Mini-video 2 de 5 Materia: Límites de funciones Continuidad de funciones Prácticas con Introducción a Funciones de una variable.

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1 Mini-video 2 de 5 Materia: Límites de funciones Continuidad de funciones Prácticas con Introducción a Funciones de una variable

2 Límites de funciones Pretendemos en este epígrafe presentar la idea de límite de una función. Haremos hincapié en el concepto, pues el cálculo matemático requiere el conocimiento de diversas herramientas que no entraremos a contar en detalle, utilizando algún programa de cálculo para ello.

3 Introducción a Funciones de una variable Límites de funciones Pretendemos en este epígrafe presentar la idea de límite de una función. Haremos hincapié en el concepto, pues el cálculo matemático requiere el conocimiento de diversas herramientas que no entraremos a contar en detalle, utilizando algún programa de cálculo para ello. Para entender el concepto de límite veámoslo con un ejemplo.

4 Introducción a Funciones de una variable Límites de funciones Pretendemos en este epígrafe presentar la idea de límite de una función. Haremos hincapié en el concepto, pues el cálculo matemático requiere el conocimiento de diversas herramientas que no entraremos a contar en detalle, utilizando algún programa de cálculo para ello. Para entender el concepto de límite veámoslo con un ejemplo. Consideremos la función: cuyo conjunto de definición (dominio) es el conjunto de los números reales no negativos excepto x=1, es decir:

5 Introducción a Funciones de una variable Si dibujamos la gráfica de la función:

6 Introducción a Funciones de una variable Si dibujamos la gráfica de la función:

7 Introducción a Funciones de una variable Si hacemos “un zoom” en el punto x=1 observaríamos que en dicho punto la gráfica de la función hace un “pequeño salto”, ya que la función no existe en dicho punto:

8 Introducción a Funciones de una variable Si dibujamos la gráfica de la función y hacemos “un zoom” en el punto x=1 observaríamos que en dicho punto la gráfica de la función hace un “pequeño salto”, ya que la función no existe en dicho punto:

9 Introducción a Funciones de una variable Como veremos en el apartado siguiente ello implicará una discontinuidad de la función en x = 1. Ahora nos preguntamos: cuando el valor de x es muy cercano a 1, ¿cuánto vale la función?

10 Introducción a Funciones de una variable Como veremos en el apartado siguiente ello implicará una discontinuidad de la función en x = 1. Ahora nos preguntamos: cuando el valor de x es muy cercano a 1, ¿cuánto vale la función? Es claro que en x =1 la función no está definida; por lo tanto, tendremos que dar un método que sea capaz de responder a la cuestión anterior, la cual podemos plantearla en los términos siguientes: Si x tiende a 1 ¿a cuánto tiende la función?

11 Introducción a Funciones de una variable Como veremos en el apartado siguiente ello implicará una discontinuidad de la función en x = 1. Ahora nos preguntamos: cuando el valor de x es muy cercano a 1, ¿cuánto vale la función? Es claro que en x =1 la función no está definida; por lo tanto, tendremos que dar un método que sea capaz de responder a la cuestión anterior, la cual podemos plantearla en los términos siguientes: Si x tiende a 1 ¿a cuánto tiende la función? A esto es lo que llamaremos límite de la función F(x) cuando x tiende a 1 y lo denotaremos como: siendo L el valor de dicho límite, el cual queremos calcular.

12 Introducción a Funciones de una variable Observemos que a la hora de aproximarnos a lo largo del eje de abcisas al punto x =1 lo podemos hacer por la derecha y por la izquierda, es decir, podemos considerar (siempre para puntos cercanos a 1) los puntos: y nos estaremos acercando al punto x=1 por la izquierda

13 Introducción a Funciones de una variable Observemos que a la hora de aproximarnos a lo largo del eje de abcisas al punto x =1 lo podemos hacer por la derecha y por la izquierda, es decir, podemos considerar (siempre para puntos cercanos a 1) los puntos: y nos estaremos acercando al punto x=1 por la izquierda, mientras que si consideramos los puntos: x = 1.1, 1.01, 1.001, 1.0001 nos estaremos acercando al punto x=1 por la derecha.

14 Introducción a Funciones de una variable Si dibujamos la gráfica de la función:

15 Introducción a Funciones de una variable Observemos que a la hora de aproximarnos a lo largo del eje de abcisas al punto x =1 lo podemos hacer por la derecha y por la izquierda, es decir, podemos considerar (siempre para puntos cercanos a 1) los puntos: y nos estaremos acercando al punto x=1 por la izquierda, mientras que si consideramos los puntos: x = 1.1, 1.01, 1.001, 1.0001 nos estaremos acercando al punto x=1 por la derecha. Calculemos el valor de la función en cada uno de tales puntos.

16 Introducción a Funciones de una variable Observemos que a la hora de aproximarnos a lo largo del eje de abcisas al punto x =1 lo podemos hacer por la derecha y por la izquierda, es decir, podemos considerar (siempre para puntos cercanos a 1) los puntos: y nos estaremos acercando al punto x=1 por la izquierda, mientras que si consideramos los puntos: x = 1.1, 1.01, 1.001, 1.0001 nos estaremos acercando al punto x=1 por la derecha. Calculemos el valor de la función en cada uno de tales puntos. Empezando por la izquierda : F(0.9)=1.94868, F(0.99) = 1.99499, F(0.999)=1.9995, F(0.9999)=1.99995

17 Introducción a Funciones de una variable Observamos que cuando x se aproxima al valor 1, el valor de la función se aproxima al valor 2; ello lo escribiremos en la forma: y lo leeremos límite lateral por la izquierda de la función F(x) cuando x tiende a 1.

18 Introducción a Funciones de una variable Observamos que cuando x se aproxima al valor 1, el valor de la función se aproxima al valor 2; ello lo escribiremos en la forma: y lo leeremos límite lateral por la izquierda de la función F(x) cuando x tiende a 1. Calculando el valor por la derecha: F(1.1)=2.04881, F(1.01)=2.00499, F(1.001)=2.0005, F(1.0001)=2.00005

19 Introducción a Funciones de una variable Observamos que cuando x se aproxima al valor 1, el valor de la función se aproxima al valor 2; ello lo escribiremos en la forma: y lo leeremos límite lateral por la izquierda de la función F(x) cuando x tiende a 1. Calculando el valor por la derecha: F(1.1)=2.04881, F(1.01)=2.00499, F(1.001)=2.0005, F(1.0001)=2.00005 Observamos que cuando el valor de x se aproxima por la derecha al valor 1, la función tiende también a acercarse al valor 2; esto lo escribiremos en la forma:

20 Introducción a Funciones de una variable y lo leeremos límite lateral por la derecha de la función F(x) cuando x tiende a 1.

21 Introducción a Funciones de una variable y lo leeremos límite lateral por la derecha de la función F(x) cuando x tiende a 1. Observamos que en nuestro ejemplo ambos límites laterales coinciden:

22 Introducción a Funciones de una variable y lo leeremos límite lateral por la derecha de la función F(x) cuando x tiende a 1. Observamos que en nuestro ejemplo ambos límites laterales coinciden: En este caso diremos que existe el límite de la función F(x) cuando x tiende a 1 y toma el valor:

23 Introducción a Funciones de una variable y lo leeremos límite lateral por la derecha de la función F(x) cuando x tiende a 1. Observamos que en nuestro ejemplo ambos límites laterales coinciden: En este caso diremos que existe el límite de la función F(x) cuando x tiende a 1 y toma el valor: De forma general, la notación: significa que los valores de F(x) se pueden aproximar a L cuanto se quiera, eligiendo x lo suficientemente próximo al valor a, pero distinto de dicho valor.

24 Introducción a Funciones de una variable Ejemplo: Determinar si existen los límites de la función en x=2 y en x=0.

25 Introducción a Funciones de una variable Ejemplo: Determinar si existen los límites de la función en x=2 y en x=0. Solución: A) Calculemos:

26 Introducción a Funciones de una variable Ejemplo: Determinar si existen los límites de la función en x=2 y en x=0. Solución: A) Calculemos: Si determinamos el valor de la función en dicho punto: Y podemos observar en la gráfica de la función como existen los límites laterales:

27 Introducción a Funciones de una variable

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29 Con lo que tenemos que: Como ya indicaremos en el apartado siguiente la función es continua en el punto x = 2 (la continuidad en funciones en las cuales podemos ver su gráfica es un concepto más que intuitivo); en ese caso, el valor del límite siempre va a coincidir con el valor de la función en el punto considerado; este hecho acabamos de comprobarlo en este ejercicio.

30 Introducción a Funciones de una variable Con lo que tenemos que: Como ya indicaremos en el apartado siguiente la función es continua en el punto x = 2 (la continuidad en funciones en las cuales podemos ver su gráfica es un concepto más que intuitivo); en ese caso, el valor del límite siempre va a coincidir con el valor de la función en el punto considerado; este hecho acabamos de comprobarlo en este ejercicio. Para el segundo punto, calculemos:

31 Introducción a Funciones de una variable

32 En este caso, los límites laterales no coinciden, ya que no existe el límite lateral por la izquierda de la función (no podemos evaluar F en puntos a la izquierda de cero). El límite lateral por la derecha si existe y vale: (el cual lo hemos podido calcular, por ejemplo, siguiendo el ejercicio realizado antes, y calculado F(0.01), F(0.001), F(0.0001),...., y observando que tiende a 1).

33 Introducción a Funciones de una variable En este caso, los límites laterales no coinciden, ya que no existe el límite lateral por la izquierda de la función (no podemos evaluar F en puntos a la izquierda de cero). El límite lateral por la derecha si existe y vale: (el cual lo hemos podido calcular, por ejemplo, siguiendo el ejercicio realizado antes, y calculado F(0.01), F(0.001), F(0.0001),...., y observando que tiende a 1). Por lo tanto el límite pedido no existe.

34 Introducción a Funciones de una variable En este caso, los límites laterales no coinciden, ya que no existe el límite lateral por la izquierda de la función (no podemos evaluar F en puntos a la izquierda de cero). El límite lateral por la derecha si existe y vale: (el cual lo hemos podido calcular, por ejemplo, siguiendo el ejercicio realizado antes, y calculado F(0.01), F(0.001), F(0.0001),...., y observando que tiende a 1). Por lo tanto el límite pedido no existe. En general, para que una función posea en un punto un límite, dicho punto ha de ser tal que puntos a su izquierda y a su derecha han de pertenecer al dominio de la función. Además, la función no tiene porqué existir en dicho punto.

35 Introducción a Funciones de una variable Continuidad de funciones Intuitivamente, una función es continua en un punto si a pequeños a cambios en la variable independiente, x, se producen pequeños cambios en la variable dependiente. Gráficamente, se observan claramente, pues son gráficas que se dibujan de un trazo, sin levantar el lápiz del papel.

36 Introducción a Funciones de una variable Continuidad de funciones Intuitivamente, una función es continua en un punto si a pequeños a cambios en la variable independiente, x, se producen pequeños cambios en la variable dependiente. Gráficamente, se observan claramente, pues son gráficas que se dibujan de un trazo, sin levantar el lápiz del papel. Matemáticamente, la definición es la siguiente:

37 Introducción a Funciones de una variable Continuidad de funciones Intuitivamente, una función es continua en un punto si a pequeños a cambios en la variable independiente, x, se producen pequeños cambios en la variable dependiente. Gráficamente, se observan claramente, pues son gráficas que se dibujan de un trazo, sin levantar el lápiz del papel. Matemáticamente, la definición es la siguiente: Definición. Dada una función F(x) definida en un subconjunto D de R, diremos que es continua en un punto x* de D si se verifica:

38 Introducción a Funciones de una variable Por lo tanto,, para que una función sea continua en un punto vamos a exigir tres cosas: 1) Debe existir la función en ese punto.

39 Introducción a Funciones de una variable Por lo tanto,, para que una función sea continua en un punto vamos a exigir tres cosas: 1) Debe existir la función en ese punto. 2) Debe existir el límite de la función en ese punto.

40 Introducción a Funciones de una variable Por lo tanto,, para que una función sea continua en un punto vamos a exigir tres cosas: 1) Debe existir la función en ese punto. 2) Debe existir el límite de la función en ese punto. 3) Deben ser iguales ambas cantidades.

41 Introducción a Funciones de una variable Por lo tanto,, para que una función sea continua en un punto vamos a exigir tres cosas: 1) Debe existir la función en ese punto. 2) Debe existir el límite de la función en ese punto. 3) Deben ser iguales ambas cantidades. El concepto de continuidad en un punto se generaliza a un subconjunto, de forma que se dice que F es continua en un intervalo abierto (a, b) si es continua en todos los puntos de dicho intervalo. Además, es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es continua en (a, b) y es continua por la derecha en a y por la izquierda en b.

42 Introducción a Funciones de una variable Por lo tanto,, para que una función sea continua en un punto vamos a exigir tres cosas: 1) Debe existir la función en ese punto. 2) Debe existir el límite de la función en ese punto. 3) Deben ser iguales ambas cantidades. El concepto de continuidad en un punto se generaliza a un subconjunto, de forma que se dice que F es continua en un intervalo abierto (a, b) si es continua en todos los puntos de dicho intervalo. Además, es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es continua en (a, b) y es continua por la derecha en a y por la izquierda en b. Podemos observar que en la práctica, el estudio de la continuidad conlleva el cálculo de límites, cuestión que, como vimos en el epígrafe anterior, necesitará la ayuda de algún programa de cálculo.

43 Introducción a Funciones de una variable Ejemplos Mostramos tres ejemplos de funciones discontinuas, en las cuales fallan las condiciones 1), 2) y 3) mencionadas en la definición anterior.

44 Introducción a Funciones de una variable Ejemplos Mostramos tres ejemplos de funciones discontinuas, en las cuales fallan las condiciones 1), 2) y 3) mencionadas en la definición anterior. 1)La función: no es continua en el punto x=1 ya que la función no existe en dicho punto (no podemos calcular F(1)), si existiendo el límite tal y como vimos anteriormente. Sin embargo la función si es continua en cualquier otro punto de su dominio.

45 Introducción a Funciones de una variable Ejemplos Mostramos tres ejemplos de funciones discontinuas, en las cuales fallan las condiciones 1), 2) y 3) mencionadas en la definición anterior. 1)La función: no es continua en el punto x=1 ya que la función no existe en dicho punto (no podemos calcular F(1)), si existiendo el límite tal y como vimos anteriormente. Sin embargo la función si es continua en cualquier otro punto de su dominio. 2)La función:

46 Introducción a Funciones de una variable no es continua en el punto x=0, pero ahora por otra razón que en el ejemplo anterior: no existe el límite de la función en dicho punto (se ha comprobado anteriormente que no coincidían los límites laterales en cero).

47 Introducción a Funciones de una variable no es continua en el punto x=0, pero ahora por otra razón que en el ejemplo anterior: no existe el límite de la función en dicho punto (se ha comprobado anteriormente que no coincidían los límites laterales en cero). 3) La función: no es continua en el punto x=2 ya que, si bien existe la función en el punto y existe el límite, ambas cantidades no coinciden: F(2) = 2

48 Introducción a Funciones de una variable Propiedades de las funciones continuas Vamos a resaltar algunas propiedades que cumplen las funciones continuas en cuanto a las operaciones con ellas.

49 Introducción a Funciones de una variable Propiedades de las funciones continuas Vamos a resaltar algunas propiedades que cumplen las funciones continuas en cuanto a las operaciones con ellas. Si a es un número real, F y G son funciones continuas en x 0 entonces las siguientes funciones son continuas en x 0 : 1) Producto por un escalar: a F

50 Introducción a Funciones de una variable Propiedades de las funciones continuas Vamos a resaltar algunas propiedades que cumplen las funciones continuas en cuanto a las operaciones con ellas. Si a es un número real, F y G son funciones continuas en x 0 entonces las siguientes funciones son continuas en x 0 : 1) Producto por un escalar: a F 2) Suma o resta: F + G, F – G

51 Introducción a Funciones de una variable Propiedades de las funciones continuas Vamos a resaltar algunas propiedades que cumplen las funciones continuas en cuanto a las operaciones con ellas. Si a es un número real, F y G son funciones continuas en x 0 entonces las siguientes funciones son continuas en x 0 : 1) Producto por un escalar: a F 2) Suma o resta: F + G, F – G 3) Producto: F G

52 Introducción a Funciones de una variable Propiedades de las funciones continuas Vamos a resaltar algunas propiedades que cumplen las funciones continuas en cuanto a las operaciones con ellas. Si a es un número real, F y G son funciones continuas en x 0 entonces las siguientes funciones son continuas en x 0 : 1) Producto por un escalar: a F 2) Suma o resta: F + G, F – G 3) Producto: F G 4) Cociente: F/G (si G(x 0 ) es distinta de 0)

53 Introducción a Funciones de una variable Propiedades de las funciones continuas Vamos a resaltar algunas propiedades que cumplen las funciones continuas en cuanto a las operaciones con ellas. Si a es un número real, F y G son funciones continuas en x 0 entonces las siguientes funciones son continuas en x 0 : 1) Producto por un escalar: a F 2) Suma o resta: F + G, F – G 3) Producto: F G 4) Cociente: F/G (si G(x 0 ) es distinta de 0) 5) Composición: F o G (si G es continua en F(x 0 ))

54 Introducción a Funciones de una variable Propiedades de las funciones continuas Vamos a resaltar algunas propiedades que cumplen las funciones continuas en cuanto a las operaciones con ellas. Si a es un número real, F y G son funciones continuas en x 0 entonces las siguientes funciones son continuas en x 0 : 1) Producto por un escalar: a F 2) Suma o resta: F + G, F – G 3) Producto: F G 4) Cociente: F/G (si G(x 0 ) es distinta de 0) 5) Composición: F o G (si G es continua en F(x 0 )) Resaltamos además, que si F(x) es una función polinómica, racional potencial o trigonométrica, entonces F es continua en cualquier número x donde F(x) esté definida.

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56 Mini-video 3 de 5 Materia: Derivabilidad de funciones Aplicaciones económicas Prácticas con Introducción a Funciones de una variable