INGENIERIA ELECTROMAGNETICA I David Romero Soto. Propiedades de las cargas eléctricas. Una de las fuerzas fundamentales de la naturaleza es la electromágnetica,

Presentación del tema: "INGENIERIA ELECTROMAGNETICA I David Romero Soto. Propiedades de las cargas eléctricas. Una de las fuerzas fundamentales de la naturaleza es la electromágnetica,"— Transcripción de la presentación:

1 INGENIERIA ELECTROMAGNETICA I David Romero Soto

2 Propiedades de las cargas eléctricas. Una de las fuerzas fundamentales de la naturaleza es la electromágnetica, la cual se da entre partículas con carga. Benjamín Franklin (1706-1790) determinó que existen dos tipos de cargas eléctricas, llamándolas positiva y negativa.Los protones tienen carga positiva y los electrones negativa. Si frotamos una varilla rígida de hule contra un trozo de piel y a la varilla se le acerca una varilla de vidrio que ha sido frotada con una seda ambas se atraen.Por otro lado, si se acercan dos varillas de hule cargadas o dos varillas de vidrio cargadas ambas se repelen. Queda claro que tanto las varillas de hule y de vidrio cada una tiene un tipo de carga,negativa y positiva respectivamente.

3 Concluimos que cargas del mismo signo se repelen y de signo opuesto se atraen. En electricidad, a partir de la observación experimental, es evidente que en un sistema aislado la carga eléctrica siempre se conserva. Es decir, cuando se frota un objeto contra otro no se crea carga en este proceso. El estado de electrificación se debe a una transferencia de carga de uno de los objetos hacia el otro.Uno adquiere parte de la carga negativa en tanto el otro adquiere la misma cantidad de carga positiva. Cuando una varilla de vidrio es frotada con seda se transfieren electrones del vidrio a la seda. Debido a la conservación de la carga cada electrón añade carga negativa a la seda y una cantidad igual de carga positiva queda en la varilla.

4 Cargas Inducidas Los conductores eléctricos son aquellos materiales en los cuales algunos de los electrones son libres, no están unidos a los átomos y pueden moverse con libertad a través del material.Los aislantes eléctricos son aquellos materiales en los cuales todos los electrones están unidos a los átomos y no pueden moverse libremente a través del material. Existen otra clase de materiales llamados semiconductores cuyas propiedades eléctricas se ubican entre las de los conductores y aislantes. En la figura 1 vemos una esfera conductora neutra aislada de la tierra con una cantidad igual de electrones y protones, ya que la carga neta de la esfera es igual a cero. En la figura 2 observamos que a la esfera se le acerca una varilla de hule con carga negativa, los electrones cercanos a la varilla son repelidos hacia el lado opuesto de la esfera;lo que origina que la región de la esfera cercana a la varilla se quede con carga positiva al disminuir el número de electrones.No es necesario que la varilla toque a la esfera.

5 Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4Figura 5 Carga de un objeto metálico mediante inducción esfera Varilla de hule

6 En la figura 3 vemos que algunos electrones,debido a la repulsión originada por la varilla de hule,son repelidos tan fuertemente que salen de la esfera a través del conductor hacia tierra. En la figura 4 el alambre conductor a tierra se retira y la esfera queda con un exceso de carga positiva inducida. En la figura 5 la varilla de hule se aleja de la esfera y la carga inducida se queda en la esfera desconectada de tierra.Durante todo el proceso la carga negativa de la varilla de hule no se pierde. Para cargar un objeto por inducción no es necesario que tenga contacto con el objeto que induce la carga, a diferencia de cuando un objeto se carga por frotamiento (conducción) en donde si requiere el contacto entre ambos objetos. Un proceso similar a la inducción en los conductores se presenta en los materiales aislantes. Preguntas : 1)Explicar la carga por inducción en los materiales aislantes. 2)Explicar y construir un generador elemental Van de Graff

7 LEY DE COULOMB Charles Coulomb (1736-1806) midió las magnitudes de las fuerzas eléctricas entre objetos con carga. A partir de los experimentos de Coulomb se establecen las características de las fuerzas eléctricas entre dos partículas inmóviles con carga.Por lo cual se usa el término carga puntual que define una carga eléctrica con tamaño tendiendo a cero. Los electrones y protones representan muy bien la descripción de carga puntual. Debido a observaciones experimentales hallamos la magnitud de la fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales, llamada la Ley de Coulomb. (constante de Coulomb) (permitividad del vacio) Se considera que la carga más pequeña e conocida en la naturaleza es la carga de un electrón (-e) o de un protón (+e), con una magnitud de : (Ecu.1)

8 Tabla 1. Carga y masa de electrones,protones y neutrones. Partícula Carga(C) Masa (Kg) Electrón (e) Protón (p) Neutrón (n) 0 Forma vectorial de la Ley de Coulomb. La ley de Coulomb expresada en forma vectorial para una fuerza eléctrica ejercida por una carga sobre una segunda carga es es un vector unitario dirigido de a (Ecu.2)

9 r Figura 6. Por la tercera Ley de Newton la fuerza ejercida por sobre es igual en magnitud pero en sentido opuesto a la fuerza ejercida por sobre ; es decir. Un producto negativo de y indica que se trata de una fuerza de atracción.Un producto positivo indica que se trata de una fuerza de repulsión. Cuando hay más de dos cargas presentes la fuerza vectorial sobre cualquier carga es igual a la suma vectorial de las fuerzas ejercidas por las otras cargas individuales. Por ejemplo si están presentes cuatro cargas, la fuerza resultante ejercida por las partículas 2,3 y 4 sobre la partícula 1 será : (Ecu.3)

10 EL CAMPO ELECTRICO El concepto de campo fue desarrollado por Michael Faraday (1791-1867) en relación con las fuerzas eléctricas.Existe un campo eléctrico en la región del espacio que rodea a un objeto con carga,llamado carga fuente; cuando otro objeto con carga, la carga de prueba, entra en este campo eléctrico una fuerza eléctrica actúa sobre él. + Carga fuente Q positiva Carga de prueba positiva Q P Figura 7. En la figura 7. Q es mucho mayor que. El campo eléctrico provocado por la carga fuente en la carga de prueba se define como la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba por carga unitaria. El vector del campo eléctrico en un punto del espacio se define como la fuerza eléctrica que actúa sobre una carga de prueba positiva colocada en ese punto, dividida entre la carga de prueba : (N/C) (Ecu.4)

11 El campo eléctrico es el campo producido por una carga o distribución de carga separada de la carga de prueba.La existencia del campo eléctrico es una propiedad de la carga fuente, la presencia de la carga de prueba no es necesaria para que el campo eléctrico exista. La carga de prueba sólo existe como detector del campo eléctrico. En la figura 7 observamos que ante una carga de prueba positiva la dirección del campo es la misma dirección de la fuerza eléctrica que experimenta la carga de prueba; por lo tanto existe un campo eléctrico en un punto si una carga de prueba en dicho punto experimenta una fuerza eléctrica. La ecuación 4 supone que la carga de prueba es muy pequeña comparada a la carga fuente para no perturbar la distribución de carga responsable del campo eléctrico. Para determinar la dirección que tiene un campo eléctrico,considerar una carga puntual q como fuente.Esta carga produce un campo eléctrico en todos los puntos del espacio que la rodea.En el punto P a una distancia r de la carga fuente se coloca una carga de prueba positiva (fig.8). Según la ley de Coulomb:

12 + q r P q + r Figura 8. En la fig. 8 es un vector unitario con dirección de q hacia donde la se aleja de la carga fuente y en el punto P, que es la posición de la carga de prueba, el campo eléctrico queda definido por El campo eléctrico en el punto P independiente de la carga de prueba es (Ecu. 5) Si la carga q es negativa la fuerza sobre la carga de prueba está dirigida hacia la carga fuente y el campo eléctrico también tendrá la misma dirección. El campo eléctrico total en un punto P debido a un grupo de cargas fuentes es igual a la suma vectorial de los campos eléctricos de todas las cargas. (Ecu. 6)

13 Campo eléctrico de una distribución de carga continua. Cuando existe un conjunto de cargas eléctricas donde la distancia entre ellas es mucho menor que la distancia del conjunto al punto donde se desea calcular el campo eléctrico; el sistema de cargas se modela como si fuera continuo.Es decir el sistema de cargas es equivalente a una carga total que es distribuida en forma continua a lo largo de una línea,superficie o volumen de carga. Para evaluar el campo eléctrico producido por una distribución de carga continua divida la distribución de cargas en pequeños elementos,cada uno con una pequeña carga dq, después aplicar la ecuación 5 para calcular el campo eléctrico debido a uno de estos elementos en el punto P. El campo eléctrico total en P debido a todos los elementos de la distribución de carga es (Ecu. 7). Figura. 9

14 Densidad de carga. 1) Si una carga Q tiene una distribución uniforme en un volumen V, la densidad de carga volumétrica se define como donde está en Coulombs por metro cúbico (Ecu. 8) 2) Si una carga Q tiene una distribución uniforme sobre una superficie de Área S, la densidad de carga superficial se define : (Ecu. 9) 3) Si una carga Q tiene una distribución uniforme a lo largo de una línea de longitud L, la densidad de carga lineal se define : (Ecu. 10) 4) Si la carga no tiene distribución uniforme en un volumen,superficie o línea, las cantidades de carga dq en un elemento pequeño de volumen,superficie o longitud son: dq= dvdq= dsdq= dL (Ecu. 11)

15 Líneas de campo eléctrico. Los patrones de los campos eléctricos se visualizan con las líneas de campos eléctricos (establecidas por Michael FARADAY). El vector del campo eléctrico es tangente a la línea del campo eléctrico en cada punto. La dirección de la línea indicada por la flecha es igual al vector del campo eléctrico. La dirección de la línea es la fuerza sobre una carga de prueba positiva colocada en el campo. El número de líneas por unidad de área que pasan a través de una superficie perpendicular a dichas líneas es proporcional a la magnitud del campo eléctrico en dicha región. Figura. 10 Si las líneas en diferentes ubicaciones apuntan en distintas direcciones el campo no es uniforme. Las líneas de campo eléctrico no son objetos materiales. Son una representación gráfica para tener unas descripción cualitativa del campo eléctrico. El campo eléctrico es continuo,existe en todos los puntos del espacio.

16 Líneas de campo eléctrico para una carga puntual. Figura. 11 En la figura 11 se muestra el campo eléctrico creado por una carga puntual.Las líneas están dirigidas radialmente alejandose o acercandose en todas las direcciones formando una distribución esférica de líneas. Las líneas siguen una dirección radial y se extienden hacia el infinito.Las líneas se acercan entre sí conforme se aproximan a la carga.,ello indica que la fuerza del campo se incrementa conforme se acercan a la carga fuente. Líneas de campo eléctrico para dos carga puntuales. Las líneas de campo deben empezar en una carga positiva y terminar en una negativa. El número de líneas que salen de la carga positiva es igual al número que termina en la carga negativa. Dos líneas de campo no se pueden cruzar. Figura. 12

17 Ley de GAUSS Flujo Eléctrico Considerar un campo eléctrico uniforme en magnitud y dirección (Fig. 13) cuyas líneas penetran en una superficie rectangular de área A, donde el plano es perpendicular al campo eléctrico. La densidad de líneas es proporcional a la magnitud del campo eléctrico. Por lo tanto, el total de líneas que penetran en la superficie es proporcional al producto EA; este producto se conoce como flujo eléctrico. (Ecu.12)=EA Figura. 13 El flujo eléctrico es proporcional al número de líneas de campo eléctrico que penetran una superficie. Si la superficie no es perpendicular al campo el flujo que pasa a través de él debe ser menor que el resultante si se emplea la Ecu.12.

18 La normal a la superficie A forma un ángulo con el campo eléctrico uniforme. El número de líneas que atraviesan el área A es igual al número que atraviesa A’, el cual es un plano perpendicular al campo, (Ecu. 13) Cuando la superficie A es perpendicular al campo el flujo eléctrico es máximo y cuando la superficie es paralela al campo el flujo es cero. Figura.13 Figura.14 En situaciones generales el campo eléctrico varía a lo largo de toda la superficie. En la Figura.14 vemos una superficie dividida en un gran número de elementos pequeños cada una de área. El vector está definido como donde es el módulo del vector del elemento de superficie y es el vector unitario saliente perpendicular al elemento de superficie.

19 El flujo eléctrico a través de cada elemento de superficie es : (Ecu. 14) Si se supone que el área de cada elemento se acerca a cero,el número total de elementos se acercaría a infinito y la suma se reemplaza por una integral. Por lo tanto la definición general de flujo eléctrico es Es importante evaluar el flujo eléctrico que pasa a través de una superficie cerrada. En la superficie cerrada Figura 14. los vectores apuntan en direcciones diferentes para distintos elementos de superficies pero en cada uno de ellos estos vectores son normales a la superficie y,por convención siempre apuntan hacia afuera. Cuando las líneas de campo cruzan la superficie de adentro hacia afuera el ángulo y el flujo será positivo. Cuando las líneas cruzan de afuera hacia adentro el ángulo y el flujo será negativo. Finalmente cuando las líneas de campo eléctrico rozan la superficie cerrada el ángulo y el flujo eléctrico valdrá cero. El flujo neto a través de la superficie es proporcional al numero neto de líneas que salen de la superficie. (Ecu. 15)

20 Ley de Gauss Figura. 15 Considere una carga puntual positiva q ubicada en el centro de una esfera de radio r, sabemos que la magnitud del campo eléctrico en todos los puntos de la superficie de la esfera es. Las líneas de campo están dirigidas radialmente hacia afuera y por lo tanto son perpendiculares a la superficie en todos sus puntos El flujo neto a través de la superficie gaussiana es (Ecu. 16) Karl Friedrich Gauss (1777-1855)

21 S1 S2 S3 q Figura. 16 Considerar varias superficies cerradas que rodean una carga q,figura 16,la superficie S1 es esférica, pero y no lo son. El número de líneas a través de es el mismo número de líneas que pasan a través de las superficies no esféricas Y. Por lo tanto, el flujo neto a través de cualquier superficie cerrada que rodea a una carga puntual q tiene un valor y es independiente de la forma de la superficie. S1 S2S3 S2 S3 Figura. 17Considerar una carga puntual en el exterior de una superficie cerrada de forma arbitraria,figura. 17, el número de líneas de campo eléctrico que entran en la superficie es igual al numero de líneas que salen. Por lo tanto, el flujo eléctrico neto a través de una superficie cerrada que no rodea a ninguna carga es igual a cero. LEY DE GAUSS representa la carga neta en el interior de la superficie y el campo eléctrico en cualquier punto de la misma. (Ecu. 17)

22 El flujo eléctrico neto a través de cualquier superficie cerrada depende sólo de la carga en el interior de dicha superficie. En la Ecu. 17 observamos que a pesar de que la carga es la carga neta en el interior de la superficie gaussiana, representa el campo eléctrico total que incluye contribuciones provenientes tanto del interior como del exterior de la superficie. En la práctica la Ley de Gauss se aplica para determinar el campo eléctrico debido a un sistema de cargas o una distribución continua de las mismas con un alto grado de simetría esférica, cilíndrica o plana. La superficie gaussiana es una superficie imaginaria que se elige para satisfacer las condiciones establecidas en cada problema. No tiene que coincidir con una superficie física en una situación determinada. Ejercicio Determinar el flujo eléctrico neto a través de cualquiera de las superficies cerradas Figura. 18

23 Aplicación de la Ley de Gauss a varías distribuciones de carga La ley de Gauss es útil para determinar campos eléctricos cuando la distribución de carga está caracterizada por un alto grado de simetría. Al seleccionar la superficie siempre debe aprovechar la simetría de la distribución de carga. Por simetría el valor del campo eléctrico es constante sobre la superficie. El campo eléctrico es igual a cero sobre la superficie. Distribución de carga con simetría esférica. Distribución de carga con simetría cilíndrica. Distribución de carga con simetría plana.

24 Conductores en equilibrio electrostático. Un buen conductor eléctrico contiene cargas (electrones) que no se encuentran unidas a ningún átomo y debido a eso tienen la libertad de moverse en el interior del material. Cuando dentro del conductor no existe ningún movimiento neto de carga, el conductor está en equilibrio electrostático. Un conductor en equilibrio electrostático tiene las siguientes propiedades: 1.En el interior del conductor el campo eléctrico es cero, si el conductor es sólido o hueco. Al aplicar el campo externo en todo el volumen del conductor los electrones se aceleran hacia la izquierda, figura.19, donde se acumula un plano con carga negativa lo que origina un plano de carga positiva en la superficie derecha. Estos planos de carga crean un campo eléctrico interno dentro del conductor que se opone al campo externo. Conforme se mueven los electrones la magnitud del campo eléctrico externo e interno son iguales, resultando un campo eléctrico cero en el interior del conductor. El tiempo que necesita un buen conductor para alcanzar el equilibrio es del orden de Figura. 19 ---------- ++++++++++ ++++++++++++++ --------------

25 2.La carga de un conductor aislado reside en su superficie. Superficie gaussiana Se dibuja una superficie gaussiana de forma arbitraria que puede acercarse a la superficie del conductor tanto como se desea. El campo eléctrico es cero en todos los puntos de la superficie gaussiana y el flujo neto que pasa a través de la superficie gaussiana es cero. No existe carga neta en el interior de la superficie gaussiana y cualquier carga neta en el conductor deberá residir en la superficie. Figura. 20

26 3.El campo eléctrico justo fuera de un conductor con carga es perpendicular a la superficie del conductor y tiene una magnitud. 3.En un conductor de forma irregular, la densidad de carga superficial es máxima en aquellos puntos donde el radio de curvatura de la superficie es el menor. + + + + + + + + + + + S Si el campo tuviera alguna componente paralela a la superficie del conductor los electrones libres estarían sujetos a una fuerza y se moverían a lo largo de la superficie; por lo que el conductor no estaría en equilibrio electrostático, por lo tanto el campo eléctrico debe ser perpendicular a la superficie. Ecu. 18 Ecu. 19 Ecu. 20

27 POTENCIAL ELECTRICO Q A B Para encontrar la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos A y B en un campo eléctrico, movemos una carga de prueba de A hacia B, conservándola siempre en equilibrio, y medimos el trabajo que debe hacer el agente que mueve la carga. Diferencia de Potencial eléctrico : Ecua. 21

28 Unidades de potencial eléctrico en el Sistema Internacional (SI) : Considerando el punto A en el infinito el a esa distancia infinita recibe arbitrariamente el valor cero Por lo tanto, definimos el potencial eléctrico en un punto en el infinito con y eliminando subindices : (Ecu. 22) W es el trabajo que debe hacer el agente exterior para mover la carga de prueba del infinito al punto en cuestión.

29 q a) El potencial V en un punto cercano a una carga q positiva aislada es positivo porque debe hacerse un trabajo positivo mediante un agente externo ( fuerza )para llevar al punto una carga de prueba (positiva) desde el infinito. -q b) El potencial cerca de una carga negativa aislada es negativa porque un agente externo debe ejercer una fuerza para sostener a la carga de prueba (positiva), es decir debe hacer un trabajo negativo sobre ella, cuando la carga positiva viene desde el infinito.

30 Q A B En la Ecuación 21 tanto como son independientes de la trayectoria que se sigue al mover la carga de prueba desde el punto A hasta el punto B. Las diferencias de potencial son independientes de la trayectoria para dos puntos cualquiera en cualquier campo electrostático como para el caso especial mostrado en la figura.

31 SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES. El lugar geométrico de los puntos de igual potencial eléctrico se llama superficie equipotencial. No se requiere trabajo para mover una carga de prueba entre dos puntos cualesquiera en una de esas superficies. debe ser nulo si. Esto es válido, debido a que la diferencia de potencial es independiente de la trayectoria, aun cuando la trayectoria que une A y B no se encuentre totalmente en la superficie equipotencial. Por simetría las superficies equipotenciales de una carga esférica son una familia de esferas concéntricas. Las líneas gruesas indican las trayectorias a lo largo de las cuales se mueve una carga de prueba.

32 Para un campo eléctrico uniforme las superficies equipotenciales son una familia de planos perpendiculares al campo. En todos los casos las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de fuerza y por consiguiente al. Si no fuera perpendicular a la superficie equipotencial, tendría una componente en esa superficie. Entonces tendría que hacer trabajo para mover una carga de prueba en la superficie.Por lo tanto si la superficie es equipotencial no se hace trabajo en ella, de modo que debe ser perpendicular a la superficie. Superficies equipotenciales.

33 POTENCIAL E INTENSIDAD DE CAMPO. En un campo eléctrico uniforme se mueve una carga de prueba positiva, por efecto de algún agente externo y sin aceleración, de A a B siguiendo la recta que los une. Para mover la carga de A hacia B debemos contrarrestar la aplicando una fuerza externa de la misma magnitud pero dirigida hacia arriba. A B d (Volt/m) El punto B tiene un potencial más elevado que A ya que un agente exterior tendría que hacer trabajo positivo para mover una carga de prueba positiva de A hacia B.

34 Campo Eléctrico no uniforme y carga de prueba q moviéndose en una trayectoria que no es recta. El campo eléctrico ejerce una fuerza qE sobre la carga de prueba q. Para evitar que la carga de prueba acelere, debe aplicarse una fuerza F que sea exactamente igual a -qE para todas las posiciones del cuerpo de prueba. El trabajo desarrollado por el agente externo a lo largo de la trayectoria de A hacia B. Si tomamos el punto A infinitamente alejado, el potencial V A tendrá el valor cero, el potencial en cualquier punto B será :

35

36 INGENIERIA ELECTROMAGNETICA II David Romero Soto.

37 ECUACIONES DE MAXWELL En los campos electromagnéticos (EM) estáticos, los campos eléctricos y los campos magnéticos son independientes unos de otros. Los campos EM dinámicos son interdependientes. Los campos electrostáticos suelen ser productos de cargas eléctricas estáticas mientras que los campos magnetostáticos se deben al movimiento de cargas eléctricas con velocidad uniforme (corriente directa) o de cargas magnéticas estáticas (polos magnéticos). Los campos u ondas con variación en el tiempo se deben por lo general a cargas aceleradas o corrientes que varían con el tiempo. Toda corriente pulsatoria produce radiación ( campos que varían con el tiempo ).

38 Teorema de STOKES Espira estacionaria en un campo variable en el tiempo. Ley de Faraday - + L Flujo magnético.

39 FEM Cinética (Espira móvil en un campo estático)

40 Ejemplo : Considerando una espira conductora. Los limites de la integral se seleccionan en la dirección opuesta a la corriente inducida.

41 R L Y X u=cte I +++ --- E elec E ind Espira móvil en un campo estático

42 Fem estática Fem cinética Otra forma Espira móvil de un campo variable en el tiempo.

43 Integral de circulación b a L Componente a lo largo de dl Integral de Superficie S Superficie abierta

44 Gradiente de un escalar El Gradiente de un campo escalar V es un vector que representa a la vez la magnitud y la dirección de la máxima rapidez de incremento espacial de V. Gdl

45 Coordenadas Cartesianas Coordenadas Cilíndricas Coordenadas esféricas IDENTIDADES

46 Divergencia de un vector y teorema de la divergencia Fuente : divergencia positiva Sumidero : divergencia negativa Divergencia nula Coordenadas Cartesianas Coordenadas cilíndricas Coordenadas esféricas Teorema de la Divergencia.

47 Rotacional de un vector y teorema de Stokes El rotacional de un campo vectorial proporciona el valor máximo de la circulación del campo por unidad de área(densidad de circulación) e indica la dirección a lo largo de la cual ocurre este valor máximo. El rotacional de un campo vectorial A en un punto puede considerarse como una medida de la circulación o cuanto gira el campo alrededor del punto. Coordenadas cartesianas Coordenadas cilíndricas Coordenadas esféricas Teorema de STOKES

48 Coordenadas Cartesianas. Desplazamiento Diferencial. Area normal Diferencial Volumen Diferencial dv=dxdydz NOTA: El elemento diferencial de superficie (o área) puede definirse en general como : dS es el área del elemento de superficie. Es el vector unitario normal a dS

49 COORDENADAS CILINDRICAS

50 Desplazamiento Diferencial Area diferencial normal Volumen Diferencial

51 Coordenadas Esféricas x y z r z Desplazamiento diferencial Area diferencial normal Volumen Diferencial

52

53 Ley de Ampere. H b a L dl

54 Principio de conservación de la carga. ds Qenc. v I salida (neto) Aplicando teorema de la Divergencia Ecuación de continuidad de la corriente, establece que no puede haber acumulación de carga en ningún punto.

55 Ecuaciones de Maxwell para campos estáticos Forma diferencial (puntual)Forma IntegralObservaciones Ley de gauss Inexistencia del monopolo magnético Conservatividad del campo electrostático Ley de Ampere

56 Ecuaciones de Maxwell para condiciones variables en el tiempo Forma diferencial (puntual) Forma IntegralObservaciones Ley de gauss Inexistencia del monopolo magnético Ley de Faraday Ley circuital de Ampere

57 Otras Ecuaciones asociadas con las ecuaciones de Maxwell a) Ecuación de Fuerza de Lorentz Ecuación de Fuerza de Lorentz b) Ecuación de Continuidad

58 CAMPOS ARMÓNICOS EN EL TIEMPO FASOR : Consideremos que los campos armónicos varían en forma periódica o senoidal con el tiempo. Fasor Z es un número complejo.

59 Introduciendo el elemento TIEMPO. Considerando una corriente senoidal o cosenoidal

60 Forma instantánea Un FASOR puede ser un escalar o vector. Es un campo armónico en el tiempo y su FASOR será En general Forma instantánea dependiente del tiempo y real. Forma de FASOR invariable en el tiempo y compleja

61 Ejemplo 1. El fasor de será :

62 Ejemplo 2.

63 Ejemplo 3.

64 Ecuaciones de MAXWELL armónicas en el tiempo. Suponiendo factor de tiempo

65 Potenciales variables en el tiempo. Ley de Ampere L Stokes Además Potencial eléctrico para campos EM estáticos

66 Ley de Biot-Savart I I Elemento de corriente

67 Potenciales Magnéticos Escalares y Vectoriales Se define el Potencial Magnético Escalar : Se conoce Para el campo magnetostático y variable en el tiempo Identidad: Aplicando identidad. Sigue cumpliéndose para los campos variables en el tiempo Potencial Magnético Vectorial.

68 DEFINICIONES Corriente lineal. Corriente superficial Corriente volumetrica I (Punto de campo) (Punto de fuente) O (origen)

69 CAMPOS VARIABLES EN EL TIEMPO Flujo (Faraday) Identidad (especifica rotor de ) Condiciones de LORENTZ para potenciales: Especifica la divergencia de Un campo vectorial queda determinado en forma única cuando se especifican su rotacional y divergencia.

70 ECUACIONES DE ONDAS Identidad :

71 PROPAGACION DE ONDAS ELECTROMAGNETICAS 1.Vacío o espacio libre 2.Dieléctricos sin pérdidas 3.Dieléctricos disipativos o con pérdidas 4.Buenos conductores En una dimensión una ecuación escalar de onda toma la forma :

72 Si en partícular suponemos que hay una dependencia armónica (o senoidal) en el tiempo,consideramos la siguiente solución : 1.1 Es armónica en el tiempo porque suponemos la dependencia del tiempo para la ecuación. 1.2 A es la amplitud de la onda y tiene las mismas unidades de E. 1.3 Es la fase en radianes de la onda;depende del tiempo y la variable z. 1.4 La onda está viajando a una velocidad u en la dirección +z La onda viaja con una velocidad u en la dirección de –z.

73

74 Propagación de Ondas en Dieléctricos Disipativos. Un dieléctrico disipativo es un medio en el cual una onda EM pierde potencia conforme se propaga a causa de una conducción deficiente ; es parcialmente conductor (dieléctrico o conductor imperfecto); con Considerando un medio dieléctrico disipativo lineal,isotrópico y homogéneo que esté libre de carga Campos armónicos según MAXWELL: Ecuaciones vectoriales homogéneas de HELMHOLTZ o ecuaciones vectoriales de ondas. constante de propagación del medio(pulg/m)

75 (Np/m) : constante de atenuación del medio o factor de atenuación del medio (1Np=8,7db). : constante de fase (rad/m) u : velocidad de la onda. : longitud de onda.

76 Impedancia Intrínsica del medio. Cantidad compleja y su unidad es el ohm. están desfasados en en cualquier instante de tiempo debido a la impedancia compleja intrinsica del medio En un medio disipativo :(tangente de pérdida). :ángulo de pérdida del medio Un medio es un buen dieléctrico si,es decir si es muy pequeño. Un medio es un buen conductor si,es decir si es muy grande.

77 Potencia y el vector POYNTING Teorema de POYNTING : Potencia total neta que sale de un volumen V Rapidez de decrecimiento en la energía almacenada en los campos eléctricos y magnéticos Potencia ohmica disipada Vector POYNTING : El vector POYNTING representa la densidad de potencia instantánea asociada con el campo electromagnético en un punto dado.La integración del vector POYNTING sobre cualquier superficie cerrada da la potencia neta que sale de esa superficie.

78 Y X Z E H P=ExH (Energía eléctrica) (energía magnética) El lado derecho del teorema de Poynting es la razón de reducción de las energías eléctricas y magnéticas almacenadas menos la potencia ohmica disipada en forma de calor en el volumen v. Estos deben ser iguales a la potencia (razón de energía) que sale del volumen a través de su superficie, para ser consistente con la ley de la conservación de la energía.

79 Promedio del vector POYNTING respecto al tiempo. La potencia total en promedio referido al tiempo que cruza una superficie determinada S La potencia total que fluye hacia adentro de una superficie cerrada en un instante cualquiera será igual a la suma de las razones de incremento de la energía eléctrica y magnética almacenada y de la potencia ohmica disipada dentro del volumen limitado por la superficie.

80 Energ í a de los campos electromagn é ticos. La importancia en estudiar los campos electromagn é ticos se debe a la capacidad que tienen de transportar energ í a.Este hecho es el responsable de que la energ í a del sol llegue a la tierra en forma de campos electromagn é ticos, como es la luz, y permita la existencia de vida sobre la tierra. Para transmitir informaci ó n de un punto a otro necesitamos "escribirla" sobre alg ú n soporte y transportarla. El soporte ó ptimo es la energ í a y el medio de transporte m á s eficaz son los campos electromagn é ticos. El transporte de energ í a est á asociado a la propagaci ó n de las ondas electromagn é ticos. Potencia aplicada sobre portadores de carga. Sabemos que existe intercambio energ é tico entre la materia y los campos electromagn é ticos y la materia est á compuesta de cargas. El intercambio est á relacionado con el trabajo que realizar á n los campos sobre las cargas o al contrario,las cargas sobre los campos. El trabajo sobre una carga puntual q que se desplaza un vendr á dado por : La fuerza que realiza el trabajo sobre las cargas es la Fuerza de LORENTZ.

81 El trayecto recorrido lo ponemos en función de la velocidad de la carga El campo magnético no realiza trabajo sobre las cargas ( o la materia), o sea, que no puede ser utilizado para aumentar la energía de las cargas. El trabajo total dependerá del tiempo que los campos actúen sobre las cargas. Potencia que actúa sobre una carga Generalizando la expresión para el conjunto del material, consideraremos que el número de cargas por unidad de volumen es N y que todas tienen la misma velocidad. Entonces definimos la potencia realizada por los campos sobre un diferencial de volumen como

82 El movimiento de las cargas será debida a los campos,luego creara una corriente de conducción. La densidad de corriente de conducción es Definimos la potencia realizada por los campos sobre las cargas por unidad de volumen (densidad de potencia sobre las cargas) como : (w/m 3) Hemos considerado que los campos suministran energía a la materia, así diremos que los campos disipan energía, la Ecua. Representa las pérdidas ohmicas en el material. Cuando la energía pasa de la materia a los campos, diremos que estamos generando campos electromagnéticos. La potencia suministrada a los campos será : El signo negativo indica que las corrientes y los campos van en sentido contrario, con lo cual generamos campos electromagnéticos.