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Taller de Lógica Facultad de Filosofía y Letras, UBA. www.accionfilosofica.com 2do cuatrimestre de 2006 Facultad de Filosofía y Letras, UBA. www.accionfilosofica.com.

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2 Taller de Lógica Facultad de Filosofía y Letras, UBA. 2do cuatrimestre de 2006 Facultad de Filosofía y Letras, UBA. 2do cuatrimestre de 2006

3 Taller de Lógica: la concepción intuitiva de conjunto ¿Qué es un conjunto? - Un conjunto es cualquier colección de objetos - El conjunto de todos los números enteros pares - El conjunto de todos los saxofinistas de Brooklyn - Los conjuntos pueden ser ellos mismos elementos de otros conjuntos. - Pueden ser finitos o infinitos. - La mayoría de los conjuntos no son miembros de sí mismos: - el conjunto de los gatos. - Pero puede haber conjuntos que pertenezcan a ellos mismos: - el conjunto de todos los conjuntos. -También pueden estar incluidos en otros conjuntos.

4 El Paraiso de Cantor La concepción naive de conjunto: - ¿Qué es un conjunto infinito? Es un conjunto cuyos elementos pueden ponerse en correspondencia con alguno de sus subconjuntos propios. ¿Hace falta contar el número de personas en esta sala para saber si falta una silla para que todos estén sentados? - Dos conjuntos tienen el mismo cardinal si hay una correspondencia uno a uno entre ellos. Ej. De dos conjuntos infinitos con el mismo cardinal: - El de los números naturales y el de los números pares. El conjunto de los números pares es un subconjunto de los números naturales. Pero eso no implica que su cardinalidad sea menor.

5 La Paradoja de Cantor Teorema de Cantor: Hay un cardinal infinito más grande que el cardinal de los números naturales. (es decir, no siempre es posible encontrar una correspondencia uno a uno entre dos conjuntos infinitos). (T) : Para todo conjunto infinito, su conjunto potencia, tiene un cardinal mayor. Sea A = {1, 2, 3}, ent P(A) = {Ø, {1}, {2}, {3} {1, 2}, {1,3}, {2,3}, {1, 2, 3} } hay conjuntos que son incontables: conjuntos que son demasiado grandes como para ponerse en correspondencia uno a uno con los números naturales. Para todo cardinal infinito, existe un cardinal mayor a este cardinal. (Hay infinitos cardinales infinitos, unos más grandes que otros).

6 La Paradoja de Cantor Teorema de Cantor: P(N) es un conjunto infinito y de un tamaño distinto a N. - es infinito, ya que a cada número natural le corresponde el conjunto que tiene a ese número natural como único elemento. - es de tamaño distinto, ya siempre se puede encontrar un subconjunto de N que no esté contemplado en una supuesta correspondencia … El set de todos los naturalessisisisisisi El set vacíonononononono El set de los paresnonosinosino El set de los imparesnosinosinosi El set de los primosnonosisinosi El set de los cuadradossisinonosino El set de los cubossisinononono …….

7 La Paradoja de Cantor Teorema de Cantor: P(N) es un conjunto infinito y de un tamaño distinto a N. - es infinito, ya que a cada número natural le corresponde el conjunto que tiene a ese número natural como único elemento. - es de tamaño distinto, ya siempre se puede encontrar un subconjunto de N que no esté contemplado en una supuesta correspondencia … El set de todos los naturalesnosisisisisi El set vacíonosinononono El set de los paresnonononosino El set de los imparesnosinononosi El set de los primosnonosisisisi El set de los cuadradossisinonosisi El set de los cubossisinononono …….

8 La Paradoja de Cantor Bajando por la diagonal, se obtiene un subconjunto de N que se diferencia de cada conjunto emparejado original en al menos un elemento. Por eso, ese subconjunto no está representado en el emparejamiento original. Por eso, no existe una correspondencia uno a uno entre N y el conjunto de todos los subconjuntos de N. Por eso, P(N) no es numerable, ni finito. Por lo tanto es no-numerable. Dado que existe una correspondencia uno a uno entre N y el conjunto cuyos elementos son {0}, {1}, {2}, {3}, {4} y este último subconjunto es un subconjunto propio de P(N), P(N) tiene un cardinal mayor que N.

9 La Paradoja de Cantor La Diagonal de Cantor El Conjunto infinito de los números racionales (expresables como cociente de dos números enteros) es más grande que el de los números enteros. Por ejemplo, entre dos enteros consecutivos, así 0 y 1, hay una infinidad de números racionales. No obstante, Cantor mostró (1874) que los números racionales pueden hacerse corresponder biunívocamente con los números enteros. A cada número racional se le asocia un número entero conforme se va recorriendo la trayectoria señalada con flechas de color. Así el conjunto de los números racionales es numerable.

10 El problema del continuo Problema: ¿Existe algún cardinal superior al cardinal más chico (el de los números naturales) e inferior al de 2 Alef 0 ? Según el teorema de Cantor aplicado al cardinal de los numerables, Alef 0 es menor que 2 Alef 0 2 Alef 0 es Alef 1Tras este resultado es inmediata la pregunta: ¿Existirá algún cardinal superior al cardinal numerable e inferior a la potencia del continuo? ¿Hay algún cardinal entre alef 0 y Alef 1? Hipótesis del continuo: no existe un cardinal entre Alef 0 y Alef 1. La hipótesis del continuo es indecidible en ZF: se puede agregar a la base axiomática tanto la hipótesis como su negación obteniendo resultados consistentes. La Paradoja de Cantor: En 1899, en una carta que envió Cantor a Dedekind, observa que no puede hablarse del conjunto de todos los conjuntos, ya que si V fuese este conjunto entonces el conjunto P(V) de todos los subconjuntos de V sería un elemento de V, es decir: P(V) V.

11 Multiplicidades consistentes e inconsistentes Cantor:... it is necessary, as I discovered, to distinguish two kinds of multiplicities... For a multiplicity can be such that the assumption that all of its elements are together leads to a contradiction, so that it is impossible to conceive of the multiplicity as a unity, as one finished thing. Such multiplicities I call absolutely infinite or inconsistent multiplicities. As we can readily see, the totality of everything thinkable, for example, is such a multiplicity If on the other hand the totality of elements of a multiplicity can be thought of without contradiction as being together, so that they can be gathered together intoone thing, I call it a consistent multiplicity or a set. (Cantor ) Michael Dummett: indefinitely extensible concept is one such that, if we can form a definite conception of a totality all of whose members fall under the concept, we can, by reference to that totality, characterize a larger totality all of whose members fall under it

12 Paradoja Burali-Forti Paradoja Burali-Forti: - En la teoría intuitiva de conjuntos, todo conjunto bien ordenado tiene un número ordinal; en particular, como el conjunto de todos los ordinales es bien ordenado, entonces debe tener un ordinal, digamos. - Pero, dado cualquier número ordinal, hay un ordinal todavía más grande. Por lo tanto no puede ser el número ordinal del conjunto de todos los ordinales. Tanto el concepto de número cardinal como el de número ordinal parecen ser indefinidamente extensibles.

13 Los fundamentos de las matemáticas Fundamentación conjuntista de la matemática: Principios de Frege (formulados de manera intuitiva): 1.- Principio de Extensionalidad para Conjuntos: Dos conjuntos son iguales si poseen los mismos elementos. 2. Principio de Comprensión: Toda propiedad define un conjunto. y x (x y (x) ) Es un esquema de axioma

14 Taller de Lógica La Paradoja de Russell y x (x y Cx)Axioma de Comprensión y x (x y ¬ (x x) x (x r ¬ (x x) (r r ¬ (r r) No existe el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos.

15 Soluciones a la paradoja de Russell Solución Russelliana a la paradoja de Russell: La autorreferencia está presente en las paradojas. Por eso, todo objeto debe tener un tipo (un número entero no negativo) que sea tu catagoría. La expresión x es un miembro del conjunto y para ser considerada significativa debe ser tal que el tipo de y debe ser mayor que el tipo de x. Solución ZF Crítica al principio de abstracción: no es cierto que a toda propiedad (o condición) le corresponda un conjunto (el de todos los objetos que la satisfacen). Es necesario agregar algún axioma de existencia (de aquellos conjuntos que necesitan los matemáticos). La concepción iterativa del universo conjuntista Sistema NGB: Distinción entre conjuntos y clases propias. (Sistema que desarrolla Mendelson, en el cap. 4).

16 La paradoja L-Skolem Skolem 1922 Si una teoría consistente de primer posee un modelo infinito (no importa su cardinalidad), debe poseer un modelo infinito denumerable. Si el D all-inclusive tiene cardinalidad infinita, hay un modelo, cuyo dominio es isomórfico con el conjunto de los naturales. Tesis de Putnam: Ningún conjunto de fórmulas de primer orden podría ser usado de manera tal que estemos seguros de que el dominio de interpretación consiste de absolutamente todo. Cualquier afirmación que sea compatible con que el dominio de interpretación sea all- inclusive, es también compatible con que el dominio sea less-than-all-inclusive

17 La Paradoja L-Skolem Sobre la suposición de que hay incontables objetos en el universo, el teorema L-Skolem parece mostrar que si hay una T de primer orden apta para hablar de esos objetos, esta misma T tiene un modelo apto para hablar de un dominio less-than-all-inclusive. Todas las fórmulas de T son verdaderas en ambas estructuras, pero cada una de las estructuras posee dominios con distinta cardinalidad. Supóngase que en T, agregamos el predicado es incontable. Si hay un modelo cuyo dominio es incontable donde T es verdadera, hay un modelo cuyo dominio es less-than-all-inclusive donde T es verdadera.

18 Paradojas y Teoría de Modelos La paradoja de Orayen: 1.- El lenguaje de la teoría de conjuntos trata acerca de todos los conjuntos. Por eso, 2.- El dominio de un modelo que capture la interpretación pretendida del lenguaje de la teoría de conjuntos tendría que consistir en todos los conjuntos. Sin embargo, 3.- El dominio de un modelo es un conjunto y de acuerdo a las teorías de conjuntos axiomatizadas no existe el conjunto de todos los conjuntos. Por tanto, 4.- ningún modelo puede capturar la interpretación pretendida del lenguaje de la teoría de conjuntos.

19 La paradoja de Orayen Problemas: Al dar una definición de verdad en un modelo, se utiliza la teoría de conjuntos. Tomemos una teoría de primer orden, cuyo lenguaje sea el de la Teoría de Conjuntos: ¿Es posible construir un modelo conjuntista para ese lenguaje? ¿Cuál sería un dominio apropiado para esa teoría? ¿Es posible que ese dominio forme un conjunto? ¿Cuál sería el rango de los cuantificadores de L en este modelo? ¿Sería posible encontrar un dominio capaz de incluir a TODOS los conjuntos? Si no hubiera un conjunto tal, ¿podríamos construir un modelo que no hiciera mención explícita a dominio alguno? – Recurso al lenguaje natural

20 La paradoja de Orayen El teorema de Kreisel muestra que en el caso de las teorías lógicas de primer orden, basta con que las interpretaciones relevantes tengan como dominio un conjunto. Esto es, sean interpretaciones conjuntistas. La prueba del teorema depende o bien de que la teoría sea completa y tal dependencia condiciona su aplicación a otros ordenes lógicos. Sin una prueba (tipo Kreisel) no tenemos garantías de que toda interpretación sea una interpretación conjuntista.

21 ¿Hay tantas interpretaciones como objetos? Supongamos que L es un lenguaje de primer orden. (ii) Optimismo semántico: podemos especificar la semántica de L sin imponer ninguna restricción arbitraria sobre el rango de los cuantificadores. (iii) Supongamos que la cuantificación irrestricta es posible. (iv) Para especificar la semántica de L, necesitamos generalizar sobre interpretaciones de las constantes primitivas no lógicas de L. (v) Sea `P´ un predicado monádico de L. (vi) Sea F cualquier predicado significativo del metalenguaje. (vii) Debe ser posible interpretar P como significando F Por ejemplo, si el metalenguaje es el español, un caso de este tipo consiste x (I F es un interpretación bajo la cual P se aplica a x ssi x es un hombre) (donde x tiene un rango irrestricto) (1) x (I F es un interpretación bajo la cual P se aplica a x ssi x es un F)

22 El Argumento Semántico (T. Williamson) (1) x (I F es un interpretación bajo la cual P se aplica a x ssi x es un F) Sem 1: una I es un objeto. Sem 2: Podemos definir un predicado R tal que (2) x (I F es una interpretación bajo la cual R se aplica x ssi x no es una interpretación bajo la cual P se aplica a x ) Bien, hay una I R para F en (1), en la cual R reemplaza a F y al mismo tiempo, si aplicamos la definición de R en (2) obtenemos: (3) x (I R es un interpretación bajo la cual P se aplica a x ssi x no es una interpretación bajo la cual P se aplica a x) Ya que x en (3) es absolutamente irrestricto, podemos instanciarlo para I R para obtener (4) I R es una interpretación bajo la cual P se aplica I R ssi I R no es una interpretación bajo la cual P se aplica I R (4) es una contradicción.

23 El argumento semántico Argumento Semántico -Necesitamos una noción ontológica de Interpretación, ya que las definiciones de consecuencia lógica y de validez requieren cuantificar sobre las mismas. -Pero, la suposición de que hay un cuantificador cuya interpretación irrestricta pretenda abarcar a todas las interpretaciones conduce a una contradicción.

24 El Argumento Semántico: Evaluación ¿Qué prueba el argumento semántico? - El argumento no depende de que las interpretaciones sean conjuntos o entidades conjuntistas. Tampoco emplea las nociones de dominio o dominio standard. Sólo depende de que sean objetos. El papel de las interpretaciones es crucial en el argumento. Si Argumento semántico, - O se abandona sem 1 (Boolos, Cartwright, Lewis, Uzquiano, Rayo – Williamson) - O la cuantificación irrestricta no es posible (Glanzberg - Linnebo) - O que hay asignaciones posibles de significados a los que no les corresponde ningún modelo.

25 Paradojas Semánticas (1) Esta oración es falsa Supongamos que (1) es verdadera, entonces lo que dice es el caso, por lo tanto, es falsa. Supongamos que (1) es falsa, entonces lo que dice no es el caso. Por lo tanto, es verdadera. Por eso (1) es verdadera ssi (1) es falsa. La siguiente oración es falsa. La anterior oración es verdadera. Tesis de Kripke: nuestras afirmaciones usuales sobre la verdad son susceptibles de mostrar rasgos paradójicos. (1) La mayor parte de las afirmaciones de Nixon acerca de W son falsas. (2) Todo lo que dice Juan sobre Watergate es verdadero. Supongamos que (1) es la única afirmación que Juan hace sobre Watergate y que las afirmaciones de Nixon sobre Watergate se encuentran repartidas (50%) entre la V y la F. Entonces (1) y (2) son verdaderas ssi son falsas

26 Paradojas Semánticas Expresabilidad universal: ningún lenguaje suficientemente rico puede, expresar su propia semántica. Sin hacer distinciones de niveles de lenguaje corremos riesgos de caer en contradicción al intentar dar una definición de verdad para un lenguaje suficientemente expresivo como para hablar de la aritmética, que incluya dentro de sus afirmaciones, el predicado veritativo de ese lenguaje.

27 Nociones básicas de teoría de conjuntos Nociones de teoría de conjuntos: Conjunto - elemento de un conjunto - Inclusión - Intersección - Unión - Complemento relativo - Conjunto vacío / postulación de existencia del conjunto vacío. Conjunto unitario - tupla ordenada - Producto cartesiano entre dos conjuntos - Relación - Propiedades de las relaciones: reflexividad - simetría - transitividad - Funciones - Cardinalidad y ordinalidad de un conjunto. Correspondencia biunivoca - Denumerabilidad: cardinalidad infinita más pequeña. Conjunto contable. Secuencias finitas e infinitas. Principio de inducción matemática: Usualmente se prueba que, para todo n, P(n, y1, …, yk) implica P(n + 1, y1, …, yk), suponiendo P(n, y1, …, yk) como hipótesis inductiva y deduciendo P(n + 1, y1, …, yk). A partir del principio de inducción se puede probar el Principio de inducción completa: si para todo entero no negativo x la suposición P(u, y1, …, yk) es verdadera para todo u < x implica que P(n, y1, …, yk) vale, entonces para todo entero no negativo x, P(n, y1, …, yk) es verdadera,


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