@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 TEMA 4 ECUACIONES Y SISTEMAS.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 TEMA 4 ECUACIONES Y SISTEMAS

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 TEMA 4.3 * 1º BCS ECUACIONES RACIONALES

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 ECUACIONES RACIONALES ECUACIONES RACIONALES Son aquellas en las que aparece la incógnita en el denominador de alguno de sus términos. PROCEDIMIENTO DE RESOLUCIÓN Se aplican los principios de equivalencia. Si lo anterior no fuera suficiente se realizarían las sumas o productos correspondientes, realizando para ello el mcm o común denominador de polinomios. Al resolver una ecuación racional es muy posible que aparezcan ecuaciones polinómicas (bicuadradas entre otras) a resolver. En la resolución pueden aparecer soluciones falsas.

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 Ejemplo 1 6 ------ = 3 x – 2 6 = (x – 2).3 6 = 3.x – 6 12 = 3.x x = 4 Ejemplo 2 x + 2 1 = ----------- x 2 – 4 1.(x 2 – 4) = (x + 2) (x – 2).(x + 2) = (x + 2) (x – 2) = (x + 2) / (x + 2) (x – 2) = 1  x = 3 Ejemplo 3 x 3 – 8 x 2 x 3 – 8 x 2. (x – 2) -------- = -------  ---------- = ------------- x 2 – 4 x + 2 x 2 – 4 x 2 – 4 Al ser iguales los denominadores: x 3 – 8 = x 2. (x – 2) x 3 – 8 = x 3 – 2.x 2  – 8 = – 2.x 2  4 = x 2 x = 2, x = – 2, que no valen al ser ceros del denominador.

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 Ejemplo 4 1 x + 2 ------- + --------------- = 2 x – 3 x + 5 (x + 5) (x – 3).(x + 2) ------------------- + ------------------ = 2 (x – 3).(x + 5) (x – 3).(x + 5) (x + 5) + (x – 3).(x + 2) ------------------------------- = 2 (x – 3).(x + 5) (x + 5) + (x – 3).(x + 2) = 2.(x – 3).(x + 5) x 2 – 1= 2.x 2 + 4.x – 30  0 = x 2 + 4.x – 29 - 4 ± √16+116 - 4 ± 11,49 x= --------------------- = --------------- = 3, 745 y - 7,745 2 2

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 Ejemplo 5 x 7.x - 9 ------- -- ------------------ = 2 x – 3 x 2 – 2x – 3 M.c.m. =(x – 3).(x + 1) x. (x+1) (7.x – 9 ) x 2 + x – 7.x + 9 ------------------ -- ------------------ = 2 ; ------------------------ = 2 (x – 3).(x + 1) (x – 3).(x + 1) (x – 3).(x + 1) x 2 + x – 7.x + 9 = 2.(x – 3).(x + 1) x 2 + x – 7.x + 9 = 2.(x 2 – 2x – 3 ) x 2 – 6.x + 9 = 2.x 2 – 4x – 6 0 = x 2 + 2.x – 15 - 2 ± √4 +60 - 2 ± 8 x= ------------------ = --------------- = 3 y - 5 2 2 El 3 no vale como solución de la ecuación al ser un cero del denominador.

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 TEMA 4.4 * 1º BCS ECUACIONES CON RADICALES

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I8 ECUACIONES CON RADICALES ECUACIONES RADICALES Son aquellas en las que aparece la incógnita en alguno de sus términos, bajo el signo radical PROCEDIMIENTO DE RESOLUCIÓN Cuando aparezcan en una ecuación algebraica una sola raíz, cuadrada o no, se dejará ésta sola a un lado de la igualdad y se elevarán ambos términos a la potencia necesaria para que desaparezca la raíz. Habrá que aplicar los productos notables y posteriormente hallar las raíces de la ecuación resultante. Si hubiera dos o más raíces cuadradas, no es necesario agruparlas todas a un sólo lado de la igualdad antes de elevar ambos términos al cuadrado. Al elevar al cuadrado ambos términos de una igualdad, pueden aparecer otras soluciones distintas de las de la ecuación original, que no valdrían. Ejemplo: x = 2  x 2 = 4 es correcto  x = 2 (correcto) y x = - 2 (no valdría)

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I9 Nota previa Lo aprendido en este apartado servirá para hallar, entre otras, las funciones inversas, lo más importante del Tema 6. Ejemplo_1 √(3.x – 2) - 4 = 0 Se deja sola la raíz cuadrada: √(3.x – 2) = 4 Se elevan ambos términos al cuadrado: √(3.x – 2) 2 = 4 2 3.x – 2 = 16 3.x = 18 x = 6 Y se comprueba el resultado obtenido, aunque sea sólo mentalmente: √(3.6 – 2) - 4 = 0 √(18 – 2) - 4 = 0 √16 - 4 = 0 4 – 4 = 0

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I10 Ejemplo_2 2. √ (x +4)= √ (5.x+4) Se elevan ambos términos al cuadrado: [2. √ (x + 4) ] 2 = [√ (5.x + 4) ] 2 4.(x + 4) = 5.x + 4 4.x + 16 = 5.x + 4 16 – 4 = 5.x – 4.x 12 = x Y se comprueba el resultado obtenido, aunque sea sólo mentalmente : 2. √ (12 +4)= √ (5.12+4) 2. √ 16= √ (60 + 4) 2. 4= √ 64 8 = 8

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I11 Ejemplo_3 √ (2.x – 1) + √ (x + 4) = 0 √ (2.x – 1) = - √ (x + 4) Se elevan ambos términos al cuadrado: √ (2x – 1) 2 = [- √ (x + 4) ] 2 2.x – 1 = x + 4 2.x – x = 4 + 1 x = 5 Y se comprueba el resultado obtenido, aunque sea sólo mentalmente : √ (2.5 – 1) + √ (5 + 4) = 0 √ (10 – 1) + √ 9 = 0 √ 9 + √ 9 = 0 3 + 3 = 0 6 = 0, lo cual es falso. La única solución no es válida.

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I12 Ejemplo_4 √ (2.x + 5) + √ (x + 7) = 6 Se deja una raíz a un lado (no es obligado, pero se opera mejor): √ (2.x + 5) = 6 - √ (x + 7) Se elevan ambos términos al cuadrado: √ (2x + 5) 2 = [ 6 - √ (x + 7) ] 2 2.x + 5 = 36 – 12. √ (x + 7) + x + 7 Se deja sola la única raíz resultante: 2.x + 5 – 36 – x – 7 = - 12 √ (x + 7) x – 38 = - 12.√ (x + 7) Se elevan ambos términos al cuadrado: (x – 38) 2 = [- 12.√ (x + 7)] 2 x 2 – 76.x + 1444 = 144.(x + 7)

13 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I13 … Ejemplo_4 Se opera: x 2 – 76.x + 1444 – 144.x – 1008 = 0 x 2 – 220.x + 436 = 0 Se resuelve la ecuación de segundo grado resultante: 220 +/- √ (220 2 – 4.1.436) 220 +/- 216 x = ---------------------------------- = ----------------- 2 2 220 +/- √ (220 2 – 4.1.436) 220 +/- 216 218 x = ---------------------------------- = ----------------- = 2 2 2 Y se comprueba: x = 2  √ 9 + √ 9 = 6  3 + 3 = 6 Válida x = 218  √ 441 + √ 225 = 6  21 + 15 = 6 No es válida

14 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I14 Ejemplo_5 4.x + 10 ------------------- = √ (2.x + 5) + √ (x + 7) √ (x + 7) Se pasa el denominador multiplicando: 4.x + 10 = √ (x + 7).[√ (2.x + 5) + √ (x + 7)] 4.x + 10 = √ (x + 7).√ (2.x + 5) + (x + 7) 4.x + 10 – x – 7 = √ [(x + 7).(2.x + 5)] 3.x + 3 = √ (2.x 2 + 19.x + 35) Se elevan ambos términos al cuadrado: (3.x + 3) 2 = 2.x 2 + 19.x + 35 9.x 2 + 18.x + 9 = 2.x 2 + 19.x + 35 7.x 2 – x – 26 = 0 Y se resuelve la ecuación de segundo grado: x = [1 ± √ (1 + 728)] / 14 = [1 ± 27] / 14 = 2 y - 13/7 Se comprueba que x = 2 es válida, pero x = -13/7 no lo es.