@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 U.D. 6 * 3º ESO E.Ap. Ecuaciones.

Presentación del tema: "@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 U.D. 6 * 3º ESO E.Ap. Ecuaciones."— Transcripción de la presentación:

1 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 U.D. 6 * 3º ESO E.Ap. Ecuaciones

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO2 U.D. 6.5 * 3º ESO E.Ap. Ecuaciones de segundo grado

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO3 ECUACIÓN DE 2º GRADO ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO También llamada ecuación cuadrática. Es aquella que, tras pasar todo el segundo miembro de una igualdad al primero, el polinomio característico es de grado 2. Tiene la forma a.x 2 + b.x + c = 0 Donde a, b y c son números; y siempre a<>0 Pueden darse varios casos: CASO 1.-a = 0NO SERÍA ECUACIÓN CUADRÁTICA. CASO 2.-b = 0 y c = 0Solución única:x = 0 CASO 3.-b = 0a.x 2 + c = 0INCOMPLETA CASO 4.-c = 0a.x 2 + b.x = 0INCOMPLETA CASO 5.-b<>0, c<>0a.x 2 + b.x + c = 0COMPLETA

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO4 SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Las soluciones de una ecuación de segundo grado son los valores de x que al ser sustituidos verifican la ecuación. EJEMPLOS DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN Sea x 2 - 3.x + 2 = 0 Si x = 1 1 2 - 3.1 + 2 = 0  1 – 3 + 2 = 0  0 = 0 x = 1 es una solución. Si x = 2 2 2 - 3.2 + 2 = 0  4 – 6 + 2 = 0  0 = 0 x = 2 es otra solución. Soluciones de una ecuación

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO5 EQUIVALENCIA DE ECUACIONES Dos ecuaciones de segundo grado son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones. EJEMPLOS DE ECUACIÓN EQUIVALENTE Sea x 2 - 3.x + 2 = 0 x = 1 y x = 2 son las dos soluciones de la ecuación. 3.x 2 - 9.x + 6 = 0Es equivalente a la primera. 2.x 2 - 6.x + 4 = 0Es equivalente a la primera. - 5.x 2 + 15.x – 10 = 0Es equivalente a la primera. Y así miles de ellas.¿Cómo se hacen ecuaciones equivalentes? Antes de resolver una ecuación hay que simplificarla, transformarla en una ecuación equivalente. En general dividiendo todo entre el valor de a. Equivalencia de ecuaciones

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO6 ECUACIONES OBVIAS CASO 1 Tiene la forma b.x + c = 0 a = 0  NO son ecuaciones cuadráticas, son lineales. Ejemplos 4.x + 5 = 0  a = 0, b = 4, c = 5  E. LINEAL – 3.x + 1 = 0  a = 0, b = – 3, c = 1  E. LINEAL CASO 2 Tiene la forma a.x 2 = 0 Resolución: x 2 = 0/a  x 2 = 0  x = +/- √0 = 0  x = 0 Ejemplos 4.x 2 = 0 Resolución: x 2 = 0/4  x 2 = 0  x = +/- √0 = 0  x = 0 – 5.x 2 = 0 Resolución: x 2 = 0/(– 5)  x 2 = 0  x = +/- √0 = 0  x = 0

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO7 ECUACIÓN INCOMPLETA CASO 3 Tiene la forma a.x 2 + c = 0 Resolución: Paso 1.- a.x 2 = - c Paso 2.- x 2 = - c / a Paso 3.- x = +/- √ (- c / a) Dándonos las dos raíces si existen. EJEMPLO 1 Sea x 2 - 4 = 0 Resolución: x 2 = 4  x = +/- √ 4  x = +/- 2 x 1 = + 2 x 2 = - 2

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO8 EJEMPLO 2 Sea 2.x 2 - 18 = 0 Resolución: Simplificamos: x 2 – 9 = 0  x 2 = 9  x = +/- √ 9 Dándonos las dos raíces: x 1 = + 3, x 2 = - 3 EJEMPLO 3 Sea 9.x 2 - 16 = 0 Resolución: 9.x 2 = 16  x 2 = 16 / 9  x = +/- √ (16 / 9) Dándonos las dos raíces: x 1 = + 4/3, x 2 = - 4/3 EJEMPLO 4 Sea 5.x 2 - 10 = 0 Resolución: Simplificamos: x 2 – 2 = 0  x 2 = 2  x = +/- √2 Dándonos las dos raíces: x 1 = + √2, x 2 = - √2 Nota: Aunque se puede emplear la fórmula ya conocida, para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas no es muy aconsejable.

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO9 CASO 4 Tiene la forma a.x 2 + b.x = 0 Resolución: Clave: Sacar factor común a x. Paso 1.- x. (a.x + b ) = 0 Paso 2.- x = 0 es un raíz Paso 3.- a.x + b = 0 de donde x = - b / a es otra raíz EJEMPLO 1 Sea 2.x 2 + 8.x = 0 Resolución: 2.x. (x + 4 ) = 0  x = 0 es una raíz x + 4 = 0  x = - 4 es la otra raíz x 1 = 0,, x 2 = - 4 ECUACIÓN INCOMPLETA

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO10 EJEMPLO 2 Sea x 2 + x = 0 x. (x + 1 ) = 0  x = 0 es una raíz x + 1 = 0  x = - 1 es otra raíz x 1 = 0 x 2 = - 1 EJEMPLO 3 Sea 4.x 2 -- 3.x = 0 x. (4.x – 3) = 0  x = 0 es una raíz 4.x – 3 = 0  4.x = 3  x = 3 / 4 es otra raíz x 1 = 0 x 2 = 3 / 4 = 0,75 EJEMPLO 4 Sea 3.x 2 - 8.x = 0 x. (3.x - 8 ) = 0  x = 0 es una raíz 3.x - 8 = 0  3.x = 8  x = 8 / 3 es la otra raíz x 1 = 0 x 2 = 8 / 3