PROBABILIDAD Y COMBINATORIA OBJETIVO: Comprender el concepto de probabilidad y caracterizar situaciones de probabilidad utilizando permutaciones, variaciones y combinaciones. Valorando la flexibilidad y creatividad en la búsqueda de soluciones.

Conceptos Fundamentales › Experimento: Cualquier procedimiento que se realice para obtener resultados, un experimento puede ser: a)Determinístico: Se conoce de antemano el resultado. b)Aleatorio: No se conoce de antemano el resultado, pero sí se conoce el conjunto de los resultados posibles.

Conceptos Fundamentales

Ejemplo 1 Experimento: Lanzar un dado  : {1, 2, 3, 4, 5, 6}  Discreto Podemos definir los siguientes sucesos: A: Sale nº par = {2, 4, 6} B: Sale un nº mayor que 4 = {5, 6} C: Sale 1 = {1}

Ejemplo 2

Importante

Lenguaje de conjunto  A  B A

 BA

Sucesos mutuamente excluyentes A B

REGLA DE LAPLACE Se aplica solo a sucesos equiprobables y por ello podemos deducir que la probabilidad del espacio muestral es 1, es decir: P(Ω) = 1 P(A) = Casos Favorables/ Casos Totales

Ejemplos  Si lanzamos un dado normal, ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor a 4? En este caso aplica la regla de Laplace porque son eventos equiprobables: Casos Favorables : 2 (5 o 6) Casos Totales : 6 P(x > 4) = 2/6 = 1/3

Suma de probabilidades 

Ejemplos

Producto de probabilidades

Ejemplo

TÉCNICAS DE CONTEO 1) Factorial n! = n  (n – 1)  (n – 2)  (n – 3)  …  2  1 Y se define 0! = 1

2) Permutaciones y Variaciones  Se llama permutación al total de maneras de ordenar en forma lineal “n” objetos diferentes. P n = n!  Se llama variación al total de maneras de seleccionar y luego ordenar “r” objetos de un total de “n” objetos diferentes Orden Lineal

3) Combinaciones  Se llama combinación al total de maneras de seleccionar “r” objetos de un total de “n” objetos diferentes  Por lo que si esta selección la ordenamos tendríamos una permutación, entonces: n C r  r! = n P r Luego se deduce que:

¿Cómo discriminamos? ¿Selecciona? Si No ¿ordena? Si No COMBINACIÓN VARIACIÓN PERMUTACIÓN

Ejemplos: 1) Tengo una enciclopedia de 5 tomos, las obras completas de Pablo Neruda en 3 tomos y un trabajo de Álgebra en 2 tomos. a)¿De cuántas maneras pueden ponerse en una repisa? b)¿Y si los libros de un mismo tipo deben quedar juntos? c)¿Y si solo los tomos de la enciclopedia deben quedar juntos? d)¿Y si no deben quedar dos de historia juntos? Respuestas: 10! ; 5!  3!  2!  3! ; 6!  5! ; 5!  5!  2

2) En un grupo de 7 personas, 3 son hombres y 4 son mujeres. a)¿De cuántas maneras se puede formar una comisión de 4 personas? b)¿Cuál es la probabilidad de que la comisión esté formada solo por mujeres? c)Si la comisión es solo de 3 personas, ¿cuántas comisiones distintas pueden existir? d)¿Cuál es la probabilidad de que la comisión sea solo de hombres? e)¿Cuántas comisiones distintas se pueden hacer de exactamente 2 hombres y 2 mujeres? a) 35 b) 1/35 c)35 d) 1/35 e)18

PROBABILIDAD CONDICIONAL OBJETIVO: Comprender la probabilidad condicional en situaciones contextualizadas e interpretar los resultados obtenidos en cada una de ellas. Valorando la importancia de obtener resultados coherentes, que se ajusten al modelo planteado.

Corresponde a la probabilidad de ocurrencia del suceso B una vez ha ocurrido el suceso A.

Si lo observamos en conjunto tenemos 3 Casos: A B A B A B

Y…con valores y diagramas: A P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A ∩ B) = 0,10 A ¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B? P(A|B)=1 P(A|B)=0,8 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A ∩ B) = 0,08 B B

A B A B ¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B? P(A|B)=0,05 P(A|B)=0 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A ∩ B) = 0,005 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A ∩ B) = 0

Ejemplo 1: Lanzamos dos dados, uno rojo y otro blanco. ¿Cuál es la probabilidad de que sumen 3? 3 3

Ejemplo 2: Supongamos que hemos lanzado ya el dado rojo y ha salido un 1. ¿Cuál es ahora la probabilidad de que sumen 3? 3

Ejemplo 3: ¿Cuál es la probabilidad de que una carta escogida al azar sea un as sabiendo que es roja?

Ejemplo 4: Se extrae una carta de una baraja de 40 cartas (naipe español). Comprobar cual de los siguientes pares de sucesos son independientes. a)A= Rey B= Espadas Por lo tanto los eventos A y B son independientes.

b) A = Rey B = Figuras Por lo tanto A y B NO son sucesos independientes