Cap. 7 Energía Cinética y Trabajo

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1 Cap. 7 Energía Cinética y Trabajo

2 El Concepto de Energía Aunque el concepto de fuerza nos permite “entender” un montón acerca de cómo trabajan las cosas, se ha encontrado que, para ciertos propósitos, y bajo ciertas circunstancias, hay otro concepto que es más fácil de usar, el concepto de energía. Luego se encontró que hay sistemas para los cuales las leyes de Newton no aplican. Sin embargo, la ley de energía es universal. Así que energía es el concepto más importante en la física. No es fácil dar una definición general de energía. Hay diferentes tipos de energía y cada cuál se define de una manera diferente. Sin embargo, una vez dominamos las definiciones, la ley de energía muchas veces es mucho más fácil de usar que las leyes de Newton.

3 Conservación de Energía
El concepto de energía es más sutil que el de fuerza. Un sistema en un estado físico dado, tiene cierta cantidad de energía. Esto lo que quiere decir es que yo puedo calcular un número asociado a ese estado de ese sistema. Si cambia el estado del sistema, la energía puede cambiar. Sin embargo, se ha encontrado que en ese proceso de cambio la energía del resto del universo habrá sufrido el cambio inverso. En otras palabras, la energía del universo total nunca cambia. Se mantiene igual. Se conserva. Esta es la ley más importante en la física. Dada esta ley, podemos pensar en términos de que en un proceso la energía se transfiere de un sistema a otro. A veces se dice que “fluye” pero debes entender que la energía no es algo material.

4 Energía Cinética El primer tipo de energía que estudiaremos es la energía cinética. Está asociada a la rapidez de los objetos en un sistema. Se define como: Se mide en Joules. Muchas veces la manera más fácil de calcular el cuadrado de la rapidez es como la suma de los cuadrados de los componentes de la velocidad.

5 Trabajo Una manera de transferir energía a un objeto es hacer una fuerza sobre el objeto. El trabajo es la energía transferida de esta manera. Se dice que la fuerza (o el otro objeto que es la fuente de esa fuerza) hizo trabajo en el proceso. Puede ser positivo si la energía del objeto aumenta o negativo si disminuye. Ejemplo; Caida libre, Fuerza - la gravedad, Otro objeto – la tierra. Si se mueve hacia abajo, aumenta su energía cinética. La gravedad (o la tierra) hizo trabajo positivo. Si se mueve hacia arriba, disminuye su energía cinética. La gravedad (o la tierra) hizo trabajo negativo. Fíjate que esta definición no coincide con la definición común de “hacer trabajo” en la vida diaria.

6 Definición de Trabajo Para un proceso en que un objeto tiene un desplazamiento vectorial, usando la segunda ley, podemos demostrar que el trabajo que hace una fuerza actuando sobre el objeto se tiene que definir de la siguiente manera: donde Φ es el ángulo entre el desplazamiento y la fuerza. Matemáticamente, otra manera de escribir W es como el producto escalar entre los vectores: En términos de componentes, el producto escalar se puede calcular como: W = Fx dx + Fy dy + Fz dz

7 Teorema de Energía-Trabajo
Si hay más de una fuerza, los trabajos se pueden sumar para encontrar el trabajo neto. Alternativamente, las fuerzas se pueden sumar. Por supuesto, esta es la fuerza neta, o sea, el trabajo neto también es el trabajo que hace la fuerza neta. Usando la segunda ley, podemos demostrar que el trabajo neto está relacionado con el cambio en la energía cinética del objeto. WN = También se puede escribir como:

8 Trabajo de la Fuerza de Gravedad
Yo hago esto un poco diferente al libro. Defino una coordenada de posición vertical “y” positiva hacia arriba, o sea, “y” es la altura. Entonces el cálculo del trabajo que hace la gravedad está dada por una expresión muy sencilla, WG = - mgΔy, donde Δy es el cambio en la altura, o sea, yf - yi. Fíjate que WG es positivo cuando el movimiento es hacia abajo, o sea, Δy negativo. Esto tiene sentido ya que la fuerza de gravedad es hacia abajo y, en términos generales, cualquier trabajo es positivo cuando el desplazamiento es en la dirección general de la fuerza. Fíjate que, para cualquier desplazamiento, el único componente que importa es el vertical. Por supuesto, en términos generales, la magnitud del desplazamiento total no coincidirá con el componente vertical. El componente vertical será la magnitud multiplicada por el coseno del ángulo entre ellos que es la fórmula que da el libro. Esa fórmula enfatiza el hecho de que el trabajo es un producto escalar. Yo prefiero enfocar el hecho de que la fuerza de gravedad es en dirección vertical. Luego, si lo que me dan es el desplazamiento total, uso geometría para calcular el componente vertical.

9 La Realidad Física de un Resorte
Este sistema incluye una masa en el extremo del resorte. En el primer dibujo la masa está en la posición de equilibrio. Fíjate en la dirección de la fuerza que hace el resorte en diferentes posiciones. Cómparala con la dirección del vector de posición (desplazamiento con respecto a la posición de equilibrio). Imagínate que es tu mano halando y empujando el resorte. Verdad que tienes que hacer más fuerza mientras más halas o empujas? Hay más comentarios en la próxima transparencia.

10 La Fuerza de un Resorte Este es uno de los ejemplos más importantes ya que es precisamente para este tipo de situación donde el concepto de energía será más útil. Esta es una fuerza variable y, por tanto, la aceleración será variable. La segunda ley se convierte en una ecuación diferencial de segundo orden que es difícil de resolver. Pero el concepto de energía me permitirá resolver ciertos problemas con una ecuación mucho más sencilla. Esa ecuación corresponde al teorema de energía-trabajo. Tu has tenido experiencia con varias cosas que trabajan como un resorte, por ejemplo, una “gomita” (rubber band). Estas cosas tienen una posición de equilibrio (cuando no se le hace fuerza). Hay que hacer fuerza para sacarlas de la posición de equilibrio. Cuando la sacamos de la posición equilibrio, la fuerza que uno hace es igual a la fuerza que hace el resorte sobre uno (tercera ley). Observamos que esta fuerza no es constante. Hay que hacer más fuerza para lograr un desplazamiento más grande. Esto se debe a que el resorte hace una fuerza que depende del desplazamiento con respecto a la posición de equilibrio. Un resorte siempre hace fuerza hacia la posición de equilibrio. La coordenada de posición más sencilla tiene el origen en esa posición de equilibrio. Tomemos un resorte horizontal. Hace fuerza en ambas direcciones (derecha e izquierda) dependiendo de la posición. Si está a la derecha, hace fuerza hacia la izquierda y vice versa. La magnitud de la fuerza es variable (cambia con la posición). De hecho, es proporcional a la distancia medida desde la posición de equilibrio. Matemáticamente, F = - k x , donde F, x son variables con signo. K es la constante del resorte, siempre es positiva. Corresponde a la rigidez del resorte. Esta fuerza (como toda fuerza) puede hacer trabajo positivo o negativo ya que la masa puede estar a cualquiera de los dos lados moviéndose en cualquiera de las dos direcciones.

11 Trabajo de la Fuerza de un Resorte
Cuando la fuerza es variable, el trabajo se puede calcular haciendo un integral. Esto parece complicar la matemática pero, en realidad, el integral lo haremos una sola vez y luego sólo usaremos el resultado del integral. La fórmula general que es correcta para cualquier fuerza variable en una dimension es: El resultado particular para la fuerza de un resorte es: Fíjate que el término de la posición inicial es positivo y se le resta el término de la posición final. Esto se debe al signo negativo en la expresión de la fuerza. Fíjate que el trabajo puede ser >0 o <0 dependiendo si la masa se alejó o se acercó a la posición de equilibrio. El primer caso corresponde a W>0 y el segundo a W<0.

12 Trabajo de la Fuerza de un Resorte, continuación
Fíjate que el trabajo depende sólo de las posiciones iniciales y finales y no del movimiento exacto de cómo se llega de una posición a la otra. Tu sabes que el movimiento de un resorte tiende a ser oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio. El trabajo durante una oscilación es cero porque es positivo durante ciertas partes de la oscilación y negativo durante otras partes. La fórmula confirma esto ya que en una oscilación se regresa al punto de partida y los dos términos en la expresión se cancelan.

13 El Teorema de Energía-Trabajo
Vale la pena repetir lo siguiente. Algunas situaciones son muy dificiles de analizar con la segunda ley. Pero el concepto de energía me permitirá resolver ciertos problemas con una ecuación mucho más sencilla. Esa ecuación corresponde al teorema de energía-trabajo. El teorema de energía-trabajo es la ecuación fundamental que usamos para analizar situaciones sencillas usando el concepto de energía. Estamos hablando de analizar el movimiento de una sola masa. Repetimos la ecuación: Muy Importante: El trabajo en esta ley es el trabajo neto, o sea, la suma de los trabajos de todas las fuerzas que están actuando sobre el objeto. Puedes mirar la prueba matemática en el libro de que este teorema es una ley universal que es correcta bajo todas condiciones, o sea, aún cuando la fuerza es variable y aún cuando la fuerza y el desplazamiento son en tres dimensiones. WN =

14 Potencia Potencia es la razón a la cual se hace trabajo.
En un proceso podemos hablar de la potencia promedio como el trabajo dividido por el intervalo de tiempo. Si tomamos el límite en el cuál el tiempo es pequeño, definimos la potencia instantanea que puede estar variando con el tiempo o puede ser constante. La potencia instantanea está relacionada con la velocidad instantanea de una manera muy sencilla. Puedes mirar la derivación en el libro.

15 La Diferencia entre Potencia y Trabajo
Si hago la misma cantidad de trabajo pero lo hago más rapido entonces tengo más potencia. Un motor es un aparato que hace trabajo. Los motores se diferencian por su potencia. En el Sistema Internacional, la potencia se mide en Watts (W=J/s), en español se dice Vatios. Fíjate que esa unidad no solamente está relacionada con electricidad. Fíjate que si multiplico un kiloWatt por una hora, eso es una unidad de potencia multiplicado por una unidad de tiempo así que el resultado es una unidad de energía. Es precisamente la unidad que usa la AEE para medir la energía que vende. Por supuesto, para la AEE lo importante es el total de energía que se consumió y no los detalles de cuán rápido se consumió. En el sistema inglés, la potencia se mide en “caballos de fuerza” (horsepower) cuya abreviatura es hp. Probablemente has visto esta unidad en la placa de un motor. Es un término histórico y desafortunado porque en realidad no es una fuerza.