ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

ÁREAS Y VOLÚMENES. ÍNDICE Área de polígonos. Área de figuras circulares. Área de un ortoedro. Volumen de un ortoedro. Ejemplo. Área de un prisma regular. Principio de Cavalieri. Volumen de un prisma regular. Área de un cilindro. Volumen de un cilindro. Área de una pirámide regular. Volumen de una pirámide regular. Área de un cono. Volumen de un cono. Área de un tronco de pirámide. Volumen de un tronco de pirámide. Área de un tronco de cono. Volumen de un tronco de cono. Área de una esfera. Volumen de una esfera.

Vamos a recordar el área de algunos polígonos. ÁREA DE POLÍGONOS Vamos a recordar el área de algunos polígonos.

ÁREA DE FIGURAS CIRCULARES Vamos a recordar el área de algunas figuras circulares.

ÁREA DE UN ORTOEDRO Las caras del ortoedro son rectángulos, siendo las caras opuestas iguales. El área total de un ortoedro es igual a la suma de las áreas de sus caras.

VOLUMEN DE UN ORTOEDRO Las cajas de zapatos, las peceras, etc., suelen tener forma de prisma. Recuerda que estos cuerpos se llaman ortoedros. Observa esta caja. ¿Cuál es su volumen en cm3? 3 cm Rellenamos el primer piso con cm3 Caben 5 × 4 = 20. 4 cm Como hay que poner 3 capas, se tiene: 5 cm (5 × 4) × 3 = 60. El volumen de la caja es 60 cm3 Volumen de un ortoedro = largo × ancho × alto. V = a × b × c Si las aristas son iguales, la figura es un cubo. Su volumen es: V = a × a × a = a3

EJEMPLO Calcula el área y el volumen de la pecera en cm3 Largo = 1 m = 100 cm. Ancho = 45 cm. Alto = 50 cm. El área será: A = 2 x 100 x 45 + 2 x 100 x 50 + 2 x 45 x 50 = 9000 + 10000 + 4500 = 23.500 cm2. El volumen será: V = 100 × 45 × 50 = 225.000 cm3.

ÁREA DE UN PRISMA REGULAR Las caras laterales de un prisma regular son rectángulos y sus bases son polígonos regulares. Las suma del área de todos los rectángulos es el área lateral del prisma. El área total del prisma regular se obtiene sumando al área lateral el área de los dos polígonos de las bases.

PRINCIPIO DE CAVALIERI Principio de Cavalieri: “Si dos cuerpos tienen la misma altura y bases de igual área, y al cortarlos por cualquier plano paralelo a las bases, el área de las secciones es la misma, ambos tienen igual volumen”. Para comprobar el principio de Cavalieri, observemos esta figura: A la izquierda tenemos un montón de ladrillos iguales, unos encima de otros, y a la derecha, están los mismos ladrillos desordenados. Es obvio que, en los dos casos, el volumen que ocupan es el mismo. Observamos que si cortamos con un plano a cualquier altura, la sección es la misma.

Volumen del prisma = área base x altura = a∙b∙c VOLUMEN DE UN PRISMA El volumen de un prisma de base cualquiera, por el principio de Cavalieri, será igual que el de un ortoedro con la misma sección, es decir, con la misma área de la base. VPRISMA = área de la base · altura = AB · h  Por tanto, si tenemos un prisma con dimensiones a, b y c, el volumen será:   Volumen del prisma = área base x altura = a∙b∙c

ÁREA DE UN CILINDRO El área de un cilindro se obtiene sumando al área lateral el doble del área del círculo de la base.

VOLUMEN DE UN CILINDRO Para calcular el volumen de un cilindro, vamos a utilizar el principio de Cavalieri. Dibujemos un cilindro y un prisma recto con la misma altura, bases de igual área y secciones también de la misma área. Según el principio de Cavalieri, tendrán igual volumen. Si el radio del cilindro es r y la altura h, su volumen será: Vcilindro = AB · h = πr2h Por tanto, si tenemos un cilindro de radio r y altura h, el volumen será:   Volumen cilindro = área base x altura = πr2h

ÁREA DE UNA PIRÁMIDE REGULAR Las caras laterales de una pirámide regular son triángulos isósceles iguales, y la base es un polígono regular. El área lateral de una pirámide regular es la suma de las áreas de los triángulos de sus caras. Para calcular el área total habrá que sumar al área lateral el área de la base. Por tanto, si tenemos una pirámide regular (cuya base tiene n lados que miden l cada uno y apotema a) y con una altura h, entonces:   Área pirámide =

VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE Para calcular el volumen de una pirámide, consideremos un prisma y una pirámide con la misma área de la base y la misma altura, h. Si llenamos la pirámide con arena fina o agua y la vaciamos en el prisma, comprobamos que para llenar el prisma se necesitaría el contenido exacto de tres pirámides. Luego, el volumen de la pirámide es un tercio del volumen del prisma. Por tanto, si tenemos una pirámide regular (cuya base tiene n lados que miden l cada uno y apotema a) y con una altura h, entonces: Volumen pirámide =

ÁREA DE UN CONO Si el número de caras de una pirámide creciera indefinidamente, se transformaría en un cono. Observa la figura y la correspondencia indicada. Por tanto, el área total del cono se calcula sumándole al área lateral (πrg) el área de la base (πr2)

Por tanto, si tenemos un cono de altura h y radio r, entonces: VOLUMEN DE UN CONO Consideremos una pirámide y un cono, ambos de altura h, con bases de igual área y secciones de la misma área. Según el principio de Cavalieri, tendrán el mismo volumen. Luego, el volumen del cono será igual, por tanto, a un tercio del área de la base por la altura. Por tanto, si tenemos un cono de altura h y radio r, entonces:   Volumen cono =

ÁREA DE TRONCO DE PIRÁMIDE El área lateral de un tronco de pirámide regular es la suma de las áreas de los trapecios iguales a sus caras. El área total del tronco de pirámide se obtiene sumando al área lateral el área del polígono de la base mayor, B, y de la base menor, b.

VOLUMEN DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE El volumen de un tronco de pirámide se puede calcular mediante la siguiente fórmula: Sean S1 y S2 las superficies de las bases del tronco de pirámide y h su altura, entonces:

ÁREA DE UN TRONCO DE CONO Un tronco de cono puede ser considerado como un tronco de pirámide en el que el número de caras laterales ha crecido indefinidamente. El área total de un tronco de cono recto se obtiene sumando al área lateral el área de los dos círculos de las bases:

VOLUMEN DE UN TRONCO DE CONO El volumen de un tronco de cono recto se puede calcular mediante la siguiente fórmula: Sean S1 y S2 las superficies de las bases del tronco de cono y h su altura, entonces:

ÁREA DE UNA ESFERA La esfera es un cuerpo redondo que no tiene caras, y está formado por una única superficie curva. Tampoco tiene desarrollo, como el cilindro o el cono.   La superficie de la esfera se denomina superficie esférica. Podemos medir su área del siguiente modo: Imaginamos una esfera cubierta por un cilindro ajustado a ella. El área lateral del cilindro es igual que el área de la esfera. Por tanto:   ALATERAL CILINDRO = 2πr · g = AESFERA   Como en el caso de la esfera g = 2r, entonces tenemos que: AESFERA = 2πr · 2r = 4πr2 Por tanto, si tenemos una esfera de radio r, entonces: Área esfera = 4πr2

Por tanto, si tenemos una esfera de radio r, entonces: VOLUMEN DE UNA ESFERA Vamos a  calcular el volumen de una esfera. Para ello, consideramos la esfera dividida en multitud de pequeñas pirámides iguales con vértice común en el centro de la esfera. La base de cada una de las pirámides es muy pequeña, por lo que podemos considerarla plana y aplicar la fórmula del volumen de una pirámide. Así, si llamamos AB al área de la base de la pirámide, su volumen es: Volumen pirámide =   El volumen de la esfera es la suma de los volúmenes de todas las pirámides: Volumen esfera = La suma de las bases de todas esas pirámides será el área total de la esfera (que, como ya sabemos, es 4πr2). Luego, el volumen de la esfera es: Por tanto, si tenemos una esfera de radio r, entonces: Volumen esfera =

ESPERO QUE HAYÁIS APRENDIDO MUCHO. HASTA PRONTO, CHAVALES. ESPERO QUE HAYÁIS APRENDIDO MUCHO. COMPROBAD VUESTRO APRENDIZAJE CON LAS ACTIVIDADES QUE APARECEN EN LA PÁGINA WEB. ¡¡¡¡ ADIOS !!!!