@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B1 TEMA 2 * 4º ESO Opc B POLINOMIOS.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B1 TEMA 2 * 4º ESO Opc B POLINOMIOS

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B2 TEMA 2.4 * 4º ESO Opc B REGLA DE RUFFINI

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B3 REGLA DE RUFFINI Cuando se trate de dividir un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x - a), siendo a un número, la división de puede realizar de una forma más rápida y precisa: 1. ‑ Se reduce el dividendo. 2. ‑ Se ordena el dividendo forma decreciente. 3. ‑ Si el dividendo es incompleto, poner ceros. 4. ‑ Se colocan en fila los coeficientes del dividendo, incluídos los ceros. 5.-Se coloca a la izquierda el valor del número a. 6.-Se aplicar el algoritmo correspondiente de Ruffini. 7. ‑ Los números obtenidos son los coeficientes del cociente, salvo el último que es el resto de la división. 8.-Se puede comprobar el resultado,pues siempre se cumplirá: D(x) = d(x).c(x) + r(x). Regla de Ruffini

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B4 Ejemplo_1 de división por Ruffini Sea ( x 3 + 4.x 2 - 5 ) : ( x - 3 ), donde a = 3 1 4 0 - 5 + 3 3 21 63 1 7 21 58 C(x) = 1.x 2 + 7.x + 21 R(x) = 58 Podemos comprobar la división: (x 3 + 4.x 2 - 5) = (x - 3).(x 2 + 7.x + 21) + 58

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B5 Ejemplo_2 de división por Ruffini Sea ( x 3 + 4.x 2 - 5 ) : ( x + 5 ), donde a = - 5 1 4 0 - 5 + - 5 - 5 5 - 25 1 - 1 5 - 30 C(x) = 1.x 2 - 1.x + 5 R(x) = - 30 Podemos comprobar la división: (x 3 + 4.x 2 - 5) = (x + 5 ).(x 2 - x + 5) + (- 30)

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B6 Ejemplo_3 de división por Ruffini Sea ( 4.x 3 + 5.x - 3 ) : ( x + 2 ), donde a = - 2 4 0 5 - 3 + - 2 - 8 16 - 42 4 - 8 21 - 45 C(x) = 4.x 2 - 8.x + 21 R(x) = - 45 Podemos comprobar la división: ( 4.x 3 + 5.x - 3 ) = ( x + 2 ).(4.x 2 - 8.x + 21) + (- 45)

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B7 Método escalonado de Ruffini Sea P(x) = x 3 – 3 x 2 + 3.x – 1 dividido entre Q(x) = (x – 1) Como P(x) es una potencia notable, sabemos que: P(x) = (x – 1) 3 = (x – 1). (x – 1). (x – 1) Luego al dividir P(x) entre (x – 1) la división será exacta y el resto 0. Podemos poner: D(x) = d(x).C(x) (x – 1) 3 = (x – 1). (x 2 – 2.x + 1) Seguimos dividiendo por Ruffini, ahora C(x) : (x – 1) Y tendremos C(x) = (x – 1).(x – 1) Con lo cual: (x – 1) 3 = (x – 1). (x – 1). (x – 1) Este método escalonado se emplea para hallar las raíces o ceros de un polinomio; o lo que es lo mismo, para resolver ecuaciones de grado superior a 3 como veremos en los temas siguientes.

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B8 Método escalonado de Ruffini 1 - 3 3 - 1 + 1 1 - 2 1 1 - 2 1 0 1 1 - 1 1 - 1 0 1 1 1 0 Sea P(x) = x 3 - 3 x 2 + 3.x - 1 Tenemos que encontrar los ceros del polinomio, que es lo mismo que resolver la ecuación: x 3 - 3 x 2 + 3.x - 1 = 0 Dividimos entre (x – 1) y si da de resto cero entonces el 1 es una raíz de P(x). MUY IMPORTANTE: Si el resto no es 0 no se puede seguir aplicando el método escalonado de Ruffini.

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B9 Otro ejemplo 1 3 0 - 4 + 1 1 4 4 1 4 4 0 - 2 - 2 - 4 1 2 0 - 2 - 2 1 0 Sea P(x) = x 3 + 3. x 2 - 4 Tenemos que resolver la ecuación: x 3 + 3 x 2 - 4 = 0 Al dividir entre (x – 1) el resto es 0. Seguimos aplicando el método escalonado. Pero como al dividir otra vez entre (x – 1) no nos da de resto 0, probamos dividir entre (x + 1), luego entre (x – 2) y finalmente vuelve a ser el resto 0 al dividir entre (x + 2). P(x) = (x – 1).(x 2 + 4. x + 4) P(x) = (x – 1).(x + 2).(x + 2)