M ODELADO M ATEMÁTICO EN I NGENIERÍA Francisco J. Valdés-Parada 1

P LAN DE LA PRESENTACIÓN Antecedentes personales Generalidades sobre el modelado matemático Aplicación al flujo en capilares El resto de la historia 2

A NTECEDENTES PERSONALES Bachillerato:  Matemáticas  Química  Física 3 Ingeniería Química ¿Qué hace el ingeniero químico? ¿Podré hacer eso?, ¿Me gustará? Preguntas que debí haberme hecho:

D URANTE LOS PRIMEROS 4 SEMESTRES … 1. Matemáticas, Física y Química. 2. Más de lo anterior 3. Más de lo anterior 4. ¿Balances de Materia y Energía ? 4 ¡Voy a ser un muy buen químico que además sabe algo de matemáticas! ¡ Al parecer ya debería saber qué hace un Ingeniero Químico ! Todo se reduce a una ecuación: E – S – Consumo + Producción = Acumulación

Y DE PRONTO TODO CAMBIÓ … (Q UINTO SEMESTRE ) El modelado matemático es una parte fundamental de la ingeniería. Las matemáticas sirven para resolver las ecuaciones que planteamos. La física y la química ayudan en el planteamiento y comprobación del modelo. ¡ No me equivoqué de carrera ! 5

E L RESTO DE LA CARRERA … Operaciones unitarias Diseño de reactores Optimización y control de procesos Diseño de plantas químicas 6 Fenómenos de transporte Termodinámica

S OBRE EL MODELADO MATEMÁTICO Un Modelo es una abstracción de la realidad que se hace para interpretarla. Ejemplos: lenguaje, escritura, artes, matemáticas, etc. Los modelos son inevitables en el quehacer humano. Un modelo matemático es una representación de un sistema a partir de relaciones matemáticas. Los modelos matemáticos son inevitables en el quehacer del ingeniero. 7

E LEMENTOS DE UN MODELO MATEMÁTICO 8 Sistema Modelo matemático ( ) Suposiciones y restricciones

V EAMOS UN EJEMPLO 9 L I. Macroescala II. Escala promedio III. Microescala

D ESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DEL FENÓMENO Ecuación de transporte de masa en la microescala A su vez… 10 Concentración molar de la especie A Flux molar de A

S UPOSICIONES La velocidad del fluido alcanza el estado estacionario mucho antes que la concentración. El perfil de concentración es simétrico en la dirección angular. Entonces… Sabemos de mecánica de fluidos que: 11

¿Q UÉ HEMOS HECHO HASTA AHORA ? Plantear una ecuación de balance de masa Establecer una relación entre la concentración y el flux. Proponer suposiciones razonables en base a la física del sistema. ¿Necesitamos toda la información que nos da la solución de la ecuación microscópica? R. Sólo cierta información. 12

P ROMEDIADO Y ESCALAMIENTO El promedio en área se define como Aplicando este operador a la ecuación de balance en la microescala 13

Sin embargo, las condiciones de frontera en la dirección radial son: 14

15 Sabemos de estadística que cualquier distribución finita de información puede expresarse como la suma de su promedio y desviaciones 0 0

16

P ARA CERRAR LA ECUACIÓN PROMEDIO … Dado que 17

18 Sin embargo,

C OMPARANDO TÉRMINOS 19 R ESTRICCIONES DE ESCALA

20 Cuya solución puede expresarse como De esta forma, En estado cuasi-estacionario

E CUACIÓN CERRADA 21 Taylor (1953); Aris (1956)

R ESUMEN HASTA ESTE PUNTO Se determinó una porción de un sistema que se desea estudiar. Se planteó la ecuación de balance a escala microscópica. Se decidió conservar sólo cierta información de la microescala a partir de la operación de promediado. La validez del modelo resultante está determinada por las restricciones de escala. 22

E L M ODELO OBTENIDO ES 23 + Condición inicial + Condiciones de frontera

S OLUCIÓN DEL MODELO Y A NÁLISIS DE R ESULTADOS. 24 Pe = 0.01 Pe = 10 Pe = 100

A GRANDES RASGOS EL MODELADO MATEMÁTICO SE RESUME EN 1. Planteamiento del modelo. ( Fenómenos de transporte, termodinámica ) 2. Solución del modelo. (Matemáticas) 3. Análisis de los resultados. (Varias) 25

Y EL RESTO DE LA HISTORIA … Maestría: Extensión de un método aproximado para la solución analítica de sistemas de transporte y reacción en estado transitorio. Entre lo que aprendí: ¡ Se puede vivir y estudiar en Iztapalapa ! Solución analítica de modelos de transporte de masa antes de alcanzar el estado estacionario. Comparación de soluciones numéricas y analíticas. Interpretación y discusión de resultados. Autocrítica. 26

D OCTORADO Y P RIMER P OSTDOCTORADO Planteamiento de condiciones de frontera entre sistemas de varias fases. Lo que aprendí: Planteamiento del modelo (no todo está escrito). Las condiciones de frontera son ecuaciones conservativas y por tanto se deducen de ecuaciones de balance, no se imponen. Escritura, discusión y publicación de artículos. Contrastar mis ideas con las de otras personas. Un doctor, es doctor aquí y en donde se pare. Lo que hago puede ser de interés para otras personas y puede ayudar a resolver problemas asociados con la industria nacional. 27

L O QUE HAGO AHORA ( SEGUNDO POSTDOCTORADO ) 28 Fenómenos de transporte en sistemas biológicos

¿A QUÉ ME PIENSO DEDICAR ? Investigación y docencia en ciencias básicas e ingeniería. Planteamiento, solución y análisis de modelos matemáticos. Comprobación mediante experimentos y/o otras teorías. Aplicaciones a gran escala. 29

A LGUNAS R ECOMENDACIONES El inglés no debe ser un impedimento El plan de estudios es una sugerencia, tu eres libre de estudiar hasta donde tu quieras. Si el maestro no llega, haz algo útil. Si el maestro no te enseña, enséñate. No te esperes al final de la carrera para decidir qué hacer con tu vida. El servicio social no debe ser una pérdida de tiempo ni una excusa para faltar a clases. Atrévete a preguntar 30

31 Muchas gracias