Modelos matemáticos del proceso de muestreo y retención

Presentación del tema: "Modelos matemáticos del proceso de muestreo y retención"— Transcripción de la presentación:

1 Modelos matemáticos del proceso de muestreo y retención

2 La estructura matemática del muestreador
El muestreador es un dispositivo que convierte una señal analógica en un tren de pulsos de amplitud modulada o en una señal de datos muestreados.

3 La estructura matemática del muestreador
Diagrama a bloques de un muestreador periódico con una duración de muestra finita. La duración del pulso de muestreo es p, y T es la duración del periodo de muestreo. La entrada es la señal continua y la salida es un tren de pulsos de ancho finito.

4 La estructura matemática del muestreador
Otra manera de ver lo anterior es que la entrada está multiplicada por una señal portadora formada por un tren de pulsos periódicos, con amplitud unitaria cada uno.

5 La estructura matemática del muestreador
Dado que el tren de pulsos unitarios es una función periódica con periodo T, puede representarse con una serie de Fourier. Donde es la frecuencia de muestreo

6 La estructura matemática del muestreador
Los coeficientes complejos de Fourier están dados por Dado que para se tiene

7 La estructura matemática del muestreador
De nuevo la señal portadora queda como Y la salida como

8 La estructura matemática del muestreador
La transformada de Fourier de la salida queda como

9 La estructura matemática del muestreador
Ahora observaremos unos hechos importantes de la salida muestreada a partir de su transformada de Fourier La componente de frecuencia que corresponde a n=0 se puede escribir como

10 La estructura matemática del muestreador
La ultima expresión nos dice que los componentes en frecuencia de la señal original siguen presentes a la salida del muestreador. Para n¹0, Cn es una cantidad compleja, que se puede escribir como

11 La estructura matemática del muestreador
Y la magnitud de la salida queda como El espectro de frecuencia de la señal muestreada es la gráfica de los coeficientes de Fourier Cn como función de w, tal como se muestra a continuación.

12 La estructura matemática del muestreador
Se observa que no es una función continua, el espectro está formado por líneas espaciadas una distancia para n=±1, ±2,...

13 La estructura matemática del muestreador
Si el espectro de la función de entrada está limitado en banda como se muestra en (b), entonces el espectro de amplitud de la salida tiene la forma de (c)

14 La estructura matemática del muestreador
El espectro de la función de salida se esquematizó suponiendo que la frecuencia de muestreo es dos veces mayor que la frecuencia contenida en f(t), ; esto es, Si , entonces aparecerá una distorsión en el espectro de frecuencia en la salida como consecuencia de los traslapamientos de los componentes armónicos.

15 La estructura matemática del muestreador
La figura (d) muestra este hecho. Alrededor de cero tiene poco parecido con la señal original. En teoría la señal original se puede obtener de (c) con un filtro pasa-bajas ideal con ancho de banda entre y

16 La estructura matemática del muestreador
TEOREMA DE SHANNON Si una señal no contiene componentes en frecuencia mayores de , está determinada de manera única si la frecuencia de muestreo es mayor que

17 La estructura matemática del muestreador
Ejemplo de una señal mal muestreada

18 Dispositivos de retención
El dispositivo de retención es la forma más sencilla del problema general de reconstrucción de datos. Este proceso puede obtenerse como un proceso de extrapolación. Dado que la señal continua se construye con base en la información contenida sólo instantes de muestreo pasados.

19 Dispositivos de retención
Por ejemplo, la señal original f(t) entre dos instantes de muestreo consecutivos, kT y (k+1)T, debe estimarse con base en los valores de f(kT), f((k-1)T),..., f(0). Uno de los métodos para generar la aproximación deseada se basa en el desarrollo de la serie de Taylor alrededor de kT, y que sería válido hasta (k+1)T.

20 Dispositivos de retención
donde Entre mayor sea el orden de la derivada que se quiera aproximar, mayor será el número de datos que se requieran.

21 Dispositivos de retención
El dispositivo de extrapolación descrito está formado por una serie de retrasos que depende de la exactitud que se quiera tomar. Por otro lado se sabe que el retraso tiene un efecto adverso sobre la estabilidad de los sistemas de control.

22 Dispositivos de retención
Se presenta al retenedor de orden cero (ROC) como el dispositivo que sólo toma en cuenta el primer término de la serie de Taylor, a fin de aproximar a f(t) en el intervalo comprendido entre kT<t<(k+1)T Se le denomina extrapolador de orden cero, ya que el polinomio utilizado para efectuar esta función es de grado cero.

23 Dispositivos de retención
El efecto del retenedor de orden cero puede verse como la acción de dos escalones La función de transferencia del ROC se obtiene tomando la transformada de Laplace

24 Dispositivos de retención
El espectro de frecuencias se calcula por

25 Dispositivos de retención

26 Dispositivos de retención
El el efecto del retenedor más muestreador. La figura (b) muestra una señal acotada en frecuencia y en (c) apreciamos como se generan armónicos por el muestreador y como es la salida del ROC (gráficas azules).

27 Dispositivos de retención
Se presenta al retenedor de primer orden (RPO) como el dispositivo que sólo toma en cuenta los dos primeros término de la serie de Taylor, a fin de aproximar a f(t) en el intervalo comprendido entre kT<t<(k+1)T.

28 Dispositivos de retención
La función de transferencia del RPO está determinado por la siguiente expresión

29 Dispositivos de retención
El espectro de frecuencias se calcula por

30 Dispositivos de retención

31 Dispositivos de retención
Los valores pico del RPO poseen una magnitud mayor que los del ROC, lo cual explica la presencia de componentes tipo rampa en la salida del RPO.

32 Dispositivos de retención