Módulo 4

 ¿Cómo puedo aplicar comprensivamente el cálculo en mi carrera?

 Los estudiantes apreciaran como el concepto de superficie es clave para la comprensión del cálculo.

 Los alumnos comprenderán: ◦ Los vectores en el plano y en el espacio representándolos geométricamente en diversas situaciones que ocurren en su entorno aplicándolos en los cursos vistos durante el semestre y en la solución de diversos problemas propios del cálculo y de otras materias. ◦ Los conceptos de derivadas parciales y direccionales como una generalización del concepto de derivada, aplicándolos a la solución de diversos problemas propios del cálculo y de otras materias. ◦ Integrales múltiples y de línea, a través de aplicaciones relacionadas con el entorno, aplicándolos a la solución de diversos problemas propios del cálculo y de otras materias.

CURVAS EN EL ESPACIO Consideremos curvas en plano tridimensional, pero definidas sobre uno de los planos XY, XZ o YZ y con ecuaciones del tipo: 1.En el plano XY F(x,y)=0 2.En el plano XZ F(x,z)=0 3.En el plano YZ F(y,z)=0

La recta

La hiperbola

La parábola

La elipse

Una curva sobre un plano x=a, y=b o z=c, se describe dando la ecuación de la curva y el plano sobre la cual se encuentra. Ejemplo: Dibujar las curvas: 1. Parábola, sobre el plano x=2. 2. Elipse, sobre el plano z=3. 3. Hipérbola, sobre el plano y=3.

Para dibujar cada una de las curvas, primero trasladamos los ejes. 1. Parábola. trasladamos los ejes YZ hasta X=2 y dibujamos sobre estos ejes.

2. Elipse: trasladamos los ejes X e Y hasta Z=3 y dibujamos sobre estos ejes.

3.Hipérbola: trasladamos los ejes X y Z hasta Y=3 dibujamos sobre estos ejes.

Superficie generada por Algunas superficies se generan a partir de una curva que se mueven en el espacio, siguiendo una trayectoria determinada, por ejemplo:

Superficie generada por z=sen(x)

Si en la ecuación F(x,y,z)=0 algunas de las variables X,Y o z es libre (no aparece en la ecuación), entonces su gráfica corresponde a un cilindro y trazarla resulta muy simple : primero dibujamos la traza de la superficie F(x,y,z)=0 sobre el plano coordenado correspondiente a las variables no libres y luego movemos esta curva en la dirección del eje coordenado correspondiente a la variable libre.

Trazar la gráfica de la superficie cilíndrica Solución La variable libre es z entonces dibujamos la traza sobre el plano z=0 (plano xy ) y la desplazamos a lo largo del eje z.

Trace la gráfica del plano y+z=3 Solución La variable libre es x entonces dibujamos la traza del plano y+z=3 sobre el plano x=0 y luego la desplazamos en la dirección del eje x.

Trazar la gráfica de la superficie cilíndrica. 1) 2) 3)

Para formar el sistema de coordenadas polares en el plano, fijamos un punto O, llamado polo y a partir de O, se traza un rayo inicial llamado eje polar. A cada punto P en el plano se le asignan coordenadas polares distancia dirigida de O a P. ángulo dirigido, desde el eje polar Hasta el segmento

Las coordenadas polares de un punto están relacionadas con las coordenadas rectangulares de ese punto como se muestra a continuación.

1.Dado el punto, transformarlo a coordenadas rectangulares. y Por lo tanto, las coordenadas rectangulares son

Dado el punto, transformarlo a coordenadas polares. además, Ahora como se eligió en el mismo cuadrante que entonces

1.Dado el punto, transformarlo a coordenadas rectangulares. 2.Dado el punto, transformarlo a coordenadas polares.

Ejemplo: Describir la grafica de las siguientes ecuaciones polares: a) r =2 b) Solución. a)Sabemos que, por lo tanto tenemos que b)Utilicemos la relación, de lo cual obtenemos:

r =2 Graficas Ejemplo

El sistema de coordenadas cilíndricas, es una extensión de las coordenadas polares del plano al espacio.

Cilíndricas a rectangulares: Rectangulares a cilíndricas :

1.convertir la ecuación rectangular a coordenadas cilíndricas. Solución. Como, entonces decimos que:, de lo cual Paraboloide

1.convertir la ecuación cilíndrica a coordenadas rectangulares. Solución., Hiperboloide de dos hojas

1.Hallar una ecuación en coordenadas cilíndricas para la ecuación Solución., Esfera

1.Hallar una ecuación en coordenadas cilíndricas para: a) b) c)

Ingresar palabras claves en diferentes buscadores tales como:  Applet coordenadas polares.  Applet superficies cuádricas.  Applet superficies cilíndricas. bibliografía