Fundamentos de Control

Presentación del tema: "Fundamentos de Control"— Transcripción de la presentación:

1 Fundamentos de Control
Realimentado Clase 21 Versión Autor: Mario A. Jordán NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR, 2do. Cuatrimestre Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Este es un Power Point Show realizado en Power Point Professional Plus 2007

2 Empleo de Lugar de las Raíz en Sistemas de Control con Retardo Puro
Contenido: Modelo simplificado de un Retardo Puro Análisis con LR de Sistemas con RP

3 Retardo puro en Métodos de diseño de SC
Básicamente, un retardo puro es representado por una función compleja de orden infinito, es decir una función racional de infinitos ceros e infinitos polos. Por ello, resulta difícil incorporar un retardo puro en el diseño de sistemas de control con las herramientas vistas. Las reglas de Ziegler-Nichols, sortean este inconveniente de forma empírica, aunque no así otros métodos de diseño propuestos como por ejemplo LR, Ruth, Bode, entre otros. El Criterio de Routh y el Lugar de la Raíces no pueden aplicarse directamente, pues exigen funciones racionales con polinomios de grado finito. Sólo es posible su inclusión mediante métodos aproximados denominados Circuitos de Padé.

4 Modelo de un retardo puro
Circuitos de Padé Sea la siguiente expansión en Series de MacLaurin alrededor de s=0: e-Td s = 1 – s – – . . . 2 s2 6 24 1+Tds/2 -1+Tds/2 , Se propone una estructura de función racional aproximante: y a continuación se la expande igualmente en series de MacLaurin: a0s+1 b0s-b1  -b1-(b0-a0b1)s- a0(b0-a0b1)s2+a02(b0-a0b1)s3… Luego identificamos los coeficientes (a0, b0, b1) con los 3 primeros términos de la serie de Maclaurin para e-Td s . Esto nos da: b1=-1 b0 - a0b1=1 -a0(b0-a0b1)=1/2 Finalmente sustituimos s por Tds.

5 Modelo de un retardo puro
2/Td - 2/Td jw s Esto resulta en: e-Td s (1+Tds/2) -1+Tds/2 A este aproximante lo llamamos Padé (1,1). También podríamos proponer una estructura de dos ceros y dos polos denominada Padé (2,2): jw s 3/Td -3/Td - 3 /Td e-Td s 1+Tds/2+(Tds)2/12 1-Tds/2+(Tds)2/12 A veces es útil aproximar el retardo puro por un modelo simple aunque burdo como el Padé (0,1): : -1/Td jw s e-Td s (1+Tds) 1

6 Aproximación de Pade’s de distintos órdenes
6 Aproximación de Pade’s de distintos órdenes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -0.2 1.2 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 -0.15 -0.1 -0.05 0.05 0.1 0.15 0.25 0.3 0.35 Padé con distintos órdenes Respuesta original Td =1 s  =1 s Respuestas de Padé con órdenes 1, 2, 3, 8 y 15 (0,1) (2,2) Planta: G(s)  e-sTd ts+1 (3,3) (8,8) (16,16) zoom original Td =1 s =1 s (1,1)

7 Modelo de un retardo puro
Ejemplo: Sea la planta: G(s)= (1+10s) (1+60s) K e-5s El polinomio característico correspondiente es: (1+10s)(1+60s)+ K e-5s=0 Usando aproximaciones de Padé de orden (0,1), (1,1) y (2,2): e-Td s (1+Tds) 1 (1+5s)(1+10s)(1+60s)+ K=0 e-Td s (1+Tds/2) -1+Tds/2 (1+2.5s)(1+10s)(1+60s)+ K(-1+2.5s)=0 e-Td s 1+Tds/2+(Tds)2/12 1-Tds/2+(Tds)2/12 (1+2.5s+2.1s2)(1+10s)(1+60s)+K(1-2.5s+2.1s2) =0

8 Lugar de la raíz con retardo puro
-0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 G(s)e-Td s G(s) 1+Tds/2+(Tds)2/12 1-Tds/2+(Tds)2/12 G(s)e-Td s (1+Tds/2) -1+Tds/2 G(s) G(s)e-Td s (1+Tds) G(s) (0,1) G(s) sin retardo puro G(s)e-Td s (,) Sin RP (2,2) (1,1) Es equivalente a: Cuanto más grande es K, más grande es el error de las ramas inestables. 1- K (1+Tds/2) 1-Tds/2 G(s) con K positiva, o: (1+Tds/2) 1-Tds/2 1+KG(s) Cuanto más alto es el orden del Circ. de Padé, más pequeño es el error de las ramas inestables. con K negativa.