COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

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1 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Tema * 4º ESO Opc B @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

2 OPERACIONES CON FUNCIONES
SUMA DE FUNCIONES Sea f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real. Llamamos función SUMA y la denotamos así: (f+g)(x) = f(x) + g(x) PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA FUNCIÓN Sea f(x) una función real de variable real y k un número real. Tenemos que (k.f)(x) = k.f(x) PRODUCTO DE FUNCIONES Llamamos función PRODUCTO y la denotamos así: (f.g)(x) = f(x) . g(x) DIVISIÓN DE FUNCIONES Sea f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real, donde g(x) <> 0. Llamamos función DIVISIÓN y la denotamos así: (f/g)(x) = f(x) / g(x) Nota: Dom [Operación] = Dom f(x) ∩ Dom g(x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

3 Matemáticas 4º ESO Opción B
EJEMPLO_1 DE FUNCIÓN SUMA Sea f(x) = x+1 y g(x) = 1 / ( x – 1). Dom f(x) = R , pues para cualquier x є R existe una imagen o valor de f(x) Dom g(x) = R – {1} , pues cuando x=1  f(1) = 1/0 = ∞ , que no existe. Sea (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x / ( x – 1) = (x2 – 1 +1) /(x-1) = x2 / (x-1) Como se ve Dom (f+g)(x) = R – {1} , intersección de los dominios. La función suma es posible efectuarla en todo R excepto en x=1 EJEMPLO_2 DE FUNCIÓN SUMA Sea f(x) = √x y g(x) = √-x Dom f(x) = R+ , pues x debe ser positivo para que exista una imagen o valor de f(x) Dom g(x) = R- , pues x debe ser negativo para que exista una imagen o valor de f(x) Sea (f + g)(x) = f(x) + g(x) = √x +√-x Como se ve Dom (f+g)(x) = 0, intersección de los dominios. La función suma sólo existe cuando x=0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

4 Matemáticas 4º ESO Opción B
EJEMPLO_1 DE FUNCIÓN PRODUCTO Sea f(x) = x y g(x) = 1 / ( x – 1). Dom f(x) = R , pues para cualquier x є R existe una imagen o valor de f(x) Dom g(x) = R – {1} , pues cuando x=1  f(1) = 1/0 = ∞ , que no existe. Sea (f . g)(x) = f(x) . g(x) = ( x – 1) . 1 / ( x – 1) = (x – 1) / (x - 1) = 1 A pesar de que el resultado, (f.g)(x) = 1) es una constante, independiente de x , el Dom (f .g)(x) = R – {1} , intersección de los dominios. EJEMPLO_2 DE FUNCIÓN PRODUCTO Sea f(x) = √x y g(x) = √ 2 - x Dom f(x) = V x є [1 , +∞) Dom g(x) = V x є (-∞ , 2] Sea (f .g)(x) = f(x) . g(x) = √x-1 .√2-x = √ - x2 + 3x - 2 Como se ve Dom (f+g)(x) = [1, 2], intersección de los dominios. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

5 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Sea f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real. Llamamos función COMPUESTA a alguna de las siguientes expresiones: (f o g)(x) = f [ g (x) ]  En f(x) sustituimos las x por g(x) (g o f)(x) = g [ f (x) ]  En g(x) sustituimos las x por f(x) Ejemplo_1 Sea f(x) = 1 / x ,, g(x) = x2 – 1 f(2) = 1 / 2 , f(– 3) = – 1 / 3, etc. De igual manera: (f o g)(x) = f [ g (x) ] = 1 / (x2 – 1) g(2) = 4 – 1 = 3 , f(– 3) = 9 – 1= 8, etc. De igual manera: (g o f)(x) = g [ f (x) ] = (1 / x) 2 – 1 = (1 / x2) – 1 = ( 1 - x2) / x2 Como se ve es muy diferente (f o g)(x) que (g o f)(x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

6 Matemáticas 4º ESO Opción B
Ejemplo_2 Sea f(x) = √ x ,, g(x) = x2 (f o g)(x) = f [ g (x) ] = √ x2 = x (g o f)(x) = g [ f (x) ] = (√ x)2 = x Son muy pocas las funciones en que se cumpla (f o g)(x) = (g o f)(x) Ejemplo_3 Sea f(x) = sen x ,, g(x) = x2 – 1 (f o g)(x) = f [ g (x) ] = sen (x2 – 1) (g o f)(x) = g [ f (x) ] = (sen x) 2 – 1 Como se ve es muy diferente (f o g)(x) que (g o f)(x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

7 Matemáticas 4º ESO Opción B
Ejemplo_4 Sea f(x) = √ x 4 (f o f)(x) = f [ f (x) ] = √ (√ x ) = √ x 8 (f o f o f)(x) = f [ f (f(x) ] = √ (√ (√ x)) = √ x Ejemplo_5 Sea f(x) = sen x ,, g(x) = x2 – 1 ,, h(x) = √x (f o g o h)(x) = f [ g (h(x)) ] = sen ((√ x)2 – 1) = sen (x – 1) (g o f o h)(x) = g [ f (h(x)) ] = (sen √ x) 2 – 1 A veces entran en juego tres o más funciones para la composición de las mismas. Se han hecho dos de los muchos ejemplos posibles. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

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FUNCIONES INVERSAS Tema * 4º ESO Opc B @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

9 FUNCIÓN INVERSA DE OTRA
Sea y = f(x) una función real de variable real. Llamamos función INVERSA a la expresión y = f -1 (x) Condición: Si f(a) = b  f -1 (b) = a Para hallar la función inversa, si la tiene, se intercambian las x por las y, y después se despeja la variable y. Relaciones entre una función y su inversa: (f -1 o f )(x) = f -1 [ f (x)] = x (f o f -1 )(x) = f [ f -1 (x) = x Es decir, que (f -1 o f )(x) = (f o f -1 )(x) = x Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante, o sea respecto a la recta y = x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

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Ejemplo 1 Sea f(x) = 1 / (x – 2) y = 1 / (x – 2)  x = 1 / (y – 2)  x.y – 2.x = 1  y = (1 + 2.x) / x Luego f -1 (x) = (1 + 2.x) / x es la inversa de la función dada. Comprobemos: (f o f -1)(x) = 1 / ([(1 + 2.x) / x] – 2) = x (f -1 o f)(x) = (1 + 2.[ 1 / (x – 2)]) / [1 / (x – 2)] = x Ejemplo 2 Sea f(x) = √ (x – 1) y = √ (x – 1)  x = √ (y – 1)  x 2 = y – 1  y = x2 + 1 Luego f -1 (x) = x2 + 1 Comprobemos: (f o f -1)(x) = √ (x2 + 1 – 1) = √ x2 = x (f -1 o f)(x) = [√ (x – 1)] = x – = x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

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Ejemplos gráficos 1 y 2 y = - 2.x y = 2.x + 1 y = - x / 2 y = (1/2).x - 2 En color rojo f(x) y en color azul f-1(x), o viceversa. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

12 Matemáticas 4º ESO Opción B
Ejemplos gráficos 3 y 4 y = x2 +1 y = ex y = ln x y = √ (x-1) En color rojo f(x) y en color azul f-1(x), o viceversa. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

13 FUNCIÓN INVERSA Y DOMINIO
Toda función y = f(x) presenta una expresión INVERSA y =f -1 (x) Pero no siempre el resultado será una función. Para que una función inversa lo sea, hay que definir y acotar bien los dominios de la función original. EJEMPLO 5 Sea y = x 2 +1, que como sabemos es una función par y Dom f(x) = R Hallamos su inversa: y = x  x = y  y = ± √(x – 1) El resultado no es una función, pues para cada valor de x le corresponde dos valores diferentes de y, lo que contradice la definición de función. El resultado es una correspondencia, pero no una función. Lo vemos gráficamente… @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

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Ejemplo gráfico 5 Vemos que una recta vertical corta a la supuesta función inversa en dos puntos: Para un valor determinado de x tenemos dos valores diferentes de y. Por ello no es función INVERSA. Para que lo fuera: Sea y = x2 +1 Definida en [0 , +oo) La inversa sería: y = + √(x – 1) Definida en [1 , +oo) Definida en (– oo , 0] y = – √(x – 1) y = x2 +1 y = ± √ (x-1) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

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Ejemplo gráficos y 5.2 y = x2 +1 y = x2 +1 5.1 5.2 y = √ (x-1) y = – √ (x-1) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B