Sucesiones. Progresiones Matemáticas B 4º ESO Mariano Benito

Sucesión de números reales Es una secuencia de números reales, como: -3, -5, 5, -7, 7, -9, 9, … -2, 0, 2, 4, 6, 8, … 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, … 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, … 2, 5, 10, 17, 26, 37, … A los términos se les designa: a1, a2, a3, … Mariano Benito

Término general A veces se puede averiguar qué término es el siguiente en una sucesión, pero otras no. Si supiéramos que el término n-ésimo, es decir, el que ocupa el lugar n, cualquiera, es: an = 3n-1 la sucesión sería (an ): 2, 5, 8, 11, … Esta es la manera de expresar una sucesión (an ): a1, a2, a3, …, y a an se le llama término general o n-ésimo. Mariano Benito

Ejemplo 1 Escribe los primeros términos de: Mariano Benito

Ejemplo 2 Halla el término general de las sucesiones: 1, 8, 27, 64, 125, … -2, 4, -6, 8, -10, … 3, -3, 3, -3, 3, … -5, -3, -1, 1, 3, … 4, -8, 16, -32, 64, … 9, 3, 1, 1/3, 1/9, 1/27, … 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, -1/32, … A partir de ahora, a las sucesiones (an ) las denotaremos sólo mediante su término general y evitaremos ponerlo entre paréntesis, an . Mariano Benito

Progresiones aritméticas Son sucesiones en las que cada término es igual al anterior más una cantidad constante que llamamos diferencia, d. Ejemplos: 1, 3, 5, 7, 9, …. d=2 4, 1, -2, -5, -8, … d=-3 2, 2, 2, 2, 2, … d=0 Mariano Benito

Término general de una progresión aritmética Si tenemos: a1, a2, a3, … progresión aritmética, se cumple: a2 = a1 +d a3 = a2 +d = a1 +d+d = a1 +2d a4 = a3 +d = a2 +d+d = … = a1 +3d ……….. an = an-1 +d = ….. = a1 +(n-1)d Es decir an = a1 +(n-1)d Mariano Benito

Ejercicios Halla el octavo término de una progresión aritmética cuyo primer término es 3 y la diferencia es 5. Calcula el primer termino de una p. a. que consta de 20 términos sabiendo que el último es 83 y la diferencia es 4. ¿Cuántos términos tiene una p. a. que empieza por 15 y termina por -90, si la diferencia es -3?. Halla la diferencia de una p. a. de 12 términos siendo 6 el primero y 39 el último. Mariano Benito

Suma de dos términos equidistantes de los extremos una progresión aritmética En una p. a. limitada, la suma de dos términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos. Ejemplo: -4, -1, 2, 5, 8, 11, 14 5+5 2+8 -1+11 -4+14=10 Mariano Benito

Suma de n términos de una progresión aritmética limitada Llamamos Sn a la suma de los n términos de la p. a. a1, a2, a3, … an-2, an-1, an Sn = a1+ a2 + a3 +…+ an-2+an-1+an Sn = an+an-1+an-2+…+ a3 + a2 +a1 a1+ an a1+ an a1+ an a1+ an 2·Sn = (a1+ an )·n, Mariano Benito

Ejercicios Halla la suma de los 100 primeros números naturales. Halla la suma de los 50 primeros números impares. ¿Cuántos términos he de sumar de la p. a. -3, -1, 1, 3, 5, 7, …..para que su suma sea 221? Halla la suma de los términos que van del 4º al vigésimo de la progresión anterior. Mariano Benito

Interpolación aritmética Interpolar m medios aritméticos entre dos términos conocidos a y b es intercalar m términos entre a y b de modo que todos ellos formen una progresión aritmética de m+2 términos. Ejemplo: Interpolar 3 medios aritméticos entre 6 y 8. Busco a1, a2, a3 tal que 6, a1, a2, a3, 8 sea una p. a. Calculo la diferencia: 8=6+(5-1)d; d=0.5 La progresión es: 6, 6.5, 7, 7.5, 8. Ejercicio: Interpola, entre -2 y 4, siete medios aritméticos. Mariano Benito

Progresiones geométricas Son sucesiones en las que cada término es igual al anterior por una cantidad constante que llamamos razón, r. Ejemplos: 4, -8, 16, -32, 64, … r=-2 9, 3, 1, 1/3, 1/9, 1/27, … r=1/3 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, … r=1/10 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, -1/32, … r=-1/2 -2, 2, -2, 2, -2, 2, … r=-1 7, 0, 0, 0, 0, … r=0 Mariano Benito

Término general de una progresión geométrica Si tenemos: a1, a2, a3, … progresión geométrica, se cumple: a2 = a1·r a3 = a2·r= a1·r·r= a1·r² a4 = a3·r = a2·r·r= … = a1·r³ ……….. an = an-1·r = ….. = a1·r Es decir an = a1·r n-1 n-1 Mariano Benito

Ejercicios Calcula el séptimo término de la progresión: 3, 9, 27, … Halla el primer término de un p. g. de 8 términos cuya razón es 2 y el último término 1280. ¿Cuántos términos tiene una p. g. de razón 3 en la que el primero es 1 y el último 81? Encuentra la razón de una p. g. de 10 términos sabiendo que a=16 y a=1/32. Mariano Benito

Producto de dos términos equidistantes de los extremos una progresión geométrica En una p. g. limitada, el producto de dos términos equidistantes de los extremos es igual al producto de los extremos. Ejemplo: 8, 4, 2, 1, 1/2 2·2 4·1 8·1/2=4 Mariano Benito

Producto de n términos de una progresión geométrica limitada Llamamos Pn al producto de los n términos de la p. g. a1, a2, a3, … an-2, an-1, an Pn = a1· a2 · a3 · …· an-2· an-1· an Pn = an· an-1· an-2· …· a3 · a2 · a1 a1· an a1· an a1· an a1· an Pn = (a1· an ), 2 n Mariano Benito

Ejercicios Halla producto de los 5 términos de la p. g. 3, 6, 12, 24, 48. ¿Cuántos términos he de multiplicar de la p. g. 8, 4, 2, 1, …para que su producto sea 1? Halla el producto de los términos que van del 4º al 7º de la progresión anterior. Mariano Benito

Suma de n términos de una progresión geométrica limitada Llamamos Sn a la suma de los n términos de la p. g. a1, a2, a3, … an-2, an-1, an Sn = a1+ a2 + a3 +…+ an-2+ an-1 + an r·Sn = r· a1+r· a2 +…....+r· an-2+r· an-1+r· an Restamos la 2ª-1ª expresión: r·Sn - Sn = r· an – a1 ; es decir, o bien Mariano Benito

Ejercicios Halla la suma de la p. g. 5, 10, …,20480. Calcula la suma de los 10 primeros términos de la p. g. 8/9, 4/3, 2, 3, 9/2, … En una p. g. de razón 1/2, ¿cuántos términos he de sumar para que me dé 15, sabiendo que el primer término es 8? La suma de 3 términos consecutivos de una p. g. es 7/8. Si el primero es 1/2, calcula la razón. Mariano Benito

Suma de todos los términos de una progresión geométrica ilimitada En la expresión de la suma de n términos Si /r/<1 y n ─>+∞, es decir, el número de términos es muy, muy, muy grande, la expresión r tiende a valer 0. Así: n Mariano Benito

Ejercicio Halla la suma de todos los términos de la progresión geométrica: 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ……….. Como r=1/2 < 1, Mariano Benito

Interpolación geométrica Interpolar m medios geométricos entre dos términos conocidos a y b es intercalar m términos entre a y b de modo que todos ellos formen una progresión geométrica de m+2 términos. Ejemplo: Interpolar 3 medios geométricos entre 2 y 32. Busco a1, a2, a3 tal que 2, a1, a2, a3, 32 sea una p. g. Calculo la razón: 32=2·r ; r = 2 ó -2 La progresión es: 2, 4, 8, 16, 32, o bien 2, -4, 8, -16, 32 Ejercicio: Interpola, entre 1/3 y -1/81, dos medios geométricos. 5-1 Mariano Benito