Bb.

Presentación del tema: "Bb."— Transcripción de la presentación:

1 bb

2 Representación gráfica
FUNCIÓN CUADRÁTICA Una función cuadrática es una función f de la forma: Donde a, b, c son números reales y a≠0 Función cuadrática simple En particular, si se toma a=1, b=0, c=0 x f(x) f 1/2 1/4 Representación gráfica -1/2 1/4 1 1 -1 1 2 4 -2 4 bb

3 Vértice ( 0, 0 ), punto más bajo o más alto de la parábola
Función cuadrática simple Análisis de la gráfica de Dominio: Rango: La gráfica es simétrica con respecto al eje y Función par Ecuación del eje de simetría Vértice ( 0, 0 ), punto más bajo o más alto de la parábola bb

4 La parábola abre hacia arriba (cóncava hacia arriba)
Función cuadrática simple Continuación análisis de la gráfica de La parábola abre hacia arriba (cóncava hacia arriba) Creciente: Decreciente: bb

5 TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS
bb

6 Función cuadrática simple
Contracción Vertical bb

7 Función cuadrática simple
Dilatación Vertical bb

8 Función cuadrática simple
Reflexión sobre el eje x: La gráfica es una parábola que abre hacia abajo (cóncava hacia abajo) Dominio: Rango: La gráfica es simétrica con respecto al eje y Ecuación del eje de simetría: Creciente: Vértice ( 0, 0 ) Decreciente: Punto máximo ( 0, 0 ) bb

9 Función cuadrática simple
Traslación horizontal: Si h = 2, el vértice de la parábola se traslada 2 unidades a la derecha. Ecuación eje simetría: x= 2 Intersección x ( 2, 0 ) Intersección y ( 0, 4 ) Creciente: (2,∞) Decreciente: (-∞, 2) Si h = -1, el vértice se traslada 1 unidad a la izquierda. Ecuación eje simetría: x= -1 Intersección x (-1, 0 ) Intersección y ( 0, 1 ) Creciente: (-1,∞) Decreciente: (-∞, -1) Vértice (2,0) Vértice (-1,0) bb

10 Función cuadrática simple
Traslación Vertical: Se observa que para k=2, el vértice de la parábola se traslada dos unidades hacia arriba. Para k =- 4, el vértice de la parábola se traslada 4 unidades hacia abajo 2 El rango y el punto mínimo cambian 4 Vértice (0, 2) Rango: Vértice (0, -4) Rango: bb

11 Otras expresiones para la función cuadrática
Forma estándar ó canónica bb

12 FUNCIÓN CUADRÁTICA Resumiendo:
A partir de la transformación de la función simple: se obtienen parábolas de la forma: En donde: Dominio: (-∞, ∞) a<0 Rango: Si a>0 Vértice: Desplazamiento horizontal: h Desplazamiento vertical: k Contracción o dilatación vertical: a bb

13 Ejemplo 1: Trazar la función a partir de la función bb

14 Ejemplo 1:continuación
bb

15 Ejemplo 1:continuación
Dominio: Rango: Ecuación eje de simetría: Punto mínimo: (1, -8) Creciente: ( 1, ∞ ) Decreciente: ( -∞, 1 ) Eje de simetría Vértice (1, -8) h k bb

16 Ejemplo 1:continuación
Intersección y C(3,0) B(-1,0) (0,-6) Intersecciones x A(0, -6) (-1, 0) y (3, 0) bb

17 Ejemplo 1:continuación
bb

18 Determine la ecuación de la parábola cuya gráfica es:
Ejemplo 2: Determine la ecuación de la parábola cuya gráfica es: Vértice (2,3) Intersecto eje y (0, -5) Ecuación eje de simetría Con esta información se encuentra el valor de a bb

19 es otra expresión algebraica de una ecuación cuadrática-Parábola_
Cuadrando el binomio, podemos expresar la función dada de la forma: Vértice: bb

20 Resumiendo: Dada la función: bb

21 Ejemplo 3: bb

22 Ejemplo 3: (continuación)
Intersecciones con el eje x : Se hace f (x) = 0, esto es: bb

23 Ejemplo 3: (continuación)
Ecuación eje simetría bb

24 Ejemplo 4: Solución En la ecuación: bb

25 Ejemplo 4 (continuación)
( 6, 14 ) Deberán producirse 6 unidades del artículo para que el costo mínimo promedio por unidad sea de US$14 bb

26 Producto de factores lineales
Los ceros de la función cuadrática, llamados también raíces son los valores de “x” cuya imagen tienen valor cero. Como es cuadrática tiene a lo sumo dos ceros. Si los denominamos x1 y x2 , podemos utilizarlos para expresar la función como producto de factores lineales. bb

27 Ceros de la función cuadrática
Se dijo que la función cuadrática tenía a lo sumo dos ceros. Estos ceros son de la forma (x, 0), por lo tanto se calculan haciendo a f (x) igual a cero. bb

28 bb

29 Encontrar gráficamente el conjunto solución de:
Ejemplo 5: Encontrar gráficamente el conjunto solución de: Solución vamos a resolver f (x) > g(x) f (x) es una parábola cóncava hacia arriba con vértice en ( -2, -1 ) Sea Sea g (x) es una parábola cóncava hacia abajo con intersecto con el eje y (0, 3) bb

30 Ejemplo 5: (continuación)
Su representación gráfica es: (0, 3) Se observa que las dos gráficas se cortan en los puntos: (-2, -1) y ( 0, 3). -2 También vemos que f (x) > g (x) en los siguientes intervalos: (-2, -1) bb

31 La capacidad de flujo será máxima cuando el área transversal del
Ejemplo 5: Un latonero dispone de una lámina rectangular de aluminio de 16 pulgadas de ancho y debe construir una canal doblando dos lados 90° hacia arriba. Cuántas pulgadas deberán doblarse para que la canal tenga la mayor área transversal y con ello permita el mayor flujo de agua? x = cantidad de pulgadas dobladas A(x) = área transversal en función de la cantidad doblada La capacidad de flujo será máxima cuando el área transversal del rectángulo sea máxima. bb

32 Ejemplo 5:(continuación)
Revisemos la función: x=4, es el doblés que hace que la sección transversal sea la mayor. Parábola El área máxima se encuentra en el vértice. El área máxima son 32 pul² bb

33 Ejemplo 6 bb

34 Ejemplo 6: (Continuación)
Al resolver la ecuación cuadrática se obtiene: ó Se descarta este valor ; no tiene sentido una distancia negativa. bb

35 Ejemplo 6: (Continuación)
El valor para x lo sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones para encontrar el valor de y (altura del impacto) Interpretación: El proyectil recorrió una distancia horizontal aproximada de 1.3 kilómetros e impactó en la montaña a una altura aproximada de 1.8 kilómetros. bb

36 bb

37 No es función par ni función impar, porque los elementos de
Dominio: Rango: Es creciente en todo su dominio No es función par ni función impar, porque los elementos de su dominio no satisfacen ninguna de las dos definiciones Intersecto x: (0,0) Intersecto y: (0,0) bb

38 Transformación de funciones
Generalidades: Si se tiene una función f , la función: Expresada como transformación de f(x): Se tiene: Dilatación, contracción horizontal y reflexión con eje y= b Desplazamiento horizontal: c/b Dilatación, contracción vertical y reflexión sobre el eje x= a Desplazamiento vertical: d bb

39 Función Raíz Cuadrada Pasos a seguir: bb

40 Función Raíz Cuadrada bb

41 Función Raíz Cuadrada bb