Solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con MATLAB Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica Solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con MATLAB Expositor : Miguel Ataurima Arellano ataurima@telefonica.net.pe

Ecuación Diferencial Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas Expositor: Miguel Ataurima Arellano

variable independiente Clasificación Ecuación diferencial ordinaria (Ordinary Differential Equation - ODE) Es una ecuación diferencial en la que la función desconocida (variable dependiente) depende solo de una variable independiente. variable dependiente ( función desconocida ) variable independiente Expositor: Miguel Ataurima Arellano

variables independientes Ecuación diferencial parcial (Partial Differential Equation) Es una ecuación diferencial en la que la función desconocida (variable dependiente) depende de dos o mas variables independientes. variable dependiente ( función desconocida ) variables independientes Expositor: Miguel Ataurima Arellano

Orden de una Ecuación Diferencial El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada de mayor orden que interviene en ella 1er. Orden 2do. Orden 3er. Orden 2do. Orden 2do. Orden Expositor: Miguel Ataurima Arellano

Grado de una Ecuación Diferencial Una ecuación diferencial puede escribirse como un polinomio respecto a las derivadas de la función desconocida; el grado de la ecuación diferencial es el grado de la derivada de mayor orden. 1er. Grado 1er. Grado 1er. Grado 3er. Grado 1er. Grado Expositor: Miguel Ataurima Arellano

Notaciones En una ODE la primera, segunda, tercera, cuarta, …, n-ésima derivada de la función desconocida ( y ) respecto a la variable independiente en consideración pueden representarse mediantes las expresiones Así: Si la variable independiente fuese x, entonces: Si la variable independiente fuese p, entonces: Si la variable independiente es el tiempo, usualmente denotado por t, las primas ( ' ) son reemplazadas por puntos. Expositor: Miguel Ataurima Arellano

Solución de una Ecuación Diferencial Una solución de una ecuación diferencial para una función desconocida y y la variable independiente x sobre el intervalo I es una función y(x) que satisface la ecuación diferencial para toda x en I. EJEMPLO : Derivando: De ahí: Expositor: Miguel Ataurima Arellano

Solución Particular. La solución particular de una ecuación diferencial es una de las soluciones del conjunto de soluciones dado por la solución general. Así, en nuestro ejemplo, podemos tener las siguientes soluciones particulares: Sin embargo, no todas las soluciones generales de una ecuación diferencial podrán ser expresadas por una simple fórmula. Expositor: Miguel Ataurima Arellano

Forma General de una Ecuación Diferencial La forma general de una ecuación diferencial de orden n de función desconocida o variable dependiente y = y(x) con variable independiente x es: Cualquier ecuación diferencial de orden n puede ser resuelta explícitamente para la derivada de mayor orden que aparece en ella; pudiendo escribirse en la forma: Así, la forma general de una ecuación diferencial de primer orden es: escrito de otra forma: Expositor: Miguel Ataurima Arellano

Forma General de la Ecuación Diferencial Orden Forma General de la Ecuación Diferencial 1er. 2do. 3er. Expositor: Miguel Ataurima Arellano

Problemas con Condiciones Iniciales Una ecuación diferencial junto con condiciones adjuntas sobre la función desconocida y su derivadas, todas dadas en un mismo valor de la variable independiente constituye un problema con condiciones iniciales. Así, resolver el problema con condición inicial significa encontrar una función diferenciable y=y(x) que satisfaga ambas condiciones Expositor: Miguel Ataurima Arellano

Problemas con Condiciones de Frontera Si las condiciones adjuntas son dadas en mas de un valor de la variable independiente, el problema es un problema con condiciones de frontera y las condiciones se denominan condiciones de frontera. Así, el problema es un problema de condiciones de frontera, porque las condiciones adjuntas están dadas para x = 0 y x = 1 Expositor: Miguel Ataurima Arellano

Solución a los Problemas de C.I o C.F. Una solución para un problema con condiciones iniciales o condiciones de frontera es una función f(x) que resuelve ambas ecuaciones diferenciales y satisface todas las condiciones adjuntas. Expositor: Miguel Ataurima Arellano

Existen métodos analíticos para resolver una ecuación diferencial, muchas de éstas tienen soluciones analíticas complicadas o simplemente no las tienen. Las técnicas numéricas más comunes par resolver ecuaciones diferenciales ordinarias son : El método de Euler y El método de Runge-Kutta Ambos métodos aproximan la función usando su expansión de serie de Taylor Expositor: Miguel Ataurima Arellano

Aproximación de serie de Taylor de primer orden Aproximación de serie de Taylor de segundo orden Las dos funciones de MATLAB que calculan soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE) usan aproximaciones de orden 2, 3, 4 y 5 para aproximar el valor de la función Expositor: Miguel Ataurima Arellano

FUNCIONES odexx Matlab contiene las siguientes funciones para calcular soluciones numéricas (solvers) de ecuaciones diferenciales ordinarias: solver Tipo de Problema Orden de Precisión Se usa ode23 No Rígido Bajo Para problemas con tolerancias leves de error o para problemas medianamente Rígidos. ode45 Medio La mayoría de las veces. Éste debe ser el primer solver a intentar. ode113 Bajo a Alto Para problemas con tolerancias severas de error o para problemas que requieran intensivo cálculo. ode15s Rígido Bajo a Medio Si ode45 es lento debido a que el problema es Rígido. ode23s Si usando leves tolerancias de error para resolver sistemas rígidos y la matriz de mas es constante ode23t Moderadamente Rígido Para problemas medianamente Rígidos si necesita una solución sin complicaciones numéricas Ode23tb Si se desea usar leves tolerancias de error para resolver problemas Rígidos Expositor: Miguel Ataurima Arellano

[T,Y] = solver(odefun,tspan,y0,options) Sintáxis [T,Y] = solver(odefun,tspan,y0) [T,Y] = solver(odefun,tspan,y0,options) [T,Y,TE,YE,IE] = solver(odefun,tspan,y0,options) sol = solver(odefun,[t0 tf],y0...) donde: Expositor: Miguel Ataurima Arellano

 Argumentos de entrada: solver : es uno de las funciones ode45, ode23, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, or ode23tb. odefun : Un manipulador de función que evalúa el lado derecho de las ecuaciones diferenciales. Todos los solvers resuelven los sistemas de ecuaciones diferenciales de la forma o problemas que involucran una matriz de masas El solver ode23s puede solo resolver ecuaciones con matrices de masa constantes. Los solvers ode15s y ode23t pueden resolver problemas con una matriz de masa que sea singular, por ejemplo, ecuaciones algebraicas diferenciales ( DAEs - differential-algebraic equations). Expositor: Miguel Ataurima Arellano

Es un vector que especifica el intervalo de integración [t0, tf]. tspan : Es un vector que especifica el intervalo de integración [t0, tf]. El solver establece la condición inicial en tspan(1), e integra desde tspan(1) hasta tspan(end). Para obtener soluciones en tiempos específicos (todos crecientes o todos decrecientes), use tspan = [t0,t1,...,tf]. Para vectores tspan con dos elementos [t0 tf], el solver retorna la solución evaluada en cada paso de integración. Para vectores tspan con mas de dos elementos, el solver retorna soluciones evaluadas en los puntos de tiempo dados. Los valores del tiempo deben estar dados en orden creciente o decreciente. Al especificar tspan con mas de dos elementos no se afecta los pasos de timepo interno que el solver utiliza desde tspan(1) hasta tspan(end). Todos los solvers ODE obtienen valores de salida a través de extensiones contínuas de las fórmulas básicas. Aunque un solver no requiere necesariamente un paso preciso para un punto de tiempo especificado en tspan, Las soluciones producidas en los tiempos especificados son todas del mismo orden de precisión como las soluciones calculadas en el intervalo de puntos de tiempo. Especificar un tspan con mas de dos elementos tiene un pequeño efecto en la eficiencia del cálculo, pero para grandes sistemas, afecta la administración de la memoria. Expositor: Miguel Ataurima Arellano

 Argumentos de salida: y0 : Es el vector con las condiciones iniciales. options : Estructura de parámetros opcionales que cambian las propiedades de integración por defecto. Se pueden crear opciones utilizando la función odeset.  Argumentos de salida: T : Vector columna con los puntos de tiempo. Y : Arreglo solución. A cada fila de Y le corresponde una solución en el tiempo retornado en la correspondiente fila de T. Expositor: Miguel Ataurima Arellano

EJEMPLO: Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias de primer grado: EDO C.I. Intervalo [2, 4] [0, 5] [0, 120] [0, 2] [0, 3] Expositor: Miguel Ataurima Arellano

para un tiempo de 0 a 5 con un paso de 0.01. Use el solver ode45. EJEMPLO: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de un cuerpo rígido sin fuerzas externas. para un tiempo de 0 a 5 con un paso de 0.01. Use el solver ode45. Expositor: Miguel Ataurima Arellano

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EJEMPLO: Resolver el siguiente sistema rígido de ecuaciones diferenciales dadas por las ecuaciones de van der Pol en oscilación de relajada. En el límite del ciclo hay porciones donde los componentes de la solución cambian lentamente y el problema es demasiado Rígido, alternando con regiones de cambios demasiado en punta donde no es rígido. Expositor: Miguel Ataurima Arellano

Para simular este sistema creamos la función vdp1000(t,y) function dy = vdp1000(t,y) dy = zeros(2,1); dy(1) = y(2); dy(2) = 1000*(1 - y(1)^2)*y(2) - y(1); Para este problema utilizaremos un intervalo de tiempo de [0 3000] con una condición inicial [2 0] en el tiempo 0; y el solver ode15s [t,Y] = ode15s(@vdp1000,[0 3000],[2 0]); Expositor: Miguel Ataurima Arellano

Graficamos la primera columna de la matriz retornada Y versus T mostrando la solución. plot(T,Y(:,1),'-o') Expositor: Miguel Ataurima Arellano