Dirección de Investigación y Postgrado UNEXPO REP Ú BLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLIT É CNICA “ ANTONIO JOS É DE SUCRE ” DIRECCI Ó N DE INVESTIGACI Ó N Y POSTGRADO Ing. Jerez Julio Cesar Ing. Ligia Amada MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL Y EL MÉTODO SIMPLEX

Dirección de Investigación y Postgrado UNEXPO CONCEPTO DE MODELOS Un modelo es una representación de la realidad.  A escala  Analógico  Matemático Forma general de un modelo matemático : Maximizar o minimizar Z = F (x 1, x 2, x 3, …,x n ) Sujeto a: Restricciones donde x 1, x 2, x 3, …,x n son las variables de decisión Z es la función objetivo F es una función específica de las variables Las restricciones son funciones de las variables de decisión

Dirección de Investigación y Postgrado UNEXPO Mundo real Interpretación Modelo Transformación Resultados del Modelo Verificación Resultados del Mundo real Observación ESTRUCTURA DE UN MODELO

Dirección de Investigación y Postgrado UNEXPO Modelos matemáticos MODELOS DETERMINÍSTICOS PROBABILÍSTICOS LINEALES NO LINEALES LINEALES NO LINEALES

Dirección de Investigación y Postgrado UNEXPO ALGUNOS MODELOS UTILIZADOS EN I.O. PROGRAMACIÓN LINEAL * PROGRAMACIÓN NO LINEAL * PROGRAMACIÓN DINÁMICA * PROGRAMACION ENTERA TRANSPORTE, TRANSBORDO * ASIGNACIÓN DE RECURSOS UBICACIÓN DE ALMACENES PERT/C P M GRAFOS Y REDES INVENTARIO PREDICCIÓN Y PROGNOSIS TEORÍAS DE DECISION TEORÍA DE JUEGOS SIMULACIÓN PROCESOS ESTOCÁSTICOS COLAS PROGRAMACIÓN POR METAS

Dirección de Investigación y Postgrado UNEXPO En la introducción se vio que si una realidad puede representarse por medio de un sistema de desigualdades y ecuaciones lineales, se tiene entonces un modelo de PL. El enfoque de PL considera el sistema bajo estudio en funciones elementales llamadas actividades. Generalmente las actividades son expresadas mediante variables que se llaman de decisión. La forma general del modelo es:

Dirección de Investigación y Postgrado UNEXPO PREMISAS DEL MODELO DE PL Proporcionalidad Aditividad Divisibilidad

Dirección de Investigación y Postgrado UNEXPO CONTRUCCIÓN O FORMULACIÓN DE UN MODELO DE PL Un fabricante elabora tres productos A, B y C. Hay dos procesos V y W por los cuales tienen que pasar los tres productos. El tiempo de manufactura (en horas) para cada unidad de producto es: ProductoVW A911 B518 C206 En el proceso V no se dispone de más de 400 horas semanales y en el W a lo sumo 750 horas. La ganancia unitaria por la fabricación y venta de los productos es 32, 20 y 60, respectivamente. Suponiendo que todo lo que se produce se puede vender, ¿cuánto debe producirse de cada producto para maximizar las ganancias?

Dirección de Investigación y Postgrado UNEXPO FORMULACIÓN DEL MODELO DE PL Designemos por x1, x2, x3 la cantidad de producto A, B y C, respectivamente, que debe producirse. Estas son las variables de decisión. El modelo es:

Dirección de Investigación y Postgrado UNEXPO OTRO EJEMPLO Supongamos que se desea obtener un diseño preliminar de un conjunto de apartamentos. Nuestro estudio muestra que los apartamentos de 1 y 2 habitaciones son los más buscados en el área. Se conoce que hay demanda, a lo sumo, de 3 apartamentos de 3 habitaciones y 6 apartamentos de 2 habitaciones. La tabla siguiente muestra el costo y la ganancia para cada tipo de apartamento. Tipo de apto.CostoGanancia 1 habitaci ó n habitaciones habitaciones22027 El capital disponible es Si el criterio de maximizar ganancias fuese el único, lo más ventajoso sería construir todos de una habitación. Sin embargo, la planificación exige que se construyen apartamentos de todo tipo y se ha colocado una penalización de hasta 960 puntos para permitir diversidad.

Dirección de Investigación y Postgrado UNEXPO OTRO EJEMPLO (CONTINUACIÓN) Tipo de apartamento Penalizaci ó n 1 habitaci ó n habitaciones60 3 habitaciones30 ¿Cuántos apartamentos de cada tipo deben construirse?

Dirección de Investigación y Postgrado UNEXPO OBTENCIÓN DE SOLUCIONES DE UN MODELO DE PL Método gráfico * Método algebraico * Método Simplex, Revisado, Dual Simplex * Método de descomposición Método del pivote complementario Método del punto interior

Dirección de Investigación y Postgrado UNEXPO EJEMPLO 1 (MÉTODO GRÁFICO) Maximizar Z = 3x1 + 6x2 (0) s.a: x1 + x2 ≤ 10 (1) x1 ≤ 2 x2 (2) x2 ≤ 6 (3) x1, x2 ≥ 0 (4) (1) x1 x2 (2) (3)P X2 = 6 (ecuación de borde K K: Región factible, P: Solución Óptima

Dirección de Investigación y Postgrado UNEXPO EJEMPLO 2: MÉTODO GRÁFICO Minimizar Z = 2x1 + 5x2 (1) s. a: 8x1 + 4x2 ≤ 32 (2) x1 ≤ 2x2 (3) x2 ≤ 10 ; (4) x1, x2 ≥ 0 x1 x2 (4) (3) (2) K Óptimo

Dirección de Investigación y Postgrado UNEXPO Ejemplo 3: Método gráfico Maximizar Z = 3x 1 + 5x 2 Sujeto a: x 1 ≤ 4 x 1, x 2 ≥ 0 2x 2 ≤ 12 x 2 ≤ 8 3x 1 + 2x 2 ≤ 18 X 1 = 4X 2 = 6 3X 1 + 2x2 = 18 K (2,6) X 2 = 8 Restricción activa

Dirección de Investigación y Postgrado UNEXPO METODO SIMPLEX

Dirección de Investigación y Postgrado UNEXPO DEFINICION El método del simplex fue creado en 1947 por el matemático George Dantzig. Es un procedimiento iterativo que, partiendo de una solución básica, permite ir mejorando sucesivamente esa solución hasta encontrar el programa óptimo. APLICACIÓN Este método se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen tres o más variables,utilizando álgebra matricial y el proceso de eliminación de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Dirección de Investigación y Postgrado UNEXPO CONDICIONES 1.El objetivo es de la forma de maximización o de minimización. 2.Todas las restricciones son de igualdad. 3.Todas las variables son no negativas. 4. Las constantes a la derecha de las restricciones son no negativas.

Dirección de Investigación y Postgrado UNEXPO PASOS: Maximizar Z= f(x,y)= 3x + 2y sujeto a: 2x + y = =0, y >=0 1) Convertir las desigualdades en igualdades 2) Igualar la función objetivo a cero 3) Escribir la tabla inicial simplex 4) Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base

Dirección de Investigación y Postgrado UNEXPO A.Para escoger la variable de decisión que entra en la base, nos fijamos en la última fila, la de los coeficientes de la función objetivo y escogemos la variable con el coeficiente negativo mayor (en valor absoluto). En nuestro caso, la variable x de coeficiente - 3. Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos. Si en la última fila no existiese ningún coeficiente negativo, significa que se ha alcanzado la solución óptima. Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del método del simplex, es que en la última fila no haya elementos negativos. La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote B.Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, se divide cada término de la última columna (valores solución) por el término correspondiente de la columna pivote, siempre que estos últimos sean mayores que cero.En este caso: 18/2 [=9], 42/2 [=21] y 24/3 [=8] Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir. El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al menor cociente positivo, el 3, ya 8 es el menor, indica la fila de la variable de holgura que sale de la base, d. Esta fila se llama fila pivote Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica que cualquiera de las variables correspondientes pueden salir de la base. C.En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote operacional, 3.

Dirección de Investigación y Postgrado UNEXPO 5) Encontrar los coeficientes de la nueva tabla A)Los nuevos coeficientes de x se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la fila d por el pivote operacional, 3, que es el que hay que convertir en 1. B) Mediante la reducción gaussiana hacemos ceros los restantes términos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la función objetivo Z. C) Como en los elementos de la última fila hay uno negativo, - 1, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso

Dirección de Investigación y Postgrado UNEXPO SOLUCION OPTIMA Como todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son positivos, hemos llegado a la solución óptima. Los solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solución, en nuestro caso: 33. En la misma columna se puede observar el vértice donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la base: D(3,12)

Dirección de Investigación y Postgrado UNEXPO INTERPRETACION GEOMETRICA DEL METODO SIMPLEX Las sucesivas tablas que hemos construido van proporcionando el valor de la función objetivo en los distintos vértices, ajustándose, a la vez, los coeficientes de las variables iniciales y de holgura. En la primera iteración (Tabla I) han permanecido todos los coeficientes iguales, se ha calculado el valor de la función objetivo en el vértice.Tabla I A continuación se desplaza por la arista AB, calculando el valor de f, hasta llegar a B. Este paso aporta la Tabla II. En esta segunda iteración se ha calculado el valor que corresponde al vértice B(8,0)Tabla II Sigue por la arista BC, hasta llegar a C, donde se para y despliega los datos de la Tabla III. En esta tercera iteración se ha calculado el valor que corresponde al vértice C(6,6).Tabla III Continua haciendo cálculos a través de la arista CD, hasta llegar al vértice D. Los datos que se reflejan son los de la Tabla IV.Tabla IV Concluye con esta tabla, advirtiendo que ha terminado (antes ha comprobado que la solución no mejora al desplazarse por la arista DE) El valor máximo de la función objetivo es 33, y corresponde a x = 3 e y = 12 (vértice D). Si calculas el valor de la función objetivo en el vértice E(0,14), su valor no supera el valor 33.

Dirección de Investigación y Postgrado UNEXPO INTERPRETACION GEOMETRICA DEL METODO SIMPLEX

Dirección de Investigación y Postgrado UNEXPO GRACIAS POR SU ATENCION!