Econometría MSc. Daisy Espallargas Ibarra

MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS GENERALIZADOS Bibliografía: Econometría, Damodar N. Gujarati. Páginas 253 a 258 Medidas Remediales para resolver: La existencia de Heteroscedasticidad

Heteroscedasticidad Sabemos que la Heterocedasticidad es el incumplimiento de la constancia de la varianza de las perturbaciones. Y es probable que la varianza del término aleatorio no sea constante, sino que dependa de la variable independiente. Generalmente se desconocerá la forma en que se incumple dicha hipótesios y solamente a posteriori se sabrá de su incumplimiento, por lo que será necesario corregir el modelo

Gráficamente se puede representar que ui sea homocedástica Esto es, que las ui tengan la misma varianza

Gráficamente se puede representar que ui sea heteroscedástica Esto es, que las ui tengan diferentes varianzas

Para contrastar la hipótesis de homocedasticidad de las perturbaciones, podemos plantear el análisis gráfico. Digamos si examinamos la nube de puntos de “Y” con “X2”, y “Y” con “X3” X3 X2 Con esta información parece adecuado asumir para la dispersión una hipótesis alternativa donde la variable “X3” parece ser la que está provocando la presencia de Heterocedasticidad

A través de la Prueba de White, que se basa en la realización de regresiones sobre los residuos cuadráticos asociados al modelo propuesto, se puede detectar si se rechaza el supuesto de dispersión constante en las perturbaciones. Como consecuencia de la presencia de Heterocedasticidad los estimadores mínimo cuadrático no serían eficientes y los contrastes de significación que se obtienen en la validación de la estimación realizada, no serían válidos.

Si a pesar de esto, decidiéramos utilizar los estimadores Mínimo Cuadráticos Ordinario, deberíamos corregir la matriz de Varianza y Covarianza, teniendo en cuenta que la dispersión no es constante. El Programa EVIEWS permite incorporar las correcciones de heterocedasticidad propuesta por White(1980) y por Newey y West (1989), que proporciona los mismos estimadores para los parámetros, pero en cambio alteran sus varianzas y en consecuencia los contrastes de significación basados en la t’de Student

Se debe señalar que la corrección de White, proporciona estimaciones consistentes para la matriz de Varianza y Covarianzas de los estimadores MC en presencia de heterocedasticidad, de estructura desconocida, asumiendo perturbaciones incorreladas. Sin embargo Newey y West proponen una corrección más general que estima insesgadamente la matriz de Varianza y Covarianza en presencia de Heterocedasticidad y Autocorrelación Tanto las correcciones de White como la de Newey y West, solucionan el problema de la consistencia en la estimación de la matriz de varianzas y Covarianzas de los estimadores

No obstante lo planteado anteriormente, una vez detectado el problema de la heterocedasticidad y su posible estructura sería conveniente llevar a cabo una estimación del modelo por el método de los Mínimos Cuadrados Ponderado.

Ya sabemos que el Método de los mínimos cuadrados Generalizados, es aquel que utiliza un procedimiento de transformar las variables originales, de tal manera que las variables transformadas satisfagan los supuestos del modelo clásico y de aplicar a continuación el método de los Mínimos Cuadrados Ordinarios.

Utilización del Método de los Mínimos Cuadrados Generalizados Cuando se tiene que la: Cov(U) = E(UU’) = 2  El Objetivo de este método es realizar transformaciones hasta obtener una matriz escalar. Una vez transformado el modelo aplicamos MCG Los estimadores MCG son: Insesgados, Consistentes y Eficientes

Ya conocemos las consecuencias del incumplimiento del supuesto de homoscedasticidad. Las estimaciones de 1 y2, serán lineales e insesgadas pero sus varianzas resultan ser indebidamente muy grandes. Además, la prueba “t” y la prueba “F” no son válidas pues resultan ser poco precisas. Se obtendrán predicciones ineficientes, es decir, predicciones con varianzas muestrales innecesariamente grandes

Evidentemente que el MMCG. Así para solucionar la presencia de Heterocedasticidad, se debe transformar el modelo de tal forma que el nuevo término de perturbación fuera homocedastico y al aplicar el MMCO a este modelo transformado se obtengan estimadores MELI y eficientes. ¿Que Método podría proporcionarnos esto?. Toma en cuenta la información contenida en la dispersión desigual de la variable dependiente y le da el peso o ponderación atendiendo a la variabilidad que contiene, y de esta forma se producen estimadores MELI y de varianza mínima.

¿Cuales serían las transformaciones que se podrían hacer?. Como la varianza se desconoce, se deben suponer situaciones que se pueden dar y estará en dependencia del comportamiento que debe tener esta varianza.

Suponer que la varianza de las perturbaciones es proporcional al cuadrado de una de las variables explicatorias: Entonces el modelo transformado para mantener la igualdad de varianza en ut sería dividir el modelo original por xt , es decir:

Aquí el término de intersección 2 corresponde al coeficiente de la pendiente en la ecuación original y el coeficiente de la pendiente 1 es el término de la intersección en el modelo original. Por lo que para volver al modelo original se tendrá que multiplicar el valor estimado por xt

Suponer que la varianza es proporcional al valor de una variable explicatoria. Por lo que el modelo transformado, para obtener el mismo propósito planteado anteriormente, estaría en dividir el modelo original entre la raíz de xt, es decir:

En este caso, se regresa: Para obtener el modelo original después de realizar los cálculos, se multiplica por :

Suponer que la varianza es función de un conjunto de variables Es decir, suponer que la varianza de ui es proporcional al cuadrado del valor esperado de y, es decir:

Siendo el modelo transformado Operativamente la E(Yi) depende de 1 y2, que no se conocen pero se tienen los estimadores y como estos son consistentes, se sabe que a medida que aumenta la muestra ellos convergen al verdadero valor de E(Yi). La transformación será buena siempre que “n” sea razonablemente grande

Esta transformación se debe hacer en dos pasos: 1ero. Se corre la regresión original a través de MCO, y en la salida de la regresión, se obtienen los valores de Y estimados (YF) 2do. Este valor estimado se usa para transformar el modelo de la sgte. manera: Así la nueva perturbación volverá a cumplir todos los supuestos.

Transformación logarítmica Transformación logarítmica. Si en lugar de correr la regresión normal se corriera: Se obtendría también una solución para la existencia de heterocedasticidad, ya que con frecuencia al aplicar logaritmo se soluciona este problema. Esto se debe a que las transformaciones logarítmicas comprimen las escalas en que se miden las variables, reduciendo así una diferencia de 10 veces a una de dos veces. De esta manera el número 80 es 10 veces el número 8, pero ln 80 = 4.3820 lo que es aproximadamente dos veces mayor que el ln de 8 = 2.0794.

También proporciona una ventaja desde el punto de vista de la Teoría económica, ya que la transformación logarítmica de 2 mide la elasticidad de “Y” con respecto a “X” (cambio porcentual en Y ante un cambio porcentual en X). Mientras que en el modelo original 2 mide únicamente la tasa de cambio de “Y” por un cambio en una unidad de “X”. En este caso para obtener el modelo original, una vez obtenido el ajuste se debe buscar el antilogaritmo al valor “c” que equivale a 1

Se debe aclarar que siempre que se transforme un modelo, independientemente de cual sea, una vez determinado el mismo se deben llevar los resultados al modelo original. Es bueno alertar, que las transformaciones de las variables afectan a la perturbación y, como consecuencia pudieran incumplirse algunas otras hipótesis de las perturbaciones. Por otro lado debe tenerse en cuenta el postulado de la Teoría Económica que se utilizó en el modelo para poder hacer una transformación. Esta debe tener sentido y que no suponga meramente un juego matemático con las ecuaciones del modelo econométrico.

Ya se vio que el Eviews tiene una prueba, la de White, para detectar si se cumple o no el supuesto de Homoscedasticidad El Eviews, también tiene programado hacer las transformaciones para el modelo con presencia de heterocedasticidad, para tratar de eliminarla.

Para detectar su existencia se utiliza: Generalmente cuando se elimina la Autocorrelación, de existir Heterocedasticidad también se elimina. Para detectar su existencia se utiliza: VIEW/RESIDUAL TEST/ WHITE(NO CROS TERM) pero si en este paso se incumple el supuesto de homocedasticidad, entonces, se presiona ESTIMATE y sale el cuadro de ESPECIFICACIÓN DE LA ECUACIÓN, es decir donde se planteó las variables a considerar: y C X2 X3 AR(1)

Es decir, esta pantalla Y aquí se presiona OPTION y sale una nueva pantalla donde se hacen las transformaciones necesarias, a partir del MMCG o MCP para resolver la existencia de Heteroscedasticidad.

Esta pantalla es la misma que planteamos donde se hacían consistente las variaciones en presencia de Autocorrelación y/o Heteroscedasticidad si presionamos la primera opción que aparece Heteroskedasticity – Consistent Covariance, en el caso que se desconoce la estructura de la Heterocedasticidad y la Matriz de Varianzas y Covarianza de los estimadores fue determinada por el Método de los MC.

Y cuando se va a hacer alguna transformación, se pincha WEIGHTED LS/TSLS, y donde dice Weight se pone el cursor y se escribe la transformación que se desea hacer, que pudiera ser: dividir por x2, x3, Tal como se planteó anteriormente.

Para escribir la raíz, lo que hay que escribir es SQR(X), y en el caso de Y estimado lo que se escribe es YF, que es la forma en que se ha identificado el valor estimado de Y. Luego se presiona OK en esta pantalla y en la de especificación de la ecuación, e inmediatamente, sale nuevamente el modelo que se planteó con la transformación realizada.

Un aspecto importante a tener en cuenta es sobre el Coeficiente de Determinación (R2) que el mismo no es comparable, porque corresponden a variables dependientes diferentes, con variabilidad diferentes. Aunque el modelo transformado nos proporciona los estadísticos de este nuevo modelo y del anterior, es decir sin transformar.

Después que se realiza la transformación en el modelo, se vuelve a realizar la Prueba de White (No cross Term), para verificar si se resolvió el problema de la existencia de Heterocedasticidad

Veamos un ejemplo: A continuación se reflejaran las ventas medias en los últimos 5 años de 25 empresas que se estudian y el gasto medio en publicidad realizado por dichas empresas. Y se desea investigar si las ventas dependen de los gastos de publicidad para lo que se estima un modelo lineal que hace depender las ventas (y) del gasto de publicidad (x), y comprobar si se cumple el supuesto de Homocedasticidad, de no cumplirse, se debe remediar la situación, para utilizar el modelo determinado adecuadamente.

No. Y X 14 103.6000 50.00000 15 110.2000 16 107.3000 75.00000 17 109.6000 18 115.3000 19 120.6000 20 126.0000 21 125.5000 100.0000 22 132.6000 23 141.7000 24 150.6000 25 157.6000 No. Y X 1 80.20000 10.00000 2 82.30000 3 82.70000 4 85.40000 5 86.30000 6 85.30000 25.00000 7 87.60000 8 90.10000 9 92.30000 10 95.70000 11 95.30000 50.00000 12 98.60000 13 101.20000

Siendo las Hipótesis en este caso: H0 2 = 0 y H1 2  0 Se aplica el método de los MCO, y se obtiene una estimación del modelo, resultando lo siguiente: Dependent Variable: Y Meted: Least Squares Sample: 1 25 Included observations: 25 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 74.16976 3.040622 24.39295 0.0000 X 0.622582 0.049521 12.57200 R-squared 0.872967 Mean dependent var 106.5440 Adjusted R-squared 0.867444 S.D. dependent var 22.20447 S.E. of regression 8.084263 Akaike info criterion 7.094334 Sum squared resid 1503.172 Schwarz criterion 7.191844 Log likelihood -86.67918 F-statistic 158.0553 Durbin-Watson stat 0.947865 Prob(F-statistic) 0.000000 Siendo las Hipótesis en este caso: H0 2 = 0 y H1 2  0 Tal como se observa el modelo es significativo, ya que el P-Valor (F) = 0.000   = 0.05, esto es se rechaza H0 Además se observa un R2 de un 87%

Ahora se aplicará White, para detectar si se cumple el supuesto de Homocedasticidad o si realmente existe Heterocedasticidad White Heteroskedasticity Test: F-statistic 5.360539 Probability 0.012692 Obs*R-squared 8.191263 0.016645 H0: Los residuos son Homocedásticos H1: Los residuos son Heterocedásticos En este caso como P-Valor (n*R2) = 0.016   = 0.05 Se rechaza H0 lo que nos indica que los residuos son Heterocedásticos Por lo que los estimadores no son eficientes a pesar de que son insesgados.

Al aplicar la Prueba de White, se detectó que se rechaza H0, por lo tanto se rechaza el supuesto de dispersión constante en las perturbaciones. Debido a esto como consecuencia de la presencia de Heterocedasticidad los estimadores mínimo cuadrático no son eficientes y los contrastes de significación obtenidos en la estimación planteada para “Y” no serían válidas.

Como planteamos anteriormente si a pesar de ello decidiéramos utilizar los estimadores MC, deberíamos corregir su matriz de Varianzas y Covarianza, teniendo en cuenta que la dispersión no es constante y que desconocemos la estructura de dispersión. Utilizando White o Newey West, en dependencia del modelo y la situación

Resultado de la corrección de White para solucionar consistencia en la Matriz de Varianza y Covarianza (asumiendo perturbación incorrelacionada) Dependent Variable: Y Method: Least Squares Sample: 1 25 Included observations: 25 White Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covariance Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 74.16976 2.162690 34.29513 0.0000 X 0.622582 0.058473 10.64737 R-squared 0.872967 Mean dependent var 106.5440 Adjusted R-squared 0.867444 S.D. dependent var 22.20447 S.E. of regression 8.084263 Akaike info criterion 7.094334 Sum squared resid 1503.172 Schwarz criterion 7.191844 Log likelihood -86.67918 F-statistic 158.0553 Durbin-Watson stat 0.947865 Prob(F-statistic) 0.000000

Resultado de la corrección de Newey West más general para solucionar la insesgadez de la Matriz de Varianza y Covarianza (en presencia de autocorrelación y heterocedasticidad Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 11/10/05 Time: 22:12 Sample: 1 25 Included observations: 25 Newey-West HAC Standard Errors & Covariance (lag truncation=2) Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 74.16976 2.623463 28.27170 0.0000 X 0.622582 0.074369 8.371565 R-squared 0.872967 Mean dependent var 106.5440 Adjusted R-squared 0.867444 S.D. dependent var 22.20447 S.E. of regression 8.084263 Akaike info criterion 7.094334 Sum squared resid 1503.172 Schwarz criterion 7.191844 Log likelihood -86.67918 F-statistic 158.0553 Durbin-Watson stat 0.947865 Prob(F-statistic) 0.000000

No obstante es necesario plantear que una vez detectado el problema de la Heterocedasticidad y su posible estructura sería conveniente llevar a cabo una estimación del Modelo por el método de los MCP. Esto es realizar una transformación de las variables para aplicar el Método de los mínimos cuadrados Generalizados o Ponderados. Para realizar estas transformaciones nos debemos de basar en algunos de los supuestos de comportamiento que se hizo para las perturbaciones

Por lo que el modelo original quedará dividido por xt. Digamos que se toma la primera opción: que las varianzas de las perturbaciones es proporcional al cuadrado de una variable explicatoria ó de las variable explicatorias. Por lo que el modelo original quedará dividido por xt. Para volver al modelo original se tendría que multiplicar el valor estimado por “X”

A partir de las siguientes Instrucciones y de la salida de White donde se rechazo H0 : se presiona ESTIMATE/ y en la pantalla que sale QUE ES LA ESPECIFICACIÓN DE LA ECUACIÓN/OPTION/ SE MARCA EN WEIGHTED STATISTICS: SE ESCRIBER LA TRANSFORMACIÓN EN ESTE CASO 1/X SE LE DA OK/ y en el próximo cuadro también OK. Y el resultado que se obtiene es ya el modelo original multiplicado por “x”.

Los estadísticos conjuntos aparecen en términos de la variable transformada Los estadísticos conjuntos aparecen en términos de la variable sin transformar