GUIELDI CON MATEDI DE MATEMÁTICAS II PARA PROFESORES (GUÍA ELECTRÓNICA DIGITAL CON MATERIAL DIDÁCTICO INTERACTIVO DE MATEMÁTICAS DOS PARA PROFESORES) GRUPO.

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1 GUIELDI CON MATEDI DE MATEMÁTICAS II PARA PROFESORES (GUÍA ELECTRÓNICA DIGITAL CON MATERIAL DIDÁCTICO INTERACTIVO DE MATEMÁTICAS DOS PARA PROFESORES) GRUPO INSTITUCIONAL “RENÉ DESCARTES” COORDINADOR ING. JAIME SÁNCHEZ SOTO UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PLANTEL ( 1 ) AZCAPOTZALCO

2 UNIDAD I:FUNCIONES CUADRÁTICAS ING. JAIME SANCHEZ SOTO PROFESOR JASASO UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PLANTEL ( 1 ) AZCAPOTZALCO 02

3 3 MATEM Á TICAS II UNIDAD 1 FUNCIONES CUADR Á TICAS 03

4 4  PROPÓSITOS:  Continuar en el estudio de funciones, a partir del estudio de situaciones que varían en forma cuadrática.  Contrastar este tipo de variación con la lineal.  Analizar el comportamiento de las gráficas de funciones cuadráticas en términos de sus parámetros e iniciar la resolución de problemas de optimización con métodos algebraicos. 04

5 GUIELDI CON MATEDI DE APUBAMA I I GRUPO “RENÉ DESCARTES” INFORME PERÍODO 2012-2013  APRENDIZAJES QUE ADQUIRIRÁ EL ALUMNO CON EL DESARROLLO DE DE LA UNIDAD. Al finalizar la unidad el alumno:  Diferencía dos tipos de variación fundamentales (lineal y cuadrática).  Explora en una situación o problema que da lugar a una función cuadrática, valores, condiciones, relaciones o comportamientos, a través de las tablas, diagramas, etc. que le permitan obtener información del problema, como un paso previo a establecer la representación algebraica.  Reconoce en una tabla si existe variación cuadrática por medio de diferencias finitas.  Obtiene el modelo de la función cuadrática de una situación dada.  Diferencía entre una ecuación cuadrática y una función cuadrática.  Relaciona el número de intersecciones de la curva de una función cuadrática con el eje x, con la naturaleza de las raíces; en particular identifica su ausencia con la existencia de raíces complejas.  Transita por los diferentes tipos de registro de la función cuadrá-tica(tabular, algebraico y gráfico).  Da significado al papel que juegan los parámetros en el comportamiento de una gráfica. 05

6  En el modelo y = a x 2, analiza el impacto de la constante a, y deduce la orientación de la curva.  En el parámetro y = a x 2 + c comprende el papel del parámetro c, en la traslación de la gráfica y = a x 2 hacia arriba ó hacia abajo del eje x, según se le asignen valores positivos ó negativos a c.  En el modelo y = a (x – h) 2 + k, deduce que el impacto de los parámetros h y k es el de trasladar y desplazar la parábola y = a x 2.  Integrar a tu lenguaje términos como concavidad, vértice, máximo, mínimo, traslación y simetría.  Expresar una función cuadrática escrita en la forma general y = a x 2 + bx + c, a la forma estándar y = a (x – h) 2 + k; y poder describirla a partir del análisis de sus parámetros.  Resolver problemas sencillos de máximos y mínimos aprovechando las propiedades de la función cuadrática.  Dar significado a las coordenadas del vértice en términos del valor máximo ó mínimo de la función.  Interpretar el comportamiento de la gráfica dentro del contexto de una situación dada. 06

7  UNIDAD 1: FUNCIONES CUADRÁTICASPÁGINA  ÍNDICE TEMÁTICO  1.1).Situaciones que involucran cambio y que dan origen a funciones cuadráticas. 8  1.2).Comparación de la función cuadrática con la función lineal 15  1.3).Intersecciones de la gráfica de una función cuadrática con el eje x. 20  1.4).Estudio gráfico y analítico de la función: y = a x 2 + b x + c. 25  1.4.1). y = a x 2 27  1.4.2).y = a x 2 + c 29  1.4.3).y = a(x – h ) 2 31  1.4.4). y = a(x – h ) 2 + k. 33  1.5).Concavidad, máximo o mínimo 35  1.6).Problemas de máximos y mínimos resolución algebraica.37 07

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9 Una función expresa la idea de que una cantidad depende de otra ó está determinada por otra cantidad. Por ejemplo:  El color de la piel del ser humano depende del continente de donde sea originario.  El color de los ojos de una persona depende de la herencia de sus padres.  El área de un terreno en forma rectangular depende de su medida en largo y ancho.  El costo de producción de un artículo determinado depende del número de artículos producidos.  La intensidad de luz que proyecta una lámpara depende del número de watts que tenga.  Para determinar el área o el volumen de una esfera se debe de conocer su radio.  Si consideramos a los alumnos de un grupo y f la regla que asigna a cada estudiante su calificación Para cada estudiante nada más una calificación. final. Como cada estudiante tiene una sola calificación final, esta regla define una función, es decir Si una función “ f ” asigna un valor “ y ” en el rango a cierta “ x “ en el dominio, escribimos  09

10 y = f ( x ); se lee f de x ó se denomina el valor de f en x. Si una función se expresa como y = f ( x ), x es variable independiente y a y se le conoce como variable dependiente. En forma general consideramos funciones que se expresan estableciendo el valor de la función por medio de una expresión en términos de una variable independiente determinada. La función y = f ( x ) = 4 x – 3; es una función lineal o de primer grado. La función y = f ( x ) = 2 x2 + 7 x – 4; es una función cuadrática o de segundo grado. La función y = f ( x ) = 8 x3 - x + 4; es una función cúbica o de tercer grado. 10

11 PROBLEMAS Y EJERCICIOS QUE PROPONEMOS PARA RESOLVER DE LA UNIDAD UNO en secuencia didáctica y considerando estrategia didáctica. 1. 1).Tenemos f ( x ) = 3 x 2 + 4x + 6 1.1.1).La función anterior está en términos de x, queremos transformarla en términos de a; para lograrlo lo único que hay que hacer es sustituir a por x en la función y así llegar a la expresión: f( x ) = 3 x 2 + 4x + 6 f ( a ) = 3 ( a ) 2 + 4( a ) + 6 f ( a ) = 3 a 2 + 4a+ 6 1.1.2).Ahora la misma función f(x)=3 x 2 + 4x + 6;transfórmala en términos de 3 f ( x ) = 3 x 2 + 4x + 6 f ( 3 ) = 3 ( 3 ) 2 + 4( 3) + 6 ( Que el alumno participe y la simplifique lo mas que pueda, resolviendo las que siguen con apoyo del profesor). 11

12 12 1. 1.3).La función f ( x ) = 3 x 2 + 4x + 6 transformarla en términos de – 4 1.1.4).La función f ( x ) = 3 x 2 + 4x + 6 transformarla en términos de 1.1.5).La función g ( x ) = 3 x 2 –2x + 5 transformarla en términos de 1 + h 1.1.6).Si G(x) =3 x 2 – 2 x + 5; determina el valor de la función si x = 2h – 1 1.7).Si G(x) =4 x 2 + 3 x - 5; determina G ( 3x - 1) 1.1.8).Si f(x) =5 x 2 – 4 x -1; determina el valor de la función si x = 1 + h 1.1.9).Si f(x) =x 2 – 3 x -2; determina f (1) + f (h) 1.1.10).Si G(x) =3 x 2 – 2 x + 5; determina 1.1.11).Si f (x) = 3 x 4 + 5 x 2 – 18. Prueba que : f ( - x ) = f( x ) 1.1.12).Si f (x) = 7 x 3 -2x Prueba que : f ( - x ) = - f( x ) 1.1.13).Si f (x, y ) = x 2 – 3 x y + y2 encuentra : f ( 2, 3 ) + f (3, 2) – f ( 2, -3 ) 1.1.14).Si f (x, y ) = 3x 2 -2xy - 4 y 2 – 6 x + 3 y + 7; encuentra f ( -1, -2 )

13 13 1.2).Se tiene un cable conductor de energía de 40 metros de largo, para conectar equipos en una planta termoeléctrica. Si con el cable se forma un rectángulo: Puede ser: AB = CD = 17 metros AD = BC = 3 metros ¿Cuál es el valor del perímetro? Perímetro = AB + CD + AD + BC = 17 + 17 + 3 + 3 = 34 + 6 = 40 metros Calcula el área del rectángulo Área de ABCD = AB(BC) = CD(AD)= 17(3) = 51 m 2

14 14 Plantearle al alumno que escriba otras dos soluciones, calculando perímetro y área del rectángulo. Y que describa lo que nota. 1.3).Un Granjero tiene 200 metros de cerca con la que quiere cercar su terreno rectangular. Un lado del terreno ya cuenta con la cerca. ¿ Cuál es el área máxima que puede cercarse? Un problema para resolverlo en secuencia didáctica y considerando estrategia didáctica. Secuencia didáctica : Se construye la función. Se resuelve dicha función y se determina el área máxima que puede cercarse con la cerca que se tiene. Verificar el resultado obtenido. Construir la gráfica de la función construida.

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16 16 ¿Cómo representar la cerca con la parte lineal que cubrirá? Efectivamente decidiste bien: x + y + x = 200 (Perímetro del terreno rectangular). 2 x + y = 200 (Agrupando términos semejantes). ¿ Cómo representar el área del terreno que se cubrirá? Efectivamente es correcto: A = x ( y ) (Área del terreno rectangular). pero si 2 x + y = 200; entonces despejemos y: 2x – 2x + y = 200 –2 x ( ¿sí te acuerdas de estos conceptos?) Bien pues: y = 200 – 2 x ( ¿ Estás de acuerdo?) Ahora como queda el área: A = x ( 200 – 2 x)( Al sustituir y): A = 200x – 2 x 2 (Realizando producto) A = - 2 x 2 + 200x (Ordenando la función que es cuadrática)

17 17 1.3.2). Considerando la función construida, calcula el área máxima del terreno rectangular. Si comparamos la función construida A = - 2 x 2 + 200x con: y = f ( x) = a x 2 + b x + c; nos damos cuenta que a = - 2, b = 200 y c = 0. Podemos advertir que como a = - 2 y esto quiere decir que a < o, por tanto concluimos que la función cuadrática tiene un punto máximo en el vértice, esto es: cuando: x = ( síguele y determina el valor de x ) ¿Cuál es el valor de x ?; tienes razón es 50 Bueno ya casi la hacemos: El valor máximo del área se obtiene ¿Cuándo? Sí efectivamente cuando x = 50 Y como el área máxima del terreno está dada por: A = - 2 x 2 + 200x ( ¿Sí estamos de acuerdo?) Bueno pues ahora substituyamos x = 50 en la expresión anterior y nos queda: A = - 2 ( ) 2 + 200 ( ) indica los valores faltantes y desarrolla:¿ A donde llegamos ? Muy bien desarrollaste correctamente porque el área máxima es:

18 18 Con la participación de los alumnos: 1.3.3).Verificar los resultados obtenidos. 1.3.4). Considerando la función construida, trazar la gráfica de la función.

19 19 1.4). Si un terreno rectangular tiene como perímetro 48 metros; en una tabla indica los valores que puede tomar el ancho y el largo escribiendo y remarcando los valores del largo y el ancho del rectángulo para que su área tome el valor máximo. 1.5). La demanda diaria x, de cierto artículo al precio de p pesos está dada por la expresión x = 1340 – 40 p. El costo de la mano de obra y del material con que se fabrica este producto es de $ 6 por unidad y los costos fijos son de $ 2400 al día. ¿ Qué precio por unidad p deberá fijarse al público consumidor, con objeto de obtener una utilidad máxima diaria? ¿Cómo resolveremos ? ¡Pongámonos de acuerdo!: Llamemos C en pesos al costo total de producir x unidades al día, que al calcularlo es: C = 6 x + 2400 ( considerando la información)

20 20 Como la demanda x está dada por: x = 1340 – 40 p; al sustituir dicho valor en C llegamos a: C = 6 ( 1340 – 40 p) + 2400; que al realizar las operaciones llegas a: C = ( realizar las operaciones faltantes) Al simplificar la expresión tenemos C = -240 p + 10440 El ingreso I (en pesos) obtenido por vender x unidades a p pesos por unidad es: I = p ( x) I = p ( 1340 – 40 p) realizar las operaciones para que llegues a I = Si determinamos la utilidad (U) en pesos, está dada por la diferencia entre el ingreso y el costo: U = I - C U = 1340 p – 40p2 – ( - 240 p + 10440) U = 1340 p – 40p2 +240 p – 10440 que al simplificar y ordenar tenemos: U = ( escribir la expresión ordenada)

21 21 por lo tanto si un precio de p = $ 19.75 por unidad debe ser fijado al público consumidor para obtener una máxima utilidad. La utilidad máxima está dada por: U = - 40 p 2 + 1580 p – 10440 ( sustituye p = $ 19.75 en la expresión y sí desarrollas las operaciones adecuadamente llegas a): Utilidad máxima diaria: U = $ 5162.50 La expresión que se ordenó es la utilidad U, que representa una función cuadrática en términos de p. Que al revisarla nos damos cuenta que a = - 40 < 0, por lo que la gráfica es una curva que abre hacia abajo y la utilidad máxima diaria se alcanza en el vértice de la curva. Por lo que tenemos: a = - 40, b = 1580 y c = - 10440 El vértice de la curva está dado por:

22 22 1.6).La expresión que se obtuvo como función cuadrática en el problema 1.5 es: U = - 40 p 2 + 1580 p – 10440: HACER el trazo de la curva representada por la función f (p), considerando a p ( precio por unidad) en el eje horizontal y a U ( utilidad máxima) en el eje vertical. Si se actúa adecuadamente se llega a una gráfica del tipo:

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24 24 1.7). Una línea telefónica debe tenderse entre dos pueblos situados a orillas de un río en los puntos P y Q. El ancho del río es de 1 kilómetro y Q está situado a 3 kilómetros río abajo de P. La línea tiene un costo de c pesos por kilómetro tenderla por tierra y 2c pesos por kilómetro tenderla bajo el agua. La línea debe seguir la orilla del río empezando en P una distancia x kilómetros y luego cruzar el río diagonalmente en línea recta hacia Q. Determine el costo total de la línea como función de x. Primero hagamos un dibujo del tipo: Para representar el problema.

25 25 ¿Qué sigue? Buscar la solución. La línea telefónica se extiende de P a R una distancia x a lo largo de la orilla del río luego diagonalmente de R a Q. El costo de la parte de la línea de P a R es cx, Mientras la parte de R a Q es: 2c ( RQ ) Si al costo total de la línea le llamamos y, este está dado por: y = cx + 2c (RQ);esto es correcto QRS representa un triangulo rectángulo por lo que: (RS) 2 + (SQ) 2 = (RQ) 2 como el ancho del río es SQ = 1 Km; y RS = PS – PR =

26 26 RS = 3 – X Por lo tanto finalmente tenemos: (3 - x) 2 + (1) 2 = (RQ) 2 RQ = El costo total de la línea es y = cx + 2c 1.8). Si en el problema anterior, el kilómetro de línea tendida se cobra a $ 50,000 y la distancia PR es de 1, 800 metros. ¿Cuál es el costo total de la línea tendida, o sea? ¿Cuál es el valor de y ?

27 27 PARA CONTRASTAR FUNCIONES LINEALES CON CUADRÁTICAS 1.9). El suministro de electricidad en el D.F. se cobra a los usuarios a una tarifa de $0.80 el watt para los 50 primeros watts gastados y $ 0.30 para las cantidades que excedan las 50 unidades. Construye la función c ( x ) que represente el costo de usar x número de watts.

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29 30 1.13). Hacer el trazo de la gráfica que representa a la función: y = f ( x) = 2 x 2 y determinar todas sus características.

30 31 1.14). Hacer el trazo de la gráfica que representa a la función: y = f ( x) = - 2 x 2 primero con los elementos geométricos y luego utilizando software en apoyo a la enseñanza de las matemáticas para que se llegue a una gráfica como la que se ve y determinar lo que se pide: 1.14.1).Los puntos que tienes en la gráfica proyéctalos al eje x y al eje y. 1.14.2).A los puntos anteriores indícales un símbolo y determina sus coordenadas. 1.14.3).De los puntos de la gráfica identifica al vértice, llámale V e indícale sus coordenadas.

31 34 1.15). Hacer el trazo de la funci ó n: y = - 2 x 2 + 4 x, para que se llegue a una figura como la que se ve abajo e indicar todas sus características FIGURA 12

32 33 EJEDESIMETRÍAEJEDESIMETRÍA V 1.16). Hacer el trazo de y = x 2 - 6 x e indicar sus características.

33 29 1.17).Trazar la gráfica de la función y = f ( x ) = 2 x 2 - 4 x + 7 utilizando elementos geométricos y verificar con software para apoyo de enseñanza de las matemáticas y llegarás a una figura como la que sigue:

34 32 1.18). Dada la ecuaci ó n: y = 3 x 2 + 6x: 1.181).Hacer su trazo construyendo una tabla para x e y, e indicar las coordenadas de los puntos que forman la gr á fica. 1.18.2).Determinar las coordenadas de su v é rtice. 1.18.3).Calcular las coordenadas de los puntos de intersecci ó n de la curva con el eje de las x. 1.18.4).Indicar las coordenadas del o de los puntos de intersecci ó n con el eje de las y. 1.18.5).Describir hacia donde se recorri ó el eje de simetr í a de la curva y porqu é.

35 35 1.19). Trazar la función que sigue: y = - 3 x 2 - 6 x 1.19.1).Construyendo una tabla para x e y, indicar las coordenadas de los puntos que forman la gráfica. 1.19.2).Proyectando hacia los ejes indicar el vértice. 1.19.3).Si el vértice es V, escribe sus coordenadas. 1.19.4).Indicar las coordenadas del o de los puntos de intersección con el eje de las y. 1.19.5).Marca el eje de simetría de la curva, decir hacia donde se recorrió e indica la explicación de esto.

36 36 1.20). Traza la gráfica de la función: y = x 2 + 6 x + 8: 1.20.1).Construyendo una tabla para x e y, indica las coordenadas de los puntos que forman la gráfica. 1.20.2).Proyectando hacia los ejes indica el vértice. 1.20.3).Si el vértice es V, escribe sus coordenadas. 1.20.4).Determinando las raíces de la ecuación Indica las coordenadas del o de los puntos de intersección con el eje de las x. 1.20.5).Marca el eje de simetr í a de la curva, di hacia donde se recorri ó e indica la explicaci ó n de esto.

37 37 1.21). Realiza el trazo de la función: y = f ( x) = x 2 - 6 x – 8 y llegarás a una figura como la de abajo, indica cada una de sus características en los incisos que correspondan escribe las diferencias que notas al compararlas con las gráficas anteriores (problema 1.20, además traza su eje de simetría.

38 38 1.23).Si se tiene la función y = x 2 + 2x 1.23.1).Determinar las raíces: como debemos de hacer y = 0 entonces: 0 = x 2 + 2x Si factorizamos nos queda: 0 = x ( x + 2 ) Utilizando la propiedad del cero, primer factor: x = 0 Ahora segundo factor: x + 2 = 0, entonces: x + 2 – 2 = 0 – 2 x = - 2 Por lo anterior las raíces son: x = 0 y x = - 2 ( ¿sí estás de acuerdo con lo anterior?) son conceptos de lo visto en APUBAMA UNO

39 39 1.23.2).Determinar las coordenadas del vértice de la curva representada por la función: y = x 2 + 2x y = [x 2 + 2x + ( 1 ) 2 ] - ( 1 ) 2 ( dividimos el coeficiente del término de primer grado entre 2 y lo elevamos al cuadrado sumándolo al segundo miembro y ese mismo término lo restamos al segundo miembro fuera del corchete). Ahora: y = ( x 2 + 2x + 1 ) - 1 Luego: y = ( x + 1 ) 2 – 1 ( factorizamos lo que está dentro del paréntesis) Después: y = ( -1 + 1 ) 2 – 1 ( dando a x un valor igual al segundo término del binomio pero de signo contrario, para que se vuelva cero). Agrupando: y = ( 0 ) 2 – 1 = 0 – 1 = - 1 Por lo tanto y = -1 cuando x = - 1 y entonces el vértice es: V ( - 1, -1 ) 1.23.3).Conociendo las raíces x = 0, x = - 2 y el vértice V ( -1, -1), haz el trazo de la función: y = x 2 + 2x, y marca el eje de simetría de la parábola y confirma las raíces y el vértice.

40 40 1.24). Determina las coordenadas del vértice, las raíces de la ecuación y en la curva escribe los puntos anteriores marcándole sus coordenadas, si la función es: y = - 2 x 2 + 8 x 1.24.1).Coordenadas del vértice, escribiendo la función y factorizando el segundo miembro: y = - 2 x 2 + 8 x y = - 2 ( ), indica los términos faltantes al sacar a – 2 como factor común. Si completamos cuadrados perfectos, lo haremos con la parte que está dentro del paréntesis, ya que para hacerlo una condición es que el coeficiente que tenga el término de segundo grado sea 1 ( uno): y = - 2 ( x 2 – 4 x + 4 ) + 8 ( explica esto) y = -2 ( x – 2 ) 2 + 8 ( aquí se factorizó, ¿ Cómo se hizo? ahora: y = -2 ( 2 –2) 2 + 8 ( ¿ Cuál es la razón? ) Luego: y = -2 ( 0 ) 2 + 8 ¿Qué hicimos? Por último: y = 0 + 8 = 8 ( ¿ Cómo se llegó a esto? Para qué: Las coordenadas del vértice sean: ( escribe lo anterior).

41 41 1.24.2). Para determinar las raíces de la ecuación hagamos y = 0 en la función: y = - 2 x 2 + 8 x 0 = - 2 x 2 + 8 x ahora factoricemos la ecuación anterior: - 2 x ( x – 4 ) = 0 ( posteriormente aplicar las propiedades del cero que hemos comentado para que se determinen dos valores de x) Entonces se llega a: x 1 = x 2 = 1.24.3).Hacer la gráfica que será como la de abajo, para marcar en la curva lo que se pide: Todas sus características, V e y = -2 x 2 + 8 x.

42 42 y = -2 x 2 + 8 x

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44 44 Si continúas aplicando los procedimientos adecuados y paso a paso llegas a encontrar que el vértice es: V (, ) Nota: Si en alguno de los problemas encuentras algún error, corrígelo y coméntalo. 1.25.3).Traza ahora la función: y =x 2 + 7x + 6; y marca los puntos de intersección con el eje de las x y el vértice con sus coordenadas y la gráfica es del tipo:

45 45 1.25.4).Haz el trazo de la función: y = 3 x 2 + 9x + 6, al construir la tabla incluye valores fraccionados y determina: 1.25.4.1).Dominio y rango de la función. 1.25.4.2).Coordenadas del vértice de la curva. 1.25.4.3).Coordenadas de los puntos de la curva que tengan las raíces de la ecuación. 1.25.4.4). La anchura de la curva en los puntos del inciso c. 1.25.4.5).El significado de los valores 3, 9 y 6 de la función.

46 46 Hacer las cosas: ¡Bien desde un principio! ¡Siempre pasito a pasito! ¡Sin prisa pero con constancia! Promovamos en el alumno:

47 47 Escribir todo lo que entienda al mirar, escuchar y analizar. Que “Recuerde siempre: La diferencia entre un buen estudiante y un magnífico estudiante, es el pequeño esfuerzo extra que este hace”. Que “El fracaso tiene mil excusas, el éxito no requiere explicación”.

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