TEORIA ELECTROMAGNETICA Clase 16 VECTORES DE JONES

Las ondas electromagnéticas que se superponen para formar una onda polarizada pueden escribirse como: Las ondas electromagnéticas que se superponen para formar una onda polarizada pueden escribirse como: el vector columna por el que aparece multiplicado el factor de propagación de la onda es un vector que contiene toda la información de la polarización de la onda, es el VECTOR DE JONES de la onda. el vector columna por el que aparece multiplicado el factor de propagación de la onda es un vector que contiene toda la información de la polarización de la onda, es el VECTOR DE JONES de la onda.

las polarizaciones rectilíneas componentes de nuestra onda son dadas por: las polarizaciones rectilíneas componentes de nuestra onda son dadas por:

Inversamente, la superposición de las dos ondas defasadas por  es dada por: Inversamente, la superposición de las dos ondas defasadas por  es dada por:

las polarizaciones circulares se representan de la siguiente manera: las polarizaciones circulares se representan de la siguiente manera:

se desea que las polarizaciones circulares puedan constituir otra base del espacio de polarizaciones de la onda se desea que las polarizaciones circulares puedan constituir otra base del espacio de polarizaciones de la onda sería necesario mostrar que ellas son por ejemplo ortonormales sería necesario mostrar que ellas son por ejemplo ortonormales Para ello es necesario definir el producto interno del espacio vectorial respectivo Para ello es necesario definir el producto interno del espacio vectorial respectivo el espacio de polarizaciones es un espacio vectorial complejo el espacio de polarizaciones es un espacio vectorial complejo definimos el producto interno como sigue: definimos el producto interno como sigue:

usando la representación en vector de jones cartesiano de las polarizaciones circular derecha e izquierda, tenemos: usando la representación en vector de jones cartesiano de las polarizaciones circular derecha e izquierda, tenemos: si el producto interno de un vector por si mismo da la unidad diremos que el vector de jones respectivo es unitario: si el producto interno de un vector por si mismo da la unidad diremos que el vector de jones respectivo es unitario:

la base ortonormal circular expresada en vectores de “jones cartesianos” o de base cartesiana es: la base ortonormal circular expresada en vectores de “jones cartesianos” o de base cartesiana es:

A partir de la igualdad A partir de la igualdad Podemos escribir : Podemos escribir :

La ultima relación la podemos escribir en forma matricial: La ultima relación la podemos escribir en forma matricial: Supongamos que tenemos un vector cualquiera del espacio, lo podemos representar en terminos de las dos bases como: Supongamos que tenemos un vector cualquiera del espacio, lo podemos representar en terminos de las dos bases como:

Sustituyendo la expresión de los vectores circular izq. Y circular derecho en la segunda ecuación del conjunto anterior tenemos: Sustituyendo la expresión de los vectores circular izq. Y circular derecho en la segunda ecuación del conjunto anterior tenemos: Efectuando el álgebra tenemos la relación entre “entradas” del vector en las dos bases: Efectuando el álgebra tenemos la relación entre “entradas” del vector en las dos bases:

Resolviendo para v r y v l: Resolviendo para v r y v l: que en forma de ecuación matricial se convierte en: que en forma de ecuación matricial se convierte en: Ecuación que guarda gran similitud a la transformación de unitarios: Ecuación que guarda gran similitud a la transformación de unitarios:

Investiguemos las componentes de E r y E l en su propia base Investiguemos las componentes de E r y E l en su propia base Resultado esperado de representación en su propia base!!! Resultado esperado de representación en su propia base!!! La transformación entre componentes cartesianas a circulares es la buscada: La transformación entre componentes cartesianas a circulares es la buscada: La Transformación de circulares a cartesianas es: La Transformación de circulares a cartesianas es:

VECTOR DE POYNTING (CONTINUACION) Suponemos que nuestras ondas están en el vacío. Suponemos que nuestras ondas están en el vacío. El cual es considerado un medio isotrópico El cual es considerado un medio isotrópico Suponemos que nuestra onda esta rectilíneamente polarizada Suponemos que nuestra onda esta rectilíneamente polarizada la onda electromagnética estará determinada por: la onda electromagnética estará determinada por: remarcándose que E y B están en fase. remarcándose que E y B están en fase. El vector de Poynting es dado por: El vector de Poynting es dado por:

VECTOR DE POYNTING (CONTINUACION) se observa que el vector de Poynting depende del tiempo se observa que el vector de Poynting depende del tiempo Los instrumentos que captan la energía que se transmite por una onda por lo general no captan los valores instantáneos de la energía, por el contrario ellos efectúan un promedio en el tiempo de esos valores. Los instrumentos que captan la energía que se transmite por una onda por lo general no captan los valores instantáneos de la energía, por el contrario ellos efectúan un promedio en el tiempo de esos valores. Por esta razón cobra importancia el promedio temporal de funciones dependientes del tiempo: Por esta razón cobra importancia el promedio temporal de funciones dependientes del tiempo:

VECTOR DE POYNTING (CONTINUACION) El cálculo del vector de Poynting: El cálculo del vector de Poynting: Al expandirlo debidamente dará: Al expandirlo debidamente dará:

VECTOR DE POYNTING (CONTINUACION) Para resolver la anterior integral, es necesario demostrar el valor de los promedios temporales de las siguientes tres funciones: Para resolver la anterior integral, es necesario demostrar el valor de los promedios temporales de las siguientes tres funciones: 1.Si 2.Si 3. Si Tarea demostrar los incisos 1 y 3. Tarea demostrar los incisos 1 y 3.

VECTOR DE POYNTING (CONTINUACION) Procedamos a demostrar el segundo inciso: Procedamos a demostrar el segundo inciso: –proponemos un cambio de variable: –Considerando como posición de observación –En consecuencia tenemos: Y la integral se convierte en: Y la integral se convierte en:

VECTOR DE POYNTING (CONTINUACION) la solución de esta integral es dada por: la solución de esta integral es dada por: el promedio temporal buscado es dado por: el promedio temporal buscado es dado por: un valor adecuado para la integración es dar T=período temporal de la onda, asi: un valor adecuado para la integración es dar T=período temporal de la onda, asi:

VECTOR DE POYNTING (CONTINUACION) Desarrollando algebraicamente: Desarrollando algebraicamente: T es el período temporal y usando identidad del doble ángulo: T es el período temporal y usando identidad del doble ángulo: en consecuencia el promedio temporal buscado es dado por: en consecuencia el promedio temporal buscado es dado por:

IRRADIANCIA (INTENSIDAD DE ONDA) El vector de Poynting tiene un promedio temporal dado por: El vector de Poynting tiene un promedio temporal dado por: Justificar las dos expresiones del promedio temporal del vector de Poynting. Justificar las dos expresiones del promedio temporal del vector de Poynting. Los dispositivos captores miden la “Intensidad” o “Irradiancia” dada por: Los dispositivos captores miden la “Intensidad” o “Irradiancia” dada por: Ya que no son capaces ni de medir vectores directos ni sus valores instantáneos, sino los valores promediados de las magnitudes de un vector. Ya que no son capaces ni de medir vectores directos ni sus valores instantáneos, sino los valores promediados de las magnitudes de un vector.

IRRADIANCIA (INTENSIDAD DE ONDA) Podemos expresar la Irradiancia por: Podemos expresar la Irradiancia por: las cuales son las expresiones mas comunes. las cuales son las expresiones mas comunes. La irradiancia es dada según la expresión correspondiente por: La irradiancia es dada según la expresión correspondiente por:

IRRADIANCIA (INTENSIDAD DE ONDA) la impedancia del vacío relaciona las dos amplitudes de los vectores de intensidad de campo eléctrico y el de intensidad magnética por: la impedancia del vacío relaciona las dos amplitudes de los vectores de intensidad de campo eléctrico y el de intensidad magnética por: de donde podemos dar la irradiancia como: de donde podemos dar la irradiancia como:

IRRADIANCIA (INTENSIDAD DE ONDA) Si al vector de Jones se le denomina E (0) Si al vector de Jones se le denomina E (0) Y tiene “entradas” complejas Y tiene “entradas” complejas Se puede expresar la intensidad como Se puede expresar la intensidad como

IRRADIANCIA (INTENSIDAD DE ONDA) La expresión de la intensidad es en consecuencia: La expresión de la intensidad es en consecuencia: Deseamos expresar cualquier polarización en términos del vector de Jones: Deseamos expresar cualquier polarización en términos del vector de Jones:

Vectores de Jones Partamos de una polarización horizontal Partamos de una polarización horizontal Sea  el ángulo de elipticidad Sea  el ángulo de elipticidad Sea e = tan (  ) la elipticidad, e = b/a Sea e = tan (  ) la elipticidad, e = b/a El vector de Jones es dado por: El vector de Jones es dado por:

Vectores de Jones Consideración de Intensidad Unitaria: Consideración de Intensidad Unitaria: Cos  ox, sin  oy  en consecuencia el vector de Jones de Pol. Horizontal es: Cos  ox, sin  oy  en consecuencia el vector de Jones de Pol. Horizontal es:

Vectores de Jones Buscamos el vector de Jones mas general Buscamos el vector de Jones mas general Consideremos elipse rotada un azimuth  Consideremos elipse rotada un azimuth  Los ejes de la elipse deben rotarse -  Los ejes de la elipse deben rotarse - 

Vectores de Jones La rotación se asocia a la matriz de rotación La rotación se asocia a la matriz de rotación El vector de Jones Cartesiano Generalizado lo obtenemos aplicando esta transformación: El vector de Jones Cartesiano Generalizado lo obtenemos aplicando esta transformación:

Vectores de Jones El Vector Cartesiano de Jones de la polarización con elipticidad  y azimuth  es dado por la expresión: El Vector Cartesiano de Jones de la polarización con elipticidad  y azimuth  es dado por la expresión: Usando la transformación Usando la transformación Se puede encontrar el Vector de Jones Circular Se puede encontrar el Vector de Jones Circular

Vectores de Jones La aplicación de la anterior transformación conduce a: La aplicación de la anterior transformación conduce a: Definimos un nuevo parámetro asociado a los estados de Polarización, “LA VARIABLE COMPLEJA DE POLARIZACION” Definimos un nuevo parámetro asociado a los estados de Polarización, “LA VARIABLE COMPLEJA DE POLARIZACION”

Variable Compleja de Polarización La división de la segunda “entrada” del vector de Jones dividida por la primera, se denomina “VARIABLE COMPLEJA DE POLARIZACION” La división de la segunda “entrada” del vector de Jones dividida por la primera, se denomina “VARIABLE COMPLEJA DE POLARIZACION” La variable proveniente del Vector de Jones Cartesiano se denomina “VARIABLE COMPLEJA DE POLARIZACION CARTESIANA  xy ” La variable proveniente del Vector de Jones Cartesiano se denomina “VARIABLE COMPLEJA DE POLARIZACION CARTESIANA  xy ” La variable proveniente del Vector de Jones Circular se denomina “VARIABLE COMPLEJA DE POLARIZACION CIRCULAR  lr ” La variable proveniente del Vector de Jones Circular se denomina “VARIABLE COMPLEJA DE POLARIZACION CIRCULAR  lr ”

Variable Compleja de Polarización La “variable Compleja de Polarización Cartesiana” es dada por La “variable Compleja de Polarización Cartesiana” es dada por Dividiendo por cos  cos  numerador y denominador y transformando a tangentes tenemos la variable compleja de polarización cartesiana Dividiendo por cos  cos  numerador y denominador y transformando a tangentes tenemos la variable compleja de polarización cartesiana

Variable Compleja de Polarización Desarrollemos  xy evaluando el cociente de complejos: Desarrollemos  xy evaluando el cociente de complejos:

Variable Compleja de Polarización Usando la última expresión puede demostrarse después de transformaciones trigonométricas que: Usando la última expresión puede demostrarse después de transformaciones trigonométricas que: Asimismo, puede llegarse a la expresión: Asimismo, puede llegarse a la expresión:

Variable Compleja de Polarización La “variable Compleja de Polarización Circular” es dada por La “variable Compleja de Polarización Circular” es dada por Dividiendo numerador y denominador de la magnitud del numero complejo (dado en forma polar arriba) por cos  : Dividiendo numerador y denominador de la magnitud del numero complejo (dado en forma polar arriba) por cos  :

Variable Compleja de Polarización En este caso podemos escribir las relaciones que expresan los valores de azimuth  y ángulo de elipticidad  En este caso podemos escribir las relaciones que expresan los valores de azimuth  y ángulo de elipticidad 

Variable Compleja de Polarización Finalmente las relaciones entre variables complejas de polarización y los parámetros azimuth  y ángulo de elipticidad  son: Finalmente las relaciones entre variables complejas de polarización y los parámetros azimuth  y ángulo de elipticidad  son: