@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato C.T.1 PRIMERA DERIVADA DÍA 47 * 1º BAD CT.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato C.T.1 PRIMERA DERIVADA DÍA 47 * 1º BAD CT

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato C.T.2 INTERVALO Y ENTORNO Sea un intervalo cerrado [a, b] en R. Representa el conjunto de valores tales que a ≤ x ≤ b Sea un intervalo abierto (a, b) en R. Representa el conjunto de valores tales que a < x < b Sea el entorno cerrado E[a, r] en R. Representa el conjunto de valores tales que (a – r) ≤ x ≤ (a + r) Sea el entorno abierto E(a, r) en R. Representa el conjunto de valores tales que (a – r) < x < (a + r) El intervalo [-2, 2] representa lo mismo que el entorno E[0, 2]. El intervalo (-1, 5] representa lo mismo que el entorno E(2, 3). Cuando lo que interesa de una función es su comportamiento en las cercanías de un punto de su dominio se emplea el entorno. ENTORNO DE UN PUNTO

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato C.T.3 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO Sea una función f(x) definida en el entorno de un punto x=a. f(x) es creciente en x=a si existe un entorno de a para el que se cumple: f(a) < f(x) en todo punto x de dicho entorno situado a la derecha de a (x < a). f(a) > f(x) en todo punto x de dicho entorno situado a la izquierda de a (x > a). f(x) es decreciente en x=a si existe un entorno de a para el que se cumple: f(a) > f(x) en todo punto x de dicho entorno situado a la derecha de a (x < a). f(a) < f(x) en todo punto x de dicho entorno situado a la izquierda de a (x > a). EXTREMOS RELATIVOS f(x) tiene un máximo relativo en x=a si existe un entorno de a para el que se cumple f(a) ≥ f(x). f(x) tiene un mínimo relativo en x=a si existe un entorno de a para el que se cumple f(a) ≤ f(x) EXTREMOS RELATIVOS

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato C.T.4 EJEMPLO 1 Sea la función: y = 2.x 3 + 3.x 2 – 12.x – 5 Hallamos su derivada: y ‘ = 6.x 2 + 6.x – 12 Simplificamos: y ‘ = 6.(x 2 + x – 2 ) Resolvemos la ecuación: x = - 2 y x = 1 son las raíces de y ‘ Factorizamos: y ‘ = 6.( x + 2).(x – 1) Los intervalos a estudiar son: (-oo, -2), (-2, 1) y (1, +oo) En ( - oo, -2)  y ` > 0  Pendiente positiva  Función Creciente. En ( - 2, 1)  y ` < 0  Pendiente negativa  Función Decreciente. En ( 1, + oo)  y ` > 0  Pendiente positiva  Función Creciente. Ejemplos

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato C.T.5 EJEMPLO 2 Sea la función: y = x 3 – 12.x Hallamos su derivada: y ‘ = 3.x 2 – 12 Simplificamos: y ‘ = 3.(x 2 – 4 ) Resolvemos la ecuación: x = - 2 y x = 2 son las raíces de y ‘ Factorizamos: y ‘ = 3.( x + 2).(x – 2) Los intervalos a estudiar son: (-oo, -2), (-2, 2) y (2, +oo) En ( - oo, -2)  y ` > 0  Pendiente positiva  Función Creciente. En ( - 2, 2)  y ` < 0  Pendiente negativa  Función Decreciente. En ( 2, + oo)  y ` > 0  Pendiente positiva  Función Creciente. Ejemplos

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato C.T.6 Gráfico 0 a-r a a+r b-r b b+r f(a+r) f(a) f(a-r) f(b-r) f(b) f(b+r) En x=a la función es creciente En x=b la función es decreciente

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato C.T.7 Gráfico 0 a-r a a+r b-r b b+r f(a) f(a-r) f(a+r) f(b-r)=f(b+r) f(b) En x=a la función tiene un máximo relativo. En x=b la función tiene un mínimo relativo Max(a,f(a)) Min(b,f(b))

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato C.T.8 EJEMPLO 1 Hallar los máximos y mínimos relativos de la función: y = 2.x 3 + 3.x 2 – 12.x – 5 Hallamos su derivada: y ‘ = 6.x 2 + 6.x – 12 La igualamos a cero: 6.x 2 + 6.x – 12 = 0 Simplificamos: x 2 + x – 2 =0 Resolvemos la ecuación: x = - 2 y x = 1 En x = -2 habrá un máximo o un mínimo relativo. En x = 1 habrá un máximo o un mínimo relativo. Normalmente si en uno de los puntos hay un máximo en el otro hay un mínimo. Para determinar si es máximo o mínimo estudiaremos su entorno. Ejemplos

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato C.T.9 - 3 -2 -1 0 1 2 Teníamos la función: y = 2.x 3 + 3.x 2 – 12.x – 5 En x=1 f(1)= 2 + 3 – 12 – 5 = - 12 f(0,9) = 2.0,9 3 + 3.0,9 2 – 12.0,9 – 5 = = - 11,92 f(1,1) = 2.1,1 3 + 3.1,1 2 – 12.1,1 – 5 = = - 11,908 Luego en x=1 hay un MÍNIMO RELATIVO En x= - 2 F(-2)= - 16 + 12 + 24 – 5 = 36 – 21 = 15 f(-1,9) = - 2.1,9 3 + 3.1,9 2 + 12.1,9 – 5 = 14,912 f(-2,1) = 2.(-2,1) 3 + 3.(-2,1) 2 – 12.(-2,1) – 5 = 14,908 Luego en x=-2 hay un MÁXIMO RELATIVO Mín(1, - 12) Máx(-2, 15)

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato C.T.10 EJEMPLO 2 Hallar los máximos y mínimos relativos de la función: y = x 4 – 2.x 2 Hallamos su derivada: y ‘ = 4.x 3 – 4.x La igualamos a cero: 4.x 3 – 4.x = 0 Simplificamos: 4.x.(x 2 – 1) =0 Resolvemos la ecuación: x = 0, x = - 1 y x = 1 En x = 0 habrá un máximo o un mínimo relativo. En x = -1 habrá un máximo o un mínimo relativo. En x = 1 habrá un máximo o un mínimo relativo. Para determinar si es máximo o mínimo estudiaremos su entorno. Ejemplos

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato C.T.11 Tenemos la función: y = x 4 – 2.x 2 Estudiamos el entorno de los puntos críticos. En x=0 f(0)= 0 f(0,1) = 0,1 4 – 2. 0,1 2 = 0,0001 – 0,02 = - 0,0199 f(-0,1) = (-0,1) 4 – 2. (-0,1) 2 = 0,0001 – 0,02 = - 0,0199 Luego en x=0 hay ni Máximo RELATIVO En x=-1 f(-1)= -1 f(-0,9) = (-0,9) 4 – 2.(-0,9) 2 = 0,6561 – 1,62 = - 0,9739 f(-1,1) = (-1,1) 4 – 2.(-1,1) 2 = 1,4641 – 2,42 = - 0,9559 Luego en x=-1 hay ni Mínimo RELATIVO En x=1 f(1)= -1 f(0,9) = (0,9) 4 – 2.(0,9) 2 = 0,6561 – 1,62 = - 0,9739 f(1,1) = (1,1) 4 – 2.(1,1) 2 = 1,4641 – 2,42 = - 0,9559 Luego en x=1 hay ni Mínimo RELATIVO