RADICALES DÍA 04 * 1º BAD CS.

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1 RADICALES DÍA 04 * 1º BAD CS

2 Raíz de un número EXPRESIÓN RADICAL índice n √ a = r raíz radicando
√ a = r si se verifica que r = a, siendo n > 1 un número natural.

3 RADICALES EQUIVALENTES
Si se multiplica o divide el índice y el exponente del radicando por un mismo número distinto de 0, la raíz no varía. Ejemplos: √ 2 8 = [ Multiplicamos por 3 ] = √ = √ 2 24 / √ 2 8 = [ Dividimos entre 2 ] = √ 2 8 / 2 = √ = √ 2 4 / √ 2 3 = [ Dividimos entre 3 ] = √ 2 3/3 = √ 2 1 = √ 2 Nota: Cuando el índice, n, es 2 se omite su escritura.

4 FORMA EXPONENCIAL DE LOS RADICALES
EXPRESIÓN EN POTENCIA DE UN RADICAL n m m / n √ a = a Una expresión radical siempre se puede expresar como una potencia, donde el exponente va a ser una fracción tal que el denominador, n, es el índice del radical. Ejemplos: / / 5 √ 2 = ; √ 7 = 7

5 PROPIEDADES DE LOS RADICALES
n.p n √ap = √a  Ejemplo: √ 9 = √ 32 = √ 3 PROPIEDAD 2: n n √ap = ( √a )p  Ejemplo: ( √ 5 ) 2 = √ 52  Contraejemplo: ( √ (- 3) ) 2 <> √ (- 3)2 PROPIEDAD 3: m n m.n √ ( √ a ) = √ a  Ejemplo: √ (√ 3 ) = √ 3

6 PROPIEDAD 4: n n n √a. b = √a √b  Ejemplo: √ 6 = √ = √ 2. √ 3 PROPIEDAD 5: n n n √a / b = √a / √b  Ejemplo: √ 2 = √ 6 / 3 = √ 6 / √ 3

7 Ejemplo 1 /3 3 √ 2 . √ 4 = √ = √ 8 = 2 Ejemplo 2 /7 1 √ 512 : √ 4 = √ (512 : 4) = √ 128 = √ 2 = = 2 = 2 Ejemplo 3 / √ 81 : √ 3 = √ (81 : 3) = √ 27 = √ 3 = = 3 = 3

8 Ejemplo 4 √ 2 . √ 4 Como no tienen el mismo índice no se pueden multiplicar. Hacemos radicales equivalente de forma que tengan el mismo índice ( el mínimo común múltiplo de los índices, el 15): √ 2 = √ 2 √ 4 = √ 4 Ahora y se pueden multiplicar √ √ = √ ( ) = √ = √ 2

9 Ejemplo 5 √ 2 . √ 2 . √ 2 Como no tienen el mismo índice no se pueden multiplicar. Hacemos radicales equivalente de forma que tengan el mismo índice ( el mínimo común múltiplo de los índices, el 12): √ 2 = √ 2 √ 2 = √ 2 Ahora ya se pueden multiplicar √ √ √ = √ = √ = √ 2 = √ = √ 4

10 Ejemplo 6 ( √ 2 ) = √ 2 = √ 4 Ejemplo 7 ( √ 81 ) = √ (3 ) = √ 3 = √ = 3. √ 3 = Ejemplo 8 √ (√ 2) = √ 2 = √ 2

11 OPERACIONES CON RADICALES
EXTRACCIÓN DE FACTORES Siempre que se pueda es muy conveniente extraer factores de un radical. Para ello se factoriza el radicando y se buscan potencias con el mismo índice de la raíz. Ejemplo 1: √ = √ = √ 2 Ejemplo 2: √ = √ = √ = √ 2 = 4. √ 2

12 Ejemplo 3: √ 1 / 32 = √ 1 / 25 = ( 1 / 2 ). √ 1 / 1 = (1 / 2). √ 1 = 1 / 2 El 2 sale fuera de la raíz. Pero como estaba dividiendo, sale dividiendo. Ejemplo 4: √ 8 / 27 = √ 23 / 33 = 2 / 3 El 2 sale fuera de la raíz, pero como estaba multiplicando sale multiplicando. El 3 sale fuera de la raíz, pero como estaba dividiendo sale dividiendo. Ejemplo 5: √ 32 / 81 = √ 25 / 34 = √ / 34 = (2 / 3). √ 2

13 SUMA DE RADICALES Para que se puedan sumar convenientemente dos o más radicales, deben tener el mismo índice y el mismo radicando. 3 √ √ 5  No se pueden sumar. Habría que dejar indicada la suma. √ √ 5  No se pueden sumar Habría que dejar la suma indicada. √ √ 16 = √ √ = √ 2 + √ = √ √ 2 Sacando factor común a √ 2 tenemos: √ 2 . ( ) = √ 2

14 RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
Caso 1 Hay raíces cuadradas en el denominador. Procedimiento: Se multiplica numerador y denominador por dicha raíz cuadrada. Ejemplo: √ √ √2 ----- = = = √ √2. √ (√2) 6.√ √2.√ √ √6 = = = = 2. √6 √ √3.√ (√3)

15 Caso 2 Hay raíces de índice n <> 2 en el denominador. Procedimiento: Se multiplica numerador y denominador por la raíz de índice n elevada a la potencia complementaria. Ejemplo: √ √ √ √ ----- = = = = = 2,5. √22 √ √2. √ √(2.22) √ 6.√ √2.√ √2. √ √2. √ = = = = 2.√2.√33 √ √32 √ √

16 Caso 3 Hay sumas o diferencias en el denominador en las cuales intervienen raíces cuadradas: Procedimiento: Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. Ejemplo: (3 + √2) (3 +√2) √2 = = = 3 - √ (3 - √2).(3 + √2) √ √2.(√3 - √2) √ √6 - 2 = = = = √6 – 2 √3 + √ (√3 + √2).(√3 - √2) –