Sistema de Partículas. Centro de Masa. Conservación de la Cantidad de Movimiento Universidad Central de Venezuela Facultad de Ciencias Escuela de Física José Luis Michinel

Conservación del momento En 1668, la Royal Society propuso a la consideración de los matemáticos la teoría de la colisión de los cuerpos. Wallis, Wren y Huygens ofrecieron soluciones similares y correctas, todas basadas en lo que hoy se conoce como conservación del momento lineal, pero, mientras que Wren y Huygens reducían su teoría a las colisiones elásticas, Wallis tuvo en cuenta también las colisiones inelásticas. Como continuación, en 1669 presentó un trabajo sobre los centros de gravedad estáticos y en 1670 otro sobre los dinámicos. En conjunto, todo ello constituye un buen resumen de lo que en la época se sabía sobre este tema. 1 El matemático inglés John Wallis fue el primero en sugerir, en 1668, que el momento total de un sistema cerrado […] permanecía siempre sin cambio. Esto recibe el nombre de ley de conservación del momento (consultado el 18/ ). 2 Asimov Issac. Cronología de los descubrimientos. Barcelona, España: Ariel. p

Contenido 1) Centro de Masa (CM). 2) Movimiento del CM. 3) Conservación del Momento lineal. 4) Energía cinética de un sistema. 5) Choques.

Centro de masa Cuando tenemos un sistema de partículas (que es un modelo que se acerca más, que el modelo de una partícula, a los objetos reales; por ejemplo el de la figura) el movimiento del sistema puede ser descrito por el movimiento del centro de masa (movimiento global del sistema) más el movimiento de las partículas individuales en el sistema relativo al centro de masa (CM). Sea, por ejemplo, un sistema de dos partículas como el de la figura, 0x1x1 x2x2 m1m1 m2m2 x CM CM Mx CM = m 1 x 1 + m 2 x 2, donde M= m 1 + m 2 m 1 x 1 + m 2 x 2  x CM = m 1 + m 2 ¿Qué pasa con x CM si m 1 = m 2 ? ¿y si m 1 >m 2 ? ¿y si m 2 >m 1 ? 0 x1x1 x2x2 m1m1 m2m2 x CM CM 0x1x1 x2x2 m1m1 m2m2 x CM CM

Centro de masa Y si generalizamos para un sistema de N partículas m 1 x 1 + m 2 x 2 + … + m N x N x CM = m 1 + m 2 + … + m N o x CM = ∑mixi∑mixi i=1 i=N ∑mi∑mi i=1 i=N y y CM = ∑miyi∑miyi i=1 i=N ∑mi∑mi i=1 i=N y z CM = ∑mizi∑mizi i=1 i=N ∑mi∑mi i=1 i=N o r CM = ∑miri∑miri i=1 i=N ∑mi∑mi i=1 i=N donde r CM = x CM i + y CM j + z CM k ^ ^ ^

Centro de masa Y si generalizamos para un sistema continuo de partículas en una dimensión Mx CM = ∑m i x i i=1 i=N dxdx dmdm x  Mx CM = ∫ xdm Si λ es la densidad lineal de masa, entonces dm= λdx Generalizando Mr CM = ∫ rdm Mx CM = ML 2  x CM = L 2 L Mx CM = ∫ λ xdx = λ ∫ xdx = x 2 = = = λ 2 L 0 L 0 λL2λL2 2 λLL 2 ML 2 L 0 λ Donde λ=densidad lineal de masa y L= longitud de la barra

Centro de masa de dos barras Sean las barra de masa m 1 y m 2 ¿identifique dónde está el CM? m1m1 CM 1 CM 2 m2m2 CM

Centro de masa de lámina de madera Sean la lámina indicada ¿identifique dónde está el CM? r cm1 =0,3 i + 0,2 j r cm1 r cm2 =0,7 i + 0,3 j r cm2 m 1 =σA 1 = σb 1 h 1 m 2 =σA 2 = σb 2 h 2 r cm (m 1 +m 2 ) r cm =m 1 r cm1 + m 2 r cm2 (σb 1 h 1 + σb 2 h 2 ) r cm = σb 1 h 1 r cm1 + σb 2 h 2 r cm2 r cm = (b 1 h 1 + b 2 h 2 ) b 1 h 1 r cm1 + b 2 h 2 r cm2 b 1 = 0,6m h 1 = 0,4m b 2 = 0,2m h 2 = 0,6m

Energía potencial gravitatória y CM Sea un sistema de N masas m i que se encuentran a alturas h i por encima de un nivel de referencia determinado. La energía potencial del sistema es: U = ∑m i gh i = g ∑m i h i i=0 i=N i=0 i=N Mh cm = ∑m i h i i=0 i=N  U= Mgh cm Esa relación nos permite, como ya vimos en clase, determinar experimentalmente el cm de un objeto Un cuerpo con un pivote fuera de su cm tenderá a girar hasta que U pase por un mínimo, que tiene lugar cuando el cm este en el punto más bajo posible directamente debajo del pivote cm

Movimiento (Cinemática y Dinámica) del CM En el sistema de la figura vamos a evaluar la relación entre la aceleración del centro de masa y la fuerza externa que actúa sobre el sistema de partículas M dr CM = ∑m i dr i i dt M v CM = ∑m i v i i  M dv CM = ∑m i dv i i dt M a CM = ∑m i a i i  M a CM = ∑Fi∑Fi i  = ∑F i,int + ∑F i,ext i  i Pero por la 3 ra ley de Newton ∑F i,int = 0 i M a CM = ∑F i,ext i  M a CM = F neta,ext  Mr CM = ∑m i r i i=1 i=N

Ejemplo 8.3. Explosión de un proyectil. Un proyectil se lanza al aire desde el nivel del suelo y aterriza a 55m. Ahora bien, si en el punto más alto de su trayectoria explota en dos fragmentos de igual masa y justo después de la explosión, uno de los fragmentos tiene velocidad cero y cae directamente al suelo. ¿Dónde cae el otro fragmento? Despreciar la resistencia del aire. Mx CM = mx 1 + mx 2, donde M= 2m x1x1 x CM x2x2 2mx CM = mx 1 + mx 2 2x CM = x 1 + x 2 x 2 = 2x CM - x 1 x 2 = 2x CM – x CM /2 x 2 = 1,5x CM = 82,5m

Ejemplo 8.4. Cambio de lugar en un bote. Pete (80kg) y Dave (120kg) se encuentra en un bote de remos (60kg). Dave está en el centro del bote, remando, y Pete en un extremo a d=2m del centro. Dave se cansa de remar y una vez que el bote se detiene, intercambia de puesto con Pete. ¿Qué distancia se ha movido el bote al intercambiarse las dos personas? (Desprecie cualquier fuerza horizontal ejercida por el agua). Mx cmi = m P x Pi + m D x Di + m B x Bi En el estado inicial i Mx cmi = 0 + m D d+ m B x B Mx cmf = m P x Pf + m D x Df + m B x Bf Mx cmf = m P d + 0+ m B x B En el estado final f M(x cmf – X cmi )= m P d + m B x Bf - m D d- m B x Bi M∆x cm = (m P - m D )d + m B (x B - x B ) ∆x cm = (m P - m D )d/M  ∆x cm = ( )kg2m/260kg Respecto al bote  ∆x cm = 0,3 m Respecto al agua

Conservación del momento lineal ¿Qué es momento lineal (momento, ímpetu o cantidad de movimiento)? Sea una partícula de masa m, moviéndose a una velocidad v, p=mv dp dt dv dt = m dp dt  = m a dp dt  = F Neta Sea un sistema de N partícula de masa m i, moviéndose a una velocidad v i, p sist =∑ m i v i = Mv cm = ∑ m i = M dp sist dt dv i dt dv cm dt = ∑ m i a i = Ma cm dp sist dt = ∑F i = F ext dp sist dt Si F ext =0  =0  p sist = cte dp sist dt

Energía cinética de un sistema La energía cinética de un sistema de partículas de masas m i y velocidad v i es: v i = v cm + u i E c = ∑E ci = ∑ m i v i 2 = mi (v i.v i ) Sea v cm de la velocidad del cm y u i la velocidad de la partícula relativa al cm. Entonces la velocidad de la partícula i relativa al sistema en reposo es: E c = ∑ m i (v cm + u i ).(v cm + u i ) 1 2 E c = ∑ m i (v cm 2 + 2v cm. u i + u i 2 ) 1 2 E c = ∑ m i v cm 2 + v cm. ∑m i u i + ∑ m i u i 2 ) E c = ∑ m i v cm 2 + ∑ m i u i 2 ) Pero ∑m i u i =mu cm es la velocidad del sistema de partículas respecto al cm o la velocidad del cm respecto al cm, que es cero. E c = Mv cm 2 + E crel 1 2 ¿Qué pasa si F ext =0?

Ejemplo 8.8. Las patinadoras. Una patinadora de M P =40kg está entrenándose con dos pesa de M W =5kg sobre una tabla de M T =3kg. Partiendo del reposo, lanza las pesas horizontalmente una detrás de otra desde su tabla. Después de su lanzamiento, la velocidad de cada pesa es de 7m/s relativa a la patinadora y su tabla ¿Con qué velocidad es impulsada la patinadora en dirección opuesta después de lanzar: a) la primera pesa?, b) la segunda pesa?. Suponer que la tabla se mueve sin rozamiento. P sist0 = p sist1 0 = v ps1 (M P1 + M T + M w ) + M w v ws1 v ps1 (M P1 + M T + M w ) +M w v wp1 +M w v ps1 =0 v ps1 = -M w v wp1 /(M P1 + M T +2M w ) P sist1 = p sist2 (M P1 +M T +M w )v ps1 + M w v ws1 = (M P1 +M T )v ps2 + M w (v ws2 +v ws1 ) Pero, v ws1 = v wp1 +v ps1 Pero, v ws1 = v wp1 +v ps1 y v ws2 = v wp2 +v ps2 (M P1 +M T +M w )v ps1 + M w ( v wp1 +v ps1 ) = (M P1 +M T )v ps2 + M w (v wp2 +v ps2 + v wp1 +v ps1 ) v ps2 = v ps1 - M w v wp2 /(M P1 +M T +M w )

Ejemplo Péndulo balístico. En una prueba pública de puntería, una persona dispara una bala sobre un bloque de madera suspendido. El bloque, con el proyectil en su seno, oscila como un péndulo hacia arriba. A partir de la altura alcanzada por este péndulo, se informa inmediatamente al público de la velocidad de la bala. ¿A que velocidad iba la bala? P sist0 = p sist1 0 = v ps1 (M P1 + M T + M w ) + M w v ws1 v ps1 (M P1 + M T + M w ) +M w v wp1 +M w v ps1 =0 v ps1 = -M w v wp1 /(M P1 + M T +2M w ) Pero, v ws1 = v wp1 +v ps1

25/09/2008Física General I- Unidades y sistema de medidas17