Fundamentos de Control

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1 Fundamentos de Control
Realimentado Clase 11 a 14 - Versión Autor: Mario A. Jordán NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR, 2do. Cuatrimestre Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Este es un Power Point Show realizado en Power Point Professional Plus 2007

2 Diseños de Sistemas de Control
2 Diseños de Sistemas de Control Contenido Estructura y dinámicas de controladores PID Reglas de diseño de Ziegler-Nichols Propiedades de un SC en estado estacionario Tipo de sistema Regla de Truxal

3 Estructura de un controlador PID
3 Estructura de un controlador PID Controlador PID Controlador e y r u - Ccl(s) = U(s) / E(s) kP e(t) + kD e(t) dt de dt kI  t kP + kD s + kI 1 s Ccl(s) = = kp (1+ TD s ) 1 s TI kD kP TD = kP kI TI = Forma industrial

4 Estructura de un controlador PID
A veces es útil en diseños analíticos expresar la Función de Transferencia del controlador factoreada: kP (TD TI s2 + TI s + 1) kP(s-z1)(s-z2) Ccl(s) = = TI s TI s kP (s+(TI- TI2-4TDTI )/2TITD) (s+(TI+ TI2-4TDTI )/2TITD) = TIs s x z1 z2 Configuración USUAL de polos y ceros de un PID p=0

5 Ceros de un PDI con modificación de TD
5 Ceros de un PDI con modificación de TD Sean las expresiones analíticas del polo y de los ceros: -TI - TI2-4TDTI 2TITD z1 = -TI + TI2-4TDTI 2TITD z2 = p = 0 TI=3, TD : variable s  TD z1= 0 z2= 0 x Derivador puro

6 Ceros de un PDI con modificación de TI
6 Ceros de un PDI con modificación de TI Sean las expresiones analíticas del polo y de los ceros: -TI - TI2-4TDTI 2TITD z1 = -TI + TI2-4TDTI 2TITD z2 = p = 0 TD=2, TI : variable s  TI z2= -1/TD z1= 0 x Controlador PD

7 Ubicación válida de ceros en un PDI
7 Ubicación válida de ceros en un PDI Los ceros de un PID son en general reales negativos Para un Ti muy chico, o para un TD muy grande, los ceros del PID pueden ser complejos Vemos de las expresiones: -TI - TI2-4TDTI 2TITD z1 = -TI + TI2-4TDTI 2TITD z2 = que para TD=TI /4, los dos ceros son dobles, reales y negativos, y que sólo para TITD<0, al menos un cero es inestable. Este caso no puede darse pues en general TI>0 y TD>0. Para TI= el controlador PID se convierte en un controlador PD con ceros en z2=0 y z2=-1/TD Para TD= el controlador PID se convierte en un derivador puro.

8 Dinámica de un Controlador PID
8 Dinámica de un Controlador PID kp=3, kd=1, ki=6.25 -1.52j s x kp=11, kd=1, ki=10 -1; -10 s x 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -4 -2 2 4 6 8 12 14 16 time e(t) vs. u(t) e(t) = t 1(t) -1.5; -1.5 s x kp=3, kd=1, ki=2.25 kp=3,1 kd=1, ki=2 -1; -2 s x Respuesta súbita pues el PID tiene más ceros que polos kP + kD s + kI 1 s Ccl(s) =

9 Dinámica de un controlador PD
9 Dinámica de un controlador PD C(s) = kp (1+ TD s) 5 10 15 20 25 -4 -2 2 4 6 8 12 14 16 u(t) vs. e(t) e(t) = t 1(t) u(t) TD Término Proporcional: t 1(t) Término derivativo: TD 1(t) TD

10 Propiedades de un Controlador PD
10 Propiedades de un Controlador PD G(s) D (s) = kP + kD s Y(s) R(s) U(s) E(s) - Sea D(s) que tiene un cero y la planta con n-m > 0 (Grado relativo +) Aplicando el Teorema del Valor Inicial: s R(s) = lim s  D(s) 1+D(s)G(s) u(0) = lim s D(s) (R(s) -Y(s)) = s  lim s  s /s =  D(s) 1+D(s)G(s) ya que G(s) tiene al menos un polo ! Es decir, con una entrada r(t) escalonada, el PD reacciona con un valor inicial infinitamente grande que provoca la saturación de sus actuadores.

11 Alternativa de un Controlador PD
11 Alternativa de un Controlador PD Una alternativa de diseño PD salva este problema indeseado: G(s) Y(s) R(s) E(s) - D (s) = kP + kD s U(s) Aplicando el Teorema del Valor Inicial: u(0) = lim s D(s) Y(s) = s  s lim D(s)G(s) 1+D(s)G(s) R(s) = s lim s  D(s)G(s) 1+D(s)G(s) 1/s = = 0 si n-m>0 cte< si n-m=0 Gcl(s)= G(s) 1+D(s)G(s) Con n  m, el valor inicial de u(t) es finito. La FT es:

12 Especificaciones temporales para el diseño de PID’s
12 Especificaciones temporales para el diseño de PID’s Si una planta de alto orden posee un par de polos complejos marcadamente dominante frente al resto de sus polos entonces puede aproximarse por un sistema oscilante de 2do. orden y se aplica la información de sus polos complejos solamente (estos diseños se ampliarán en el más adelante): 1 Tiempo de subida tr tr = 1.8 wn (para =0.5 o sea q=30°) 2’ Pico inverso Mpi 2 Sobrepico Mp Mpi dh(t) dt = 0 Mp = e-pz / 1-z2 = e-ps 3 Tiempo de sobrepico tp 3’ Tiempo de pico inverso tpi tp = p wd tpi h(tpi) = Mpi 4 Tiempo de establecimiento ts (para ±1% de tolerancia) ts = 4.6 s (1%)

13 Diseño de PID’s en el plano complejo
13 Diseño de PID’s en el plano complejo jw s Los polos dominantes de la planta controlada se adentran en la región de buena performance Polo Planta Ceros PID Polo PID Cero Planta Polo Planta

14 FT de un SLC con controlador PID
14 FT de un SLC con controlador PID Sea una planta: Kt G(s) = La ecuación característica del sistema con un PID es: Se observa que los 3 coeficientes nuevos son modificables ! Se deben usar métodos de diseño avanzados para definir kP, kD y kI acorde a especificaciones temporales. Si el sistema planta tiene un par de polos complejos dominantes valen las anteriores especificaciones para dicha aproximación !

15 A e-sL ts+1 t PRIMER DISEÑO DE UN PID:
15 PRIMER DISEÑO DE UN PID: Reglas de Ziegler-Nichols para Curva de Reacción Sea un Controlador PID: tiempo y(t), u(t) y(t) A t L Pendiente R=A/ r(t) 1 Planta: G(s)  A e-sL ts+1

16 Curva de Reacción - Ejemplo
16 Curva de Reacción - Ejemplo Sea la siguiente curva de reacción de un Intercambiador de Calor, la cual fue medida en un experimento excitando a la planta con 1(t) 50 13 s t=90 s Buscamos un punto de inflexión y trazamos la línea tangente hasta cortar el eje de tiempo R= A/t =1/90 L= 13 Planta: G(s)  e-13s 1+ 90s Nos fijamos en el periodo de tiempo desde el tiempo cero hasta el tiempo de corte Luego buscamos una constante de tiempo equivalente a un sistema de primer orden

17 Diseño de Controladores P-PI-PID según Ziegler-Nichols
17 Diseño de Controladores P-PI-PID según Ziegler-Nichols Para un Controlador P, la regla de ZN dice: kp = 1/RL = 6.92 Para un Controlador PI, la regla de ZN dice: kp = 0.9/RL = Ti = L/0.3 = 43.3 Para un Controlador PID, la regla de ZN dice: kp = 1.2/RL = TD= 0.5 L = Ti = 2L = 26

18 Notas sobre las Reglas de Ziegler-Nichols
18 Notas sobre las Reglas de Ziegler-Nichols No es necesario estimar a la planta, se mide su respuesta al escalón únicamente Por ello la FT del sistema es desconocida. Aunque sí se puede obtener una estimación del modelo a través de su curva de reacción La familia de plantas válidas a las que se les aplican las Reglas de Z-N son en general todas las que tienen sólo polos reales negativos, sin importar cuan alto sea su orden de la ODE Quedan excluidos de la aplicación los sistemas oscilantes subamortiguados, los que poseen sobrepico debido a ceros, los inestables y los de fases no-mínima La configuración de polos y ceros del modelo posee una función exponencial e-sLt que no es racional, y es de orden infinito. Se la puede aproximar por Circuitos de Padé de orden finito.

19 Planta con Circ. de Pade’s de distintos órdenes
19 Planta con Circ. de Pade’s de distintos órdenes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -0.2 1.2 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 -0.15 -0.1 -0.05 0.05 0.1 0.15 0.25 0.3 0.35 Respuesta original Padé con distintos órdenes L =1 s  =1 s Respuestas de Padé con órdenes 1, 2, 3, 8 y 15 2 Planta: G(s)  e-sL ts+1 3 8 16 zoom original L =1 s  =1 s 1

20 Planta Aproximada con Controlador P
20 Planta Aproximada con Controlador P jw s -0.011 -1/t : Polos de lazo cerrado kp1 >kp2 >kp3 >kp * >kp4  i  i kp  - Polo conjugado de Padé Cero Conjugado de Padé FT de LA del sistema de con un P: con: Aproximante de Padé de 2o orden DcG(s)  A kPe-sL ts+1+kP e-sL  1 - Ls/2 + (Ls)2/12 1 + Ls/2 + (Ls)2/12

21 Performance del Sistema de Control P
21 Performance del Sistema de Control P 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 tiempo 1.8 2.0 Sea: kp=11.5 * kp=6 kp=6.92 kp=8 kp=9 kP Y(s) R(s) U E - Curva de Reacción salida controlada P referencia escalón ess Con ayuda de Simulink se puede simular numéricamente una planta con una FT dada por su aproximación de la Curva de Reacción y un retardo puro exacto (sin aproximar por Padé). con kp Mp con kp ess Pero ess no es cero! A menos que kp sea crítico

22 Planta Aproximada y Controlador PI
22 Planta Aproximada y Controlador PI -1/t jw s : Polos de lazo cerrado Ti=10 kp  - -1/TI FT de LA del sistema de control PI: Aproximante de Padé de 2o orden: DCG(s)  kp(Ti s + kp) A e-sL (tTi s2 + Ti s) e-sL  1 - Ls/2 + (Ls)2/12 1 + Ls/2 + (Ls)2/12 con:

23 - kP(1+s/TI) 23 Performance del Sistema de Control PI Y(s) R(s) U E
tiempo 160 20 40 60 80 100 120 140 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 Sea: kp y TI originales kp/2 kp*2 TI/2 TI*2 kP(1+s/TI) Y(s) R(s) U E - Curva de Reacción Mp con kp y con Ti (y viceversa) ess = 0 siempre

24 Fenómeno de Wind-Up en SC PI o PID
24 Fenómeno de Wind-Up en SC PI o PID Origen del fenómeno de Wind-Up Máximo tiempo e(t) uI(t) Umax(t) Máximo t e(t) dt  1 TI mayor retraso correctivo retraso correctivo Cruce por cero Cruce por cero

25 Corrección Anti-Wind-Up en SC PI o PID
25 Corrección Anti-Wind-Up en SC PI o PID Polo s=0 Para kI muy alto, la acción integral puede crecer desmesuradamente, tal que cuando se produce un cambio de signo del error, la integral tarda un tiempo largo en cambiar su signo. Esta situación demora la acción correctiva del error. Esta situación se acentúa cuando existe una saturación de la acción de control.

26 Fenómeno de Wind-Up en SC PI o PID
26 Fenómeno de Wind-Up en SC PI o PID 1er Método Anti Wind-Up Cuando existe saturación, cambia la ganancia en la realimentación de cero a Ka GI= s + kI Ka kI Polo s = -kI Ka Es decir, para uI baja se reduce el valor de la integral del error segun kI /s. Si este valor supera umax se crea una “fuga” en la integral para reducir la acumulación del error.

27 Fenómeno de anti Wind-Up en SC PI o PID
27 Fenómeno de anti Wind-Up en SC PI o PID Alternativa para implementación del Método Anti Wind-Up Cuando SI existe saturación: u Cuando NO existe saturación: Ka (u-u)=0 jw s PI c/AWU PI s/AWU GI= s kp s + kI -kI / kP -Ka kI

28 - Diseño de un Controlador PID con Método de la Sensitividad Límite 28
Son Reglas alternativas a las de Zigler-Nichols, sin embargo en lugar de Curva de Reacción, se ejecuta el diseño de un PID (PI o P) mediante un experimento que consiste en llevar la planta controlada a su límite de estabilidad Sea un sistema de control PID a diseñar: G(s) D (s) = kP + kD s + kI 1 s Y(s) R(s) U E - Y sea la planta: G(s)= K (s+1)4 Planta típica de un proceso de alto orden

29 - Diseño de un Controlador PID con Método de la Sensitividad Límite kP
29 Diseño de un Controlador PID con Método de la Sensitividad Límite Se monta un controlador proporcional en un lazo de control con la planta verdadera kP Y(s) R(s) U E - G(s) Se adopta una r(t) acotada de baja energía: puede ser un tren de pulsos, por ejemplo, de amplitud max r(t) = 5% max y(t) permitida Se comienza a subir la ganancia kp suavemente, por ejemplo en forma escalonada con un periodo por escalón mayor al tiempo de establecimiento ts de la planta Cuando la escalera de kp(t) llega a un valor para el cual la salida y(t) oscila en forma permanente (sistema neutro), el proceso se detiene.

30 Sintonización de un Controlador PID
30 Sintonización de un Controlador PID Salida de la planta controlada proporcionalmente 5 10 15 20 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 kp=ku=4 Ganancia crítica Pu= 6.35 Periodo de oscilación Planta: G(s)= K (s+1)4 Controlador P: ku = 4

31 Sintonización de un Controlador PID
31 Sintonización de un Controlador PID Con dichos parámetros (ku y Pu) se aplican las siguiente reglas: 5 10 15 20 25 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Respuestas de la planta controlada ess jw s -1 -0.19 PI jw s -1 P jw s -1 -0.67 -0.59 PID Finalmente, analizamos tr, tp, Mp, ts y luego ess Si no son los deseados, resintonizamos manualmente kp=0.6 ku= 2.4 TI=0.5 Pu= 3.175 TD=1/8 Pu= 0.79 kp=0.5 ku= 2.0 kp=0.45 ku=1.8 TI=Pu/1.2= 5.29

32 Ejemplo de Aplicación del Método
32 Sea el siguiente sistema dinámico (planta o proceso): G(s)= 2/(s3+6s2+9s+3) y un controlador proporcional de ganancia kp. La FT de LC es: T(s)=2kp/(s3+6s2+9s+2 kp +3) La ecuación característica es: s3+6s2+9s+2 kp +3=0 Por Criterio de Routh se tiene: s s kp +3 s (6*9-(2 kp +3)/ s kp Estabilidad: entonces sabemos que la ganancia cumple: 25.5 > kp > -1.5 con 2 ganancias críticas en los límites del intervalo

33 Ejemplos de Aplicación con Matlab
33 Asumamos desconocer las ganancias críticas y que solo nos interesa una ku positiva acción de control u 2 den(s) FT de la Planta Fcn y Registro Y kp Registro K Saturación Salida y 1 s Integrador Generator de pulsos Ganancia kp Controlador P escalón Supongamos que no tenemos un modelo de la planta, sólo la planta real a disposición. Aplicamos el Método de Sensitividad Diagrama en Simulink

34 Ejemplos de Aplicación con Matlab
34 Ejemplos de Aplicación con Matlab Incremento escalonado de la Ganancia kp ku Zoom de la Ganancia kp cerca de su valor crítico ku

35 Ejemplos de Aplicación con Matlab
35 Ejemplos de Aplicación con Matlab Zoom de la evolución del sistema dinámico Evolución de la salida controlada y(t) del sistema dinámico ante una ganancia variable Nivelde la evolución temporal donde se observa una oscilación automantenida

36 Ejemplos de Aplicación con Matlab
36 Ejemplos de Aplicación con Matlab ku=25.5 Pu=2

37 Propiedades de un Sistema de Control en Estado Estacionario
37 FCR Mario Jordán Propiedades de un Sistema de Control en Estado Estacionario

38 Propiedades de Estado Estacionario (ss)
38 Propiedades de Estado Estacionario (ss) Hy sale como 1/Hy afuera del lazo. Se supone luego Hr1=Hr / Hy. Y en el camino directo se une al controlador como Dcl Hy=D. Nos queda entonces:

39 Propiedades de Estado Estacionario (ss)
39 Propiedades de Estado Estacionario (ss) E’ U Como E = R – Y, queda:

40 Propiedades de Estado Estacionario (ss)
40 Propiedades de Estado Estacionario (ss) E(s) S = Función de Sensitividad T =1 - S = Función de Sensitividad Complementaria E = S R - S G W + T V S + T = 1 E = S R -S G W + (1- S ) V

41 T =1-S =Go S w Propiedades de Estado Estacionario (ss) S + T = 1
41 Propiedades de Estado Estacionario (ss) S + T = 1 Notar que: T = Go= DG / (1 + DG) (FT de LC) E = S R - S G W + (1 - S) V w Ganancia frecuencial (Función de Transferencia de Fourier) R(w) 1 T =1-S =Go S V(w) G/(1+DG)W W(w) Excelente performance y buen rechazo al ruido y a las perturbaciones !

42 Tipo de Sistema de Control
42 FCR Mario Jordán Tipo de Sistema de Control

43 . Error de Estado Estacionario (ess) 43 t2 1(t) t3 1(t) r(t) t 1(t)
Por Teorema del Valor Final, e(t) toma un valor asintótico a una constante a medida que transcurre el tiempo: ess = e () = lim s s 0 1 1+D(s)G(s) R(s) Ahora bien, R(s) puede ser un escalón, o una rampa, o una señal cuadrática, etc., y en general un polinomio de grado t k t3 1(t) t2 1(t) t 1(t) t r(t) Escalón R(s)=1/s 1(t) Rampa R(s)=1/s2 Parábola R(s)=1/s3 . Polinom. t k R(s)=1/sk+1

44 Tipo de Sistema - Definición
44 Tipo de Sistema - Definición Se define TIPO DE SISTEMA al grado del polinomio necesario de la señal r(t) para que el ess sea finito y distinto de cero. Supongamos una familia de señales r=t 0=1, r=t1=t, r=t 2, … Sea por ejemplo un sistema tal que con una: Señal escalón s 1 1+D(s)G(s) = 1+D(0)G(0) 1+Kp  0 y < (>- ) e () = lim ess= s 0 Kp es finita 1 s s 0 1+D(s)G(s) s2 = =  e () = lim ess= lim 1+Kp Señal rampa s s 0 1 1+D(s)G(s) s3 = 1+Kp =  s2 e () = lim ess= lim Señal parabólica Entonces este sistema es de TIPO CERO

45 45 Tipo de Sistema Contemplemos otro conjunto planta y controlador DG(s) tal que: Para una familia de señales r=1, r=t, r=t 2, … se cumple lo que sigue: Sea por ejemplo un sistema tal que con una: e () = lim s s 0 1 1+D(s)G(s) =  = 0 ess= Señal escalón D(0)G(0) es infinito e () = lim s s 0 1 1+D(s)G(s) s2 = Kv  0 y < (>- ) ess= Señal rampa 0 D(0)G(0)=Kv es finito e () = lim s s 0 1 1+D(s)G(s) s3 = Kv =  ess= lim Señal parabólica Entonces este sistema es de TIPO UNO

46 Tipo de Sistema 46 Señal escalón Señal rampa Señal parabólica
Contemplemos otro conjunto planta y controlador DG(s) tal que: Para una familia e señales r=1, r=t, r=t 2, … se cumple lo que sigue. Sea por ejemplo un sistema tal que con una: 1 s s 0 1+D(s)G(s) =  = 0 e () = lim ess= Señal escalón D(0)G(0) es infinito s s 0 1 1+D(s)G(s) s2 =  = 0 e () = lim ess= Señal rampa 0 D(0)G(0) es infinito Señal parabólica s s 0 1 1+D(s)G(s) s3 = Ka  0 y < (>- ) e () = lim ess= 02 D(0)G(0)=Ka es finito Entonces este sistema es de TIPO DOS

47 Resumen: Tipo de Sistema
47 Resumen: Tipo de Sistema Según las ecuaciones de ess para definir el tipo de sistema, resulta: Kp : cte. de error de posición Kv : cte. de error de velocidad Ka : cte. de error de aceleración

48 Ejemplos: Tipo de Sistema CERO
48 Ejemplos: Tipo de Sistema CERO 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 10 15 20 25 tiempo Respuesta a la parábola Respuesta a la rampa ess= ess= e(t) creciente ess=1/(1+Kp) e(t) creciente Respuesta al escalón unitario

49 Ejemplos: Tipo de Sistema UNO
49 Ejemplos: Tipo de Sistema UNO 5 10 15 20 25 30 tiempo ess=cte=1/Kv Respuesta a la rampa ess= Respuesta a la parábola e(t) creciente Semi-recta asintótica ess=0 Respuesta al escalón unitario

50 Ejemplos: Tipo de Sistema DOS
50 Ejemplos: Tipo de Sistema DOS 1 2 3 4 5 6 8 10 12 14 16 tiempo ess=cte=1/Ka Respuesta a la parábola Respuesta a la rampa ess=0 ess=0 Respuesta al escalón unitario

51 Resumen: Error de Estado Estacionario
51 Resumen: Error de Estado Estacionario S = E = S R = (1-T ) R donde: T =1 - S = Si R(s) es polinómica (constante 1(t), rampa t 1(t), parábola: t2 1(t), etc.) E(s) = s 1 1+D(s)G(s) R(s) = sk+1 s s 0 1 1+D(s)G(s) sk+1 = sk e () = lim ess= lim =cte0 Para un sistema tipo k, ocurre que: Para entradas r(t) de grado menor que k, la precisión es ideal, o sea ess=0

52 Primer ejemplo - 52 Controlador Planta ¿Qué tipo de sistema es?
Y R U E - K (t1s+1)(t2s+1) skP+kI s PI ¿Qué tipo de sistema es? Rta: Probamos ordenadamente con R=1/s, R=1/s2, R=1/s3, etc. s(t1s+1)(t2s+1)+K(kI+kPs) ess = lim s 0 = 0 s(t1s+1)(t2s+1) Con R=1/s llegamos a: s(t1s+1)(t2s+1)+K(kI+kPs) ess = lim s 0 = (t1s+1)(t2s+1) 1 KkI Y con R=1/s2 llegamos a: El TIPO es 1 y la cte. de velocidad es: Kv = lim s DG(s) = KkI s 0

53 Segundo ejemplo - 53 Planta Controlador ¿Qué tipo de sistema es?
kP+kDs Y R U E - K s(t1s+1)(t2s+1) PD ¿Qué tipo de sistema es? Rta: Probamos ordenadamente con R=1/s, R=1/s2, R=1/s3, etc. s(t1s+1)(t2s+1)+K(kP+kDs) ess = lim s 0 = 0 s(t1s+1)(t2s+1) Con R=1/s llegamos a: s(t1s+1)(t2s+1)+K(kP+kDs) ess = lim s 0 = (t1s+1)(t2s+1) 1 Kkp Y con R=1/s2 llegamos a: El TIPO es 1 y la cte. de velocidad es: Kv = lim s DG(s) = Kkp s 0

54 Tercer ejemplo - Cuarto ejemplo 54 Planta ¿Qué tipo de sistema es?
Controlador Planta Y R U E - K s(t1s+1) skP+kI s PI ¿Qué tipo de sistema es? Es de tipo 2. Probarlo. Cuarto ejemplo Control de orientación de un satélite con un controlador PI ¿Qué tipo de sistema es? Es de tipo 3. Probarlo.

55 w - Tipo de Sistema para las Perturbaciones D(s) G(s) Y = - E = S GW =
55 Tipo de Sistema para las Perturbaciones W Planta D(s) Y R U E - G(s) V + Controlador V(w) R(w) T =1-S =Go w Ganancia frecuencial (Función de Transferencia de Fourier) Y(w) SG W G W(w) S 1 E(s) G(s) 1+D(s)G(s) W(s) = G(s) 1+D(s)G(s) 1 sk+1 Y = - E = S GW = s s 0 G(s) 1+D(s)G(s) 1 sk+1 = sk y () = lim yss= lim =cte0 Sistema de tipo k para el rechazo a las perturbaciones

56 Ejemplos de SC con dos entradas
56 Ejemplos de SC con dos entradas kP+kDs Y U E - K s(t1s+1)(t2s+1) W R Planta Controlador PD ¿Qué tipo de sistema es respecto a perturbaciones de planta w(t)? Rta: Probamos ordenadamente con W=1/s, W=1/s2, W=1/s3, etc. s(t1s+1)(t2s+1)+K(kP+kDs) yss = lim s 0 = K 1 kP Con W=1/s llegamos a: El TIPO es 0 y la cte. de posición es: KP = lim D(s) = kP s 0 Este ejemplo es el caso del Servomotor con un controlador P o PD ! A la entrada R, el sistema es de tipo 1, y a la entrada W, es de tipo 0

57 Otro ejemplo de SC con disturbio
57 Otro ejemplo de SC con disturbio kP+kI/s Y U E - K (t1s+1)(t2s+1) W Planta Controlador PI ¿Qué tipo de sistema es? Rta: Probamos ordenadamente con W=1/s, W=1/s2, W=1/s3, etc. s(t1s+1)(t2s+1)+K(kI+kPs) yss = lim s 0 = 0 s K Con W=1/s llegamos a: s(t1s+1)(t2s+1)+K(kI+kPs) yss = lim s 0 = K 1 kI Y con W=1/s2 llegamos a: El TIPO es 1 y la cte. de velocidad es: Kv = lim s D(s) = kI s 0

58 Ejemplo: Satélite con disturbio de orientación
58 Ejemplo: Satélite con disturbio de orientación Controlador Satélite/orientación kP+kDs Y U E - K s2 W (carga de viento solar) PD Y = - E = S GW = = G(s) 1+D(s)G(s) W(s) K s2+KkDs+KkP Para W(s)=1/s : yss=y()=1/kP Sistema TIPO 0 para W(s) Y la constante de error de posición es: KP = lim D(s) = kP s 0 Para una entrada de referencia R, el sistema es de TIPO 2 (probar!)

59 Ejemplo: Satélite – Control PID de orientación
59 Ejemplo: Satélite – Control PID de orientación Controlador Satélite/orientación kP+kDs+kI/s Y U E - K s2 W PID Y = - E = S GW = = G(s) 1+D(s)G(s) W(s) sK s3+KkDs2+KkPs+kI Para W(s)=1/s2 : yss=y()=1/kI Sistema TIPO 1 para W(s) Y la constante de error de posición es: Kv = lim s D(s) = kI s 0

60 Esta forma de cálculo se denomina Fórmula de Truxal
60 Formula de Truxal: Sistemas TIPO UNO La mayoría de los sistemas de control son de tipo 1. La razón de esto yace en el deseo de que la performance de los sistemas de control tengan ess cero a una r(t) escalonada Además esta es una propiedad robusta, es decir, por más que varíen los parámetros de la planta el TIPO es invariante Existe una forma de hallar el error de estado estacionario rápida- mente si se conocen los polos y ceros de la FTLC: DG/(1+DG) Lo mismo vale para el ess en el rechazo a una perturbación, es decir, si se conocen los polos y ceros de: G/(1+DG), entonces es posible calcular rápidamente este error. Esta forma de cálculo se denomina Fórmula de Truxal

61 Fórmula de Truxal 61 - lim - lim (s-p1) (s-p2)…(s-pn) = Tlc(s) =
1+DG DG K (s-z1)…(s-zm) (s-p1) (s-p2)…(s-pn) = Tlc(s) = La FTLC es: 1+DG DG 1 - 1 s2 E(s) = = El error e(t) a una r(t) rampa: Si se asume el TIPO 1 y Tlc(0)=1: dTcl = - lim s 0 ds 1 Kv = ess= lim s(1-Tcl)/s2 s 0 = lim (1-Tcl)/s s 0 = Regla de L´Hospital s 0 dTcl ds - lim 1 Tcl ess= Como Tcl(0)=1, entonces vale: = - lim s 0 ds ess d ln Tcl = - lim s 0 ds d ln K (s-z1)…(s-zm) (s-p1) (s-p2)…(s-pn) = 1 Kv

62  -  Fórmula de Truxal 62 d ess = - lim ln = ds d
K (s-z1)…(s-zm) (s-p1) (s-p2)…(s-pn) = ess = - lim s 0 ds d K + ln (s-zi) -  ln (s-pi) = m n ess = - s=0 ds d lnTcl(s) = m n   1 zi pi = 1 Kv Para un sistema de control, los pi son estables, por lo que su parte real es negativa. Tanto para valores de pi como de zi altos, es decir que se posicionan más a la izquierda del eje imaginario, tanto más grande es Kv y viceversa.

63 Diseño con la Fórmula de Truxal
63 Diseño con la Fórmula de Truxal Supongamos el siguiente sistema de control PD: R Controlador Planta 1/ s Y U E - (s+3) (s+1) 2 R (s+z) s jw Polo Planta Polo Controlador El sistema es de tipo 1 respecto a r(t) Se quiere que el sistema posea una constante de error de velocidad Kv=10 Cero adicional z Si se calcula la Kv del actual lazo, se encuentra que es baja e igual a Kv=2/3 Se desea colocar un cero z en la FTLC que no altere el sistema de polos de LC

64 Diseño con la Fórmula de Truxal
64 Diseño con la Fórmula de Truxal El cero que se incorpora en el prefiltro no altera el diseño del controlador que ya fue sintonizado apropiadamente. La función de transferencia de lazo cerrado tiene 3 polos: p1 = p2 = i p3 = i El cero se provee desde el conformador de entrada. Este adapta el seguimiento de una rampa con un menor error de velocidad. s jw Cero conformador Polo FTLC z

65 Diseño con la Fórmula de Truxal
65 Diseño con la Fórmula de Truxal Se emplea la Formula de Truxal para sintonizar este cero: 1 Kv = - i 1 - = 0.1 i + z s jw Polo del PI Cero FTLC Polo FTLC z Resultado: Cero del conformador: z =

66 Diseño con la Fórmula de Truxal
66 Diseño con la Fórmula de Truxal 10 20 30 40 1 Kv 1 Kv ess= (sistema sin cero adicional) ess= (sistema con cero adicional) Sistema sin cero t Sistema con cero