE.

2. Dados dos vectores no paralelos a y b Como ninguno de ellos puede estar en terminos del otro como combinación lineal ,es decir, son independientes cada uno , se dice que el conjunto {a,b} es LINEALMENTE INDEPENDIENTE

3. Dados los vectores a , b y c Donde: c = 3 a + 2 b ó a = - 2/3b+1/3c ó b =- 3/2a+1/2c Como cualquiera de los vectores se puede expresar en terminos del los otros como combinación lineal se dice que el conjunto {a,b,c} es LINEALMENTE DEPENDIENTE

¿ Es LI o LD el conjunto de vectores {a,b,c} ? 4. Dado el conjunto de vectores {a,b,c} contenido en el plano P z b a c y P x ¿ Es LI o LD el conjunto de vectores {a,b,c} ?

¿Se podra expresar el vector b en terminos de a y c ? z 4. z a b c x y P ¿Es LI o LD el conjunto de vectores {a,b,c} ?

INDEPENDENCIA LINEAL {v , v ,..., v } a v + a v +...+ a v = 0 : VECTORES DE R , El conjunto 1 2 k {v , v ,..., v } 1 2 k se llama LINEALMENTE INDEPENDIENTE si dada la ecuación 1 2 a = a = ... = a = 0 k a v + a v +...+ a v 1 2 k = 0 entonces y se llama LINEALMENTE DEPENDIENTE si en al menos a v + a v +...+ a v 1 2 k = 0 un a i no es cero.

PROPIEDADES 1. Si {v , v ,..., v } es un conjunto L.I. de 2 k es un conjunto L.I. de vectores de Rn, y si u Rn entonces existe un conjunto único de escalares {a1,a 2,...,a k} tales que a v + a v +...+ a v 1 2 k u = Es decir el vector u se expresa de forma única

de vectores en Rn, donde k > n. 2. Sea V = {v1 , v2 ,..., vk } un conjunto de vectores en Rn, donde k > n. Entonces V es linealmente dependiente. Nota :Un conjunto S de vectores linealmente independientes de Rn contine a lo sumo n vectores.

3. k=n y det(v1,v2, ...vk ) = 0 { v1,v2, ...vk } es LI 4. 0  V Rn V es LD

Definición:Un conjunto {v1, v2 ,..., vk} BASE DE Rn Definición:Un conjunto {v1, v2 ,..., vk} de vectores de Rn se llama base de Rn, si cada elemento de Rn se puede expresar de manera única como combinación lineal de v1, v2 ,..., vk. PROPIEDAD: Todo conjunto de n vectores linealmente independientes de Rn es una base de Rn.

Un conjunto finito de vectores TEOREMA Un conjunto finito de vectores {V1 ,V2 ,...,Vn } de Rn es una BASE de Rn si: 1. {V1 ,V2 ,..,Vn} es linealmente independiente. 2. {V1 ,V2 ,..,Vn} genera a Rn.

Un conjunto de vectores {V1 ,V2 ,...,Vn} PROPIEDAD: Un conjunto de vectores {V1 ,V2 ,...,Vn} de Rn es una BASE si y sólo si det(v1,v2, ...vk ) = 0

Definición: El número de elementos de cualquier base de Rn se llama dimensión del espacio vectorial Rn. NOTA: En un espacio Rn su dimensión es n.

UB = ( c1, c2, ... , cn ) COORDENADAS DE UN VECTOR EN Rn Sea B = { v , v ,..., v } una BASE de Rn 1 n 2 SEA U Rn donde U = c V + c V +... +c V 1 1 2 2 n n UB = ( c1, c2, ... , cn ) COORDENADAS DE U EN BASE B