Fundamentos de Control

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1 Fundamentos de Control
Realimentado Clase Versión Autor: Mario A. Jordán NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR, 2do. Cuatrimestre Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Este es un Power Point Show realizado en Power Point Professional Plus 2007

2 Diseños de Sistemas de Control
2 Diseños de Sistemas de Control Contenido Estructura y dinámicas de controladores PID Reglas de diseño de Ziegler-Nichols Propiedades de un SC en estado estacionario Definición de la propiedad “Tipo de Sistema” Regla de Truxal

3 Estructura de un controlador PID
3 Estructura de un controlador PID Controlador PID Controlador e y r u - Ccl(s) = U(s) / E(s) kP e(t) + kD e(t) dt de dt kI  t kP + kD s + kI 1 s Ccl(s) = = kp (1+ TD s ) 1 s TI kD kP TD = kP kI TI = Forma industrial

4 Tipos de controladores
4 Tipos de controladores Controlador PD Controlador P Controlador PI Controlador PID e y r u - kP e(t) e(t) dt kI  t kP e(t) + kD e(t) dt de dt kI  t kP e(t) kP e(t) + kD de dt s TI 1 = kp (1+ TD s ) kP + kD s + kI CPID(s) = TI 1 s = kp ( ) kP + kI CPI(s) = = kp (1+ TD s) kP + kD s CPD(s) = kP CP (s) =

5 Estructura de un controlador PID
A veces es útil en diseños analíticos expresar la Función de Transferencia del controlador factoreada: kPTD (s2+1/TDs+1/TDTI) kPTD(s+z1)(s+z2) Ccl(s) = = s s kPTD (s+1/2TD ( TD/TI )) (s+1/2TD( TD/TI )) = s s x z1 z2 Configuración USUAL de polos y ceros de un PID p=0

6 Ceros de un PDI con modificación de TD
6 Ceros de un PDI con modificación de TD Sean las expresiones analíticas del polo y de los ceros: p = 0 z1= -1/2TD ( TD/TI ) z2= -1/2TD ( TD/TI ) TI=3, TD : variable kPs TI C(s)= s  TD Derivador puro z1= 0 z2= 0 x Derivador puro Controlador PI

7 Ceros de un PDI con modificación de TI
7 Ceros de un PDI con modificación de TI Sean las expresiones analíticas del polo y de los ceros: p = 0 z1= -1/2TD ( TD/TI ) z2= -1/2TD ( TD/TI ) s TD=2, TI : variable C(s)= kp(1+TDs)  kI  TI Controlador PD z2= -1/TD z1= 0 x Controlador PD Controlador oscilante de frecuencia infinita

8 Ubicación válida de ceros en un PDI
8 Ubicación válida de ceros en un PDI Los ceros de un PID son en general reales negativos Para un Ti muy chico, o para un TD muy grande, los ceros del PID pueden ser complejos Vemos de las expresiones: -TI - TI2-4TDTI 2TITD z1 = -TI + TI2-4TDTI 2TITD z2 = que para TD=TI /4, los dos ceros son dobles, reales y negativos, y que sólo para TITD<0, al menos un cero es inestable. Este caso no puede darse pues en general TI>0 y TD>0. Para TI= el controlador PID se convierte en un controlador PD con ceros en z2=0 y z2=-1/TD Para TD= el controlador PID se convierte en un derivador puro.

9 Dinámica de un Controlador PID
9 Dinámica de un Controlador PID Si e(t) crece uniformemente kp=3, kd=1, ki=6.25 -1.52j s x kp=11, kd=1, ki=10 -1; -10 s x 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -4 -2 2 4 6 8 12 14 16 time e(t) vs. u(t) e(t) = t 1(t) -1.5; -1.5 s x kp=3, kd=1, ki=2.25 kp=3,1 kd=1, ki=2 -1; -2 s x Respuesta súbita pues el PID tiene más ceros que polos kP + kD s + kI 1 s Ccl(s) =

10 Dinámica de un controlador PD
10 Dinámica de un controlador PD C(s) = kp (1+ TD s) 5 10 15 20 25 -4 -2 2 4 6 8 12 14 16 u(t) vs. e(t) e(t) = t 1(t) u(t) TD Término Proporcional: t 1(t) con kp=1 Término derivativo: TD 1(t) TD

11 Propiedades de un Controlador PD
11 Propiedades de un Controlador PD G(s) D (s) = kP + kD s Y(s) R(s) U(s) E(s) - Sea D(s) con un cero y la planta con n-m > 0 (grado relativo +) Aplicando el Teorema del Valor Inicial: s R(s) = lim s  D(s) 1+D(s)G(s) u(0) = lim s D(s) (R(s) -Y(s)) = s  lim s  s /s =  D(s) 1+D(s)G(s) ya que G(s) tiene al menos un polo ! Es decir, con una entrada r(t) escalonada, el PD reacciona con un valor inicial infinitamente grande que provoca la saturación de sus actuadores.

12 Alternativa de un Controlador PD
12 Alternativa de un Controlador PD Una alternativa de diseño PD salva este problema indeseado: G(s) Y(s) R(s) E(s) - D (s) = kP + kD s U(s) Aplicando el Teorema del Valor Inicial: u(0) = lim s D(s) Y(s) = s  s lim D(s)G(s) 1+D(s)G(s) R(s) = s lim s  D(s)G(s) 1+D(s)G(s) 1/s = = 0 si n-m>1 cte< si n-m={1,0} Para plantas con muchos polos y pocos ceros, u(0) es finito! Además la estabilidad no se modificó en este caso respecto al primero!

13 Especificaciones temporales para el diseño de PID’s
13 Especificaciones temporales para el diseño de PID’s Muchos sistemas de control resultan oscilantes sub-amortiguados. En muchos casos también pueden aproximarse a un sistema sub-amortiguado de segundo orden (ejemplo: 2 de sus polos son complejos conjugados dominantes y con coeficiente Ci de alto modulo. 1 Tiempo de subida tr tr = 1.8 wn (promedio equivalente a =0.5 o sea q=30°) 2’ Pico inverso Mpi 2 Sobrepico Mp Mpi dh(t) dt = 0 Mp = e-pz / 1-z2 = e-p s/d 3 Tiempo de sobrepico tp 3’ Tiempo de pico inverso tpi tp = p wd tpi h(tpi) = - Mpi 4 Tiempo de establecimiento ts (para ±1% de tolerancia) ts = 4.6 s (1%)

14 Diseño de PID’s en el plano complejo
14 Diseño de PID’s en el plano complejo jw s Los polos dominantes de la planta controlada se adentran en la región de buena performance Polo Planta Ceros PID Polo PID Cero Planta Polo Planta

15 FT de un SLC con controlador PID
15 FT de un SLC con controlador PID Sea una planta de segundo orden: Kt G(s) = La ecuación característica del sistema con un PID es: Se observa que los 3 coeficientes nuevos son modificables por diseño! Por ello se pueden localizar los 3 polos resultantes donde se desee. Se deben usar métodos de diseño avanzados para definir kP, kD y kI acorde a especificaciones temporales. Si el sistema planta tiene un par de polos complejos dominantes con módulo |Ci| grande, vale la aproximación a un sistema de 2do orden!

16 t PRIMER DISEÑO DE UN PID:
16 PRIMER DISEÑO DE UN PID: Reglas de Ziegler-Nichols para Curva de Reacción Sea un Controlador PID: y una planta real sin modelo a la cual se la excita con un escalón unitario. tiempo y(t), u(t) CURVA DE REACCIÓN y(t) A Recta tangente Pendiente R=A/ Respuesta de la aproximación r(t) 1 A e-sL Planta: G(s)  ts+1 Punto de inflexión t Tomamos ese modelo aproximado para diseñar un controlador PID L

17 Curva de Reacción - Ejemplo
17 Curva de Reacción - Ejemplo Sea la siguiente curva de reacción de un Intercambiador de Calor, la cual fue medida en un experimento excitando a la planta con 1(t) 50 13 s t=90 s Buscamos un punto de inflexión y trazamos la línea tangente hasta cortar el eje de tiempo R= A/t =1/90 L= 13 Planta: G(s)  e-13s 1+ 90s Estimamos en el periodo de tiempo desde el instante cero hasta el instante de corte Luego buscamos una constante de tiempo equivalente a un sistema de primer orden

18 Diseño de Controladores P-PI-PID según Ziegler-Nichols
18 Diseño de Controladores P-PI-PID según Ziegler-Nichols Para un Controlador P, la regla de ZN dice: kp = 1/RL = 6.92 Para un Controlador PI, la regla de ZN dice: kp = 0.9/RL = Ti = L/0.3 = 43.3 Para un Controlador PID, la regla de ZN dice: kp = 1.2/RL = TD= 0.5 L = Ti = 2L = 26

19 Notas sobre las Reglas de Ziegler-Nichols
19 Notas sobre las Reglas de Ziegler-Nichols No es necesario estimar a la planta, se mide su respuesta al escalón únicamente Por ello la FT del sistema es desconocida. Aunque sí se puede obtener una estimación del modelo a través de su curva de reacción La familia de plantas válidas a las que se les aplican las Reglas de Z-N son en general todas las que tienen sólo polos reales negativos, sin importar cuan alto sea su orden de la ODE Quedan excluidos de la aplicación los sistemas oscilantes subamortiguados, los que poseen sobrepico debido a ceros, los inestables y los de fases no-mínima La configuración de polos y ceros del modelo posee una función exponencial e-sLt que no es racional, y es de orden infinito. Se la puede aproximar por Circuitos de Padé de orden finito.

20 Planta con Circ. de Pade’s de distintos órdenes
20 Planta con Circ. de Pade’s de distintos órdenes Objetivo: reemplazar la función e-Ls con una función de transferencia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -0.2 1.2 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 -0.15 -0.1 -0.05 0.05 0.1 0.15 0.25 0.3 0.35 Respuesta original Padé con distintos órdenes L =1 seg  =1 seg Respuestas de Padé con órdenes 1, 2, 3, 8 y 15 2 Planta: G(s)  e-sL ts+1 3 8 16 zoom original L =1 seg  =1 seg 1

21 Planta Aproximada con Controlador P
21 Planta Aproximada con Controlador P jw s -0.011 -1/t : Polos de lazo cerrado kp1 >kp2 >kp3 >kp * >kp4  i  i kp  - Polo conjugado de Padé Cero Conjugado de Padé FT de LA del sistema de con un P: con: Aproximante de Padé de 2o orden DcG(s)  A kPe-sL ts+1+kP e-sL  1 - Ls/2 + (Ls)2/12 1 + Ls/2 + (Ls)2/12

22 Performance del Sistema de Control P
22 Performance del Sistema de Control P 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 tiempo 1.8 2.0 Sea: kp=11.5 * kp=6 kp=6.92 kp=8 kp=9 kP Y(s) R(s) U E - Curva de Reacción salida controlada P referencia escalón ess Con ayuda de Simulink se puede simular numéricamente una planta con una FT dada por su aproximación de la Curva de Reacción y un retardo puro exacto (sin aproximar por Padé). con kp Mp con kp ess Pero ess no es cero! A menos que kp sea crítico

23 Planta Aproximada y Controlador PI
23 Planta Aproximada y Controlador PI -1/t jw s : Polos de lazo cerrado Ti=10 kp  - -1/TI FT de LA del sistema de control PI: Aproximante de Padé de 2o orden: DCG(s)  kp(Ti s + kp) A e-sL (tTi s2 + Ti s) e-sL  1 - Ls/2 + (Ls)2/12 1 + Ls/2 + (Ls)2/12 con:

24 - kP(1+s/TI) 24 Performance del Sistema de Control PI Y(s) R(s) U E
tiempo 160 20 40 60 80 100 120 140 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 Sea: kp y TI originales kp/2 kp*2 TI/2 TI*2 kP(1+s/TI) Y(s) R(s) U E - Curva de Reacción Mp con kp y con Ti (y viceversa) ess = 0 siempre

25 Fenómeno de Wind-Up en SC PI o PID
25 Fenómeno de Wind-Up en SC PI o PID Aquí empieza el término integral a corregir el error negativo Origen del fenómeno de Wind-Up Máximo tiempo e(t) uI(t) Aquí empieza el término integral a corregir el error negativo saturación Umax(t) t e(t) dt  1 TI retraso correctivo por la saturación efectuada a la acción de control Cruce por cero Cruce por cero

26 Corrección Anti-Wind-Up en SC PI o PID
26 Corrección Anti-Wind-Up en SC PI o PID Polo s=0 Intensidad de la corrección integral: ki Para kI muy alto, la acción integral puede crecer desmesuradamente, tal que cuando se produce un cambio de signo del error, la integral tarda un tiempo largo en cambiar su signo. Esta situación demora la acción correctiva del error. Esta situación se acentúa cuando existe una saturación de la acción de control.

27 Fenómeno de Wind-Up en SC PI o PID
27 Fenómeno de Wind-Up en SC PI o PID 1er Método Anti Wind-Up Saturación: salvaguarda de los actuadores en la planta Cuando existe saturación, cambia la ganancia en la realimentación de cero a Ka GI= s + kI Ka kI De kI/s se pasa a: Polo s = -kI Ka Es decir, para uI baja se reduce el valor de la integral del error segun kI /s. Si este valor supera umax se crea una “fuga” en la integral para reducir la acumulación del error.

28 Fenómeno de anti Wind-Up en SC PI o PID
28 Fenómeno de anti Wind-Up en SC PI o PID Alternativa para implementación del Método Anti Wind-Up Cuando SI existe saturación: u Cuando NO existe saturación: Ka (u-u)=0 jw s PI c/AWU PI s/AWU GI= s kp s + kI -kI / kP -Ka kI

29 - Diseño de un Controlador PID con Método de la Sensitividad Límite 29
Son Reglas alternativas a las de Zigler-Nichols, sin embargo en lugar de una Curva de Reacción, se ejecuta el diseño de un PID (PI o P) mediante un experimento real en planta que consiste en llevar la planta controlada a su límite de estabilidad Sea un sistema de control PID a diseñar: G(s) D (s) = kP + kD s + kI 1 s Y(s) R(s) U E - Y sea la planta (desconocida) y que para los fines del análisis es: G(s)= K (s+1)4 Planta típica de un proceso de alto orden

30 - Diseño de un Controlador PID con Método de la Sensitividad Límite kP
30 Diseño de un Controlador PID con Método de la Sensitividad Límite Para dicha planta real desconocida se instala un controlador proporcional en un lazo de control: kP Y(s) R(s) U E - G(s) Se adopta una r(t) acotada de baja energía: puede ser un tren de pulsos, por ejemplo, de amplitud max r(t) = 5% max y(t) permitida Se comienza a subir la ganancia kp suavemente, por ejemplo en forma escalonada con un periodo por escalón mayor al tiempo de establecimiento ts de la planta Cuando la escalera de kp(t) llega a un valor para el cual la salida y(t) oscila en forma permanente (kp crítica), el proceso se detiene.

31 Sintonización de un Controlador PID
31 Sintonización de un Controlador PID Salida de la planta controlada con ganancia crítica 5 10 15 20 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 kp=ku=4 Ganancia crítica Pu= 6.35 Periodo de oscilación Planta: G(s)= K (s+1)4 Controlador P: ku = 4

32 Sintonización de un Controlador PID
32 Sintonización de un Controlador PID Con dichos parámetros (ku y Pu) se aplican las siguiente reglas: 5 10 15 20 25 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Respuestas de la planta controlada ess jw s -1 P jw s -1 -0.19 PI jw s -1 -0.67 -0.59 PID Finalmente, analizamos tr, tp, Mp, ts y luego ess Si no son los deseados, resintonizamos manualmente, por ejemplo: bajando Mp con kp TI TD kp=0.6 ku= 2.4 TI=0.5 Pu= 3.175 TD=1/8 Pu= 0.79 kp=0.5 ku= 2.0 kp=0.45 ku=1.8 TI=Pu/1.2= 5.29

33 Aplicación del Método con Modelo
33 Supóngase el siguiente sistema dinámico (planta o proceso): G(s)= 2/(s3+6s2+9s+3) y un controlador proporcional de ganancia kp. La FT de LC es: T(s)=2kp/(s3+6s2+9s+2 kp +3) La ecuación característica es: s3+6s2+9s+2 kp +3=0 Por Criterio de Routh se tiene: s s kp +3 s (6*9-(2 kp +3)/ s kp Estabilidad: entonces sabemos que la ganancia cumple: 25.5 > kp > -1.5 con 2 ganancias críticas en los límites del intervalo

34 Ejemplos de Aplicación con Matlab
34 Asumamos desconocer las ganancias críticas y que solo nos interesa una ku positiva acción de control u 2 den(s) FT de la Planta Fcn y Registro Y kp Registro K Saturación Salida y 1 s Integrador Generator de pulsos Ganancia kp Controlador P escalón Supongamos que no tenemos un modelo de la planta, sólo la planta real a disposición. Aplicamos el Método de Sensitividad Diagrama en Simulink

35 Ejemplos de Aplicación con Matlab
35 Ejemplos de Aplicación con Matlab Incremento escalonado de la Ganancia kp Ku=25.45 Zoom de la Ganancia kp cerca de su valor crítico ku Por Criterio de Routh: Ku=25.00

36 Ejemplos de Aplicación con Matlab
36 Zoom de la evolución del sistema dinámico Evolución de la salida controlada y(t) del sistema dinámico ante una ganancia variable Nivel de la evolución temporal donde se observa una oscilación auto-mantenida

37 Ejemplos de Aplicación con Matlab
37 Ejemplos de Aplicación con Matlab Respuesta del sistema de control con ganancia crítica ku=25.4 Pu=2

38 Propiedades de un Sistema de Control en Estado Estacionario
38 FCR Mario Jordán Propiedades de un Sistema de Control en Estado Estacionario

39 Propiedades de Estado Estacionario (ss)
39 Propiedades de Estado Estacionario (ss) Hy sale como 1/Hy afuera del lazo. Se supone luego Hr1=Hr / Hy. También Hy es absorbida el controlador en el camino directo y queda como Dcl Hy=D. Nos queda entonces:

40 Propiedades de Estado Estacionario (ss)
40 Propiedades de Estado Estacionario (ss) E’ U Definimos el error entre R e Y, es decir E = R - Y, y vale:

41 Propiedades de Estado Estacionario (ss)
41 Propiedades de Estado Estacionario (ss) E(s) S = Función de Sensitividad Función de Sensitividad Complementaria La Función de Sensitividad Complementaria es igual a Función de Sensitividad Complementaria T =1 - S = la Función de Transferencia de Lazo Cerrado E = S R - S G W + T V S + T = 1 E = S R - S G W + (1- S ) V

42 T =1-S =Gcl S w Propiedades de Estado Estacionario (ss) 42 S + T = 1
con S = 1 / (1 + DG) y T = Gcl= DG / (1 + DG) E = S R - S G W + (1 - S) V ¿Cómo debería ser el controlador para ofrecer buena performance y simultáneamente buen rechazo al ruido y a las perturbaciones? w Ganancia frecuencial (Función de Transferencia de Fourier) R(w) 1 T =1-S =Gcl S G/(1+DG)W W(w) V(w) Excelente performance y buen rechazo al ruido y a las perturbaciones !

43 Tipo de Sistema de Control
43 FCR Mario Jordán Tipo de Sistema de Control

44 44 NOTAS PRELIMINARES El TIPO de SISTEMA de CONTROL es un concepto ligado al estado permanente de un sistema controlado y no a su estabilidad El TIPO de SISTEMA de CONTROL se mide con un número entero mayor o igual a cero, ejemplo: 0, 1, 2, 3,… Mientras más alto es el TIPO de SISTEMA de CONTROL tanto mejor será la precisión del sistema controlado en estado estacionario En el TIPO de SISTEMA de CONTROL intervienen tanto la dinámica de la planta como la del controlador La herramienta básica para calcular el TIPO de SISTEMA de CONTROL es el Teorema del Valor Inicial

45 . Error de Estado Estacionario (ess) 45 t2 1(t) t3 1(t) r(t) t 1(t)
El error de control e(t) puede tomar un valor asintótico a una constante (que puede ser cero o no) o bien tender a un valor infinito a medida que transcurre el tiempo Este valor asintótico dependerá no sólo de la entrada R(s) sino también de las dinámicas de la planta G(s) y del controlador C(s). Veamos. 1 1+D(s)G(s) ess = e () = lim s s 0 R(s) Por el Teorema del Valor Final: Ahora bien, R(s) puede ser, entre otras, un escalón, o una rampa, o una señal cuadrática, etc., y en general un polinomio de grado t k t3 1(t) t2 1(t) t 1(t) t r(t) Escalón R(s)=1/s Rampa R(s)=1/s2 1(t) Parábola R(s)=1/s3 . Polinom. t k R(s)=1/sk+1

46 Tipo de Sistema - Definición
46 Tipo de Sistema - Definición Se define TIPO DE SISTEMA al grado del polinomio necesario de la señal r(t) para que el ess sea una constante finita y distinta de cero. Supongamos una familia de señales r=t 0=1, r=t1=t, r=t 2, … Sea por ejemplo un sistema tal que con una: Señal escalón s 1 1+D(s)G(s) = 1+D(0)G(0) 1+Kp  0 y < (>- ) e () = lim ess= s 0 Kp es finita Señal rampa 1 s s 0 1+D(s)G(s) s2 = =  e () = lim ess= lim 1+Kp Señal parabólica s s 0 1 1+D(s)G(s) s3 = 1+Kp =  s2 e () = lim ess= lim Entonces este sistema es de TIPO CERO

47 47 Tipo de Sistema Contemplemos otro conjunto planta y controlador DG(s) tal que: Para una familia de señales r=1, r=t, r=t 2, … se cumple lo que sigue: Sea por ejemplo un sistema tal que con una: e () = lim s s 0 1 1+D(s)G(s) =  = 0 ess= Señal escalón D(0)G(0) es infinito e () = lim s s 0 1 1+D(s)G(s) s2 = Kv  0 y < (>- ) ess= Señal rampa 0 D(0)G(0)=Kv es finito e () = lim s s 0 1 1+D(s)G(s) s3 = Kv =  ess= lim Señal parabólica Entonces este sistema es de TIPO UNO

48 Tipo de Sistema 48 Señal escalón Señal rampa Señal parabólica
Contemplemos otro conjunto planta y controlador DG(s) tal que: Para una familia e señales r=1, r=t, r=t 2, … se cumple lo que sigue. Sea por ejemplo un sistema tal que con una: 1 s s 0 1+D(s)G(s) =  = 0 e () = lim ess= Señal escalón D(0)G(0) es infinito s s 0 1 1+D(s)G(s) s2 =  = 0 e () = lim ess= Señal rampa 0 D(0)G(0) es infinito Señal parabólica s s 0 1 1+D(s)G(s) s3 = Ka  0 y < (>- ) e () = lim ess= 02 D(0)G(0)=Ka es finito Entonces este sistema es de TIPO DOS

49 Resumen: Tipo de Sistema
49 Resumen: Tipo de Sistema Tabla: error de estado estacionario vs tipo de sistema Según las ecuaciones de ess para definir el tipo de sistema, resulta: Kp : cte. de error de posición Kv : cte. de error de velocidad Ka : cte. de error de aceleración

50 Ejemplos: Tipo de Sistema CERO
50 Ejemplos: Tipo de Sistema CERO 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 10 15 20 25 tiempo Respuesta a la rampa Respuesta a la parábola ess= e(t) creciente ess=1/(1+Kp) ess= e(t) creciente Respuesta al escalón unitario

51 Ejemplos: Tipo de Sistema UNO
51 Ejemplos: Tipo de Sistema UNO 5 10 15 20 25 30 tiempo ess=cte=1/Kv Respuesta a la rampa Respuesta a la parábola e(t) creciente ess= Parábola asintótica Recta asintótica ess=0 Respuesta al escalón unitario

52 Ejemplos: Tipo de Sistema DOS
52 Ejemplos: Tipo de Sistema DOS 1 2 3 4 5 6 8 10 12 14 16 tiempo ess=cte=1/Ka Respuesta a la parábola Respuesta a la rampa ess=0 ess=0 Respuesta al escalón unitario

53 Resumen: Error de Estado Estacionario
53 Resumen: Error de Estado Estacionario S = E = S R = (1-T ) R donde: T =1 - S = Si R(s) es polinómica (constante 1(t), rampa t 1(t), parábola: t2 1(t), etc.) 1+D(s)G(s) sk+1 E(s) = 1 R(s) = s s 0 1 1+D(s)G(s) sk+1 = sk e () = lim ess= lim =cte0 Para un sistema tipo k, ocurre que: (cte. jerk) Para entradas r(t) de grado menor que k, la precisión es ideal, o sea ess=0

54 Primer ejemplo - 54 Controlador Planta ¿Qué tipo de sistema es?
Y R U E - K (t1s+1)(t2s+1) skP+kI s PI ¿Qué tipo de sistema es? Rta: Probamos ordenadamente con R=1/s, R=1/s2, R=1/s3, etc. s(t1s+1)(t2s+1)+K(kI+kPs) ess = lim s 0 = 0 s(t1s+1)(t2s+1) Con R=1/s llegamos a: s(t1s+1)(t2s+1)+K(kI+kPs) ess = lim s 0 = (t1s+1)(t2s+1) 1 KkI Y con R=1/s2 llegamos a: El TIPO es 1 y la cte. de velocidad es: Kv = lim s DG(s) = KkI s 0

55 Segundo ejemplo - 55 Planta Controlador ¿Qué tipo de sistema es?
kP+kDs Y R U E - K s(t1s+1)(t2s+1) PD ¿Qué tipo de sistema es? Rta: Probamos ordenadamente con R=1/s, R=1/s2, R=1/s3, etc. s(t1s+1)(t2s+1)+K(kP+kDs) ess = lim s 0 = 0 s(t1s+1)(t2s+1) Con R=1/s llegamos a: s(t1s+1)(t2s+1)+K(kP+kDs) ess = lim s 0 = (t1s+1)(t2s+1) 1 Kkp Y con R=1/s2 llegamos a: El TIPO es 1 y la cte. de velocidad es: Kv = lim s DG(s) = Kkp s 0

56 Tercer ejemplo - Cuarto ejemplo 56 Planta ¿Qué tipo de sistema es?
Controlador Planta Y R U E - K s(t1s+1) skP+kI s PI ¿Qué tipo de sistema es? Es de tipo 2. Probarlo. Cuarto ejemplo Control de orientación de un satélite con un controlador PID ¿Qué tipo de sistema es? Es de tipo 3. Probarlo.

57 w - Tipo de Sistema para las Perturbaciones D(s) G(s) Y = - E = S GW =
57 Tipo de Sistema para las Perturbaciones W Planta D(s) Y R U E’ - G(s) V + Controlador E(s) V(w) R(w) T =1-S =Go w Ganancia frecuencial (Módulos de las Transformadas de Fourier) Y(w) SG W G W(w) S 1 Si R=V=0, queda: G(s) 1+D(s)G(s) W(s) = G(s) 1+D(s)G(s) 1 sk+1 Y = - E = S GW = s s 0 G(s) 1+D(s)G(s) 1 sk+1 = sk y () = lim yss= lim =cte0 Sistema de tipo k para el rechazo a las perturbaciones

58 Ejemplos de SC con dos entradas
58 Ejemplos de SC con dos entradas kP+kDs Y U E - K s(t1s+1)(t2s+1) W R Planta Controlador PD ¿Qué tipo de sistema es respecto a perturbaciones de planta w(t)? Rta: Probamos ordenadamente con W=1/s, W=1/s2, W=1/s3, etc. s(t1s+1)(t2s+1)+K(kP+kDs) yss = lim s 0 = K 1 kP Con W=1/s llegamos a: El TIPO es 0 y la cte. de posición es: KP = lim D(s) = kP s 0 Este ejemplo es el caso del Servomotor con un controlador P o PD ! A la entrada R, el sistema es de tipo 1, y a la entrada W, es de tipo 0

59 Otro ejemplo de SC con disturbio
59 Otro ejemplo de SC con disturbio kP+kI/s Y U E - K (t1s+1)(t2s+1) W Planta Controlador PI ¿Qué tipo de sistema es? Rta: Probamos ordenadamente con W=1/s, W=1/s2, W=1/s3, etc. s(t1s+1)(t2s+1)+K(kI+kPs) yss = lim s 0 = 0 s K Con W=1/s llegamos a: s(t1s+1)(t2s+1)+K(kI+kPs) yss = lim s 0 = K 1 kI Y con W=1/s2 llegamos a: El TIPO es 1 para W(s) y la cte. de velocidad es: Kv = lim sD(s)= kI s 0 y de TIPO 1 para la entrada R(s) y la cte. de velocidad es: Kv=KkI

60 Ejemplo: Satélite con disturbio de orientación
60 Ejemplo: Satélite con disturbio de orientación Controlador Satélite/orientación kP+kDs Y U E - K s2 W (carga de viento solar) PD 1+D(s)G(s) Y = - E = S G W = = G(s) W(s) K s2+KkDs+KkP Para W(s)=1/s : yss=y()=1/kP Sistema TIPO 0 para W(s) Y la constante de error de posición es: KP = lim D(s) = kP s 0 Para una entrada de referencia R, el sistema es de TIPO 2 (probar!) Sin embargo, este sistema de control es inestable para todo kP y kD

61 Ejemplo: Satélite – Control PID de orientación
61 Ejemplo: Satélite – Control PID de orientación Controlador Satélite/orientación kP+kDs+kI/s Y U E - K s2 W PID Y = - E = S GW = = G(s) 1+D(s)G(s) W(s) sK s3+KkDs2+KkPs+kI Para W(s)=1/s2 : yss=y()=1/kI Sistema TIPO 1 para W(s) Y la constante de error de posición es: Kv = lim s D(s) = kI s 0 En cambio para la entrada R el sistema de control es de grado 3

62 Esta forma de cálculo se denomina Fórmula de Truxal
62 Formula de Truxal: Sistemas TIPO UNO La mayoría de los sistemas de control son de tipo 1. La razón de esto yace en el deseo de que la performance de los sistemas de control tengan ess cero a una r(t) escalonada Además ésta es una propiedad robusta, es decir, por más que varíen los parámetros de la planta, el TIPO es invariante Existe una forma de hallar el error de estado estacionario rápida- mente si se conocen los polos y ceros de la FTLC: DG/(1+DG), es decir, si se quiere que por diseño estos sean de un valor particular Lo mismo vale para el ess en el rechazo a una perturbación en sistemas de tipo 1, es decir, si se conocen los polos y ceros de: G/(1+DG), es posible calcular rápidamente este error. Esta forma de cálculo se denomina Fórmula de Truxal

63 Fórmula de Truxal 63 - lim - lim (s-p1) (s-p2)…(s-pn) = Tlc(s) =
1+DG DG K (s-z1)…(s-zm) (s-p1) (s-p2)…(s-pn) = Tlc(s) = La FTLC es: 1+DG DG 1 - 1 s2 E(s) = = El error e(t) a una r(t) rampa: Si se asume el TIPO 1 y esto implica Tlc(0)=1, pues r()-y()=0, dTcl = - lim s 0 ds 1 Kv = ess= lim s(1-Tcl)/s2 s 0 = lim (1-Tcl)/s s 0 = Regla de L´Hospital s 0 dTcl ds - lim 1 Tcl ess= Como Tcl(0)=1, entonces vale: = - lim s 0 ds ess d ln Tcl = - lim s 0 ds d ln K (s-z1)…(s-zm) (s-p1) (s-p2)…(s-pn) = 1 Kv

64  -  Fórmula de Truxal 64 d ess = - lim ln = ds d
K (s-z1)…(s-zm) (s-p1) (s-p2)…(s-pn) = ess = - lim s 0 ds d K + ln (s-zi) -  ln (s-pi) = m n ess = - s=0 ds d lnTcl(s) = m n   1 zi pi = 1 Kv Para un sistema de control, los pi son estables, por lo que su parte real es negativa. Si los ceros son estables, KV será tanto más grande (más precisión) si ambos grupos de polos y ceros tienen sumas inversas similares

65 Diseño con la Fórmula de Truxal
65 Diseño con la Fórmula de Truxal Supongamos el siguiente sistema de control PI (s+3) (s+1) 2 R Controlador Planta (s+2) / s Y U E - s jw Polo Planta El sistema es de tipo 1 respecto a r(t) Se quiere que el sistema posea una constante de error de velocidad Kv=10 Polo de lazo cerrado Polo PI Cero PI Si se calcula la Kv del actual lazo, se desprende : Kv=lim [(s+2) (2/(s+3)(s+1)] =1,33 s 0 Para ello se propone relocalizar el cero del PI

66 Diseño con la Fórmula de Truxal
66 Diseño con la Fórmula de Truxal El cero que se relocaliza varía también los polos del sistema de lazo cerrado, por lo que hay que verificar la performance resultante La función de transferencia de lazo cerrado tiene 3 polos: p1 = p2 = i p3 = i El cero se provee desde el controlador PI. Este adapta el seguimiento de una rampa con un menor error de velocidad. s jw Cero PI Polo FTLC z

67 Diseño con la Fórmula de Truxal
67 Diseño con la Fórmula de Truxal Se emplea la Formula de Truxal para sintonizar este cero: 1 Kv = - i 1 - = 0.1 i + z s jw Polo del PI Cero FTLC Polo FTLC z Resultado: Cero del PI: z =

68 Diseño con la Fórmula de Truxal
68 Diseño con la Fórmula de Truxal 10 20 30 40 1 Kv 1 Kv ess= (sistema sin cero adicional) ess= (sistema con cero adicional) Sistema sin cero t Sistema con cero

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70 Ejemplos de diseño con las Reglas de
70 Ejemplos de diseño con las Reglas de Ziegler-Nichols 2 4 6 8 10 12 14 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 A=1.5 R=A/=0.384 RL=0.577 PID según Ziegler-Nichols: kp = 1.2/RL = 0.866 TD= 0.5 L = 0.750 Ti = 2L = 3.000 =3.9 L=1.5