1.La geometría del espacio euclidiano 2.Funciones vectoriales 3.Diferenciación 4.Integrales múltiples 5.Integrales de línea 6.Integrales de superficie.

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2 1.La geometría del espacio euclidiano 2.Funciones vectoriales 3.Diferenciación 4.Integrales múltiples 5.Integrales de línea 6.Integrales de superficie 7.Los teoremas integrales

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4 2. Funciones vectoriales 2.1 Introducción 2.2 Derivadas e integrales de las funciones de un vector 2.3 Campos escalares 2.4 Campos vectoriales

5 En el cálculo elemental se estudian funciones de una sola variable. Sin embargo, en la vida real la mayoría de los fenómenos y los procesos dependen de varias variables. Por tanto, son las funciones de varias variables las que, en general, sirven para describir correctamente los procesos de la naturaleza. Por motivos metodológicos las podemos dividir como: Funciones vectoriales Funciones escalares de un vector o campos escalares Funciones vectoriales de un vector o campos vectoriales

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7 De manera intuitiva podemos decir que una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda.

8 Conjunto de seres humanos

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10 A cada ser humano se le asocia su padre biológico Conjunto de seres humanos

11 A cada ser humano se le asocia su padre biológico Todo elemento del dominio tiene asociado un único elemento del contradominio. Todo ser humano tiene un único padre biológico No todo elemento del contradominio tiene asociado un elemento del dominio. No todo ser humano es un padre biológico Conjunto de seres humanos

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13 Todos los elementos del dominio tiene que tener asociado un elemento del contradominio A un elemento del dominio se le asociara un único elemento del contradominio Elementos del contradominio pueden tener asociados más de un elemento del dominio

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15 a b c d e

16 a b c d e Dominio

17 a b c d e Codominio

18 a b c d e Dominio Codominio Rango

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20 A la calabaza se le asocian dos elementos en el contradominio

21 A parcial nabla raiz existe B

22 A parcial nabla raiz existe B

23 Definimos una función de x en y como toda aplicación (regla, criterio perfectamente definido), que a un número x (variable independiente), le hace corresponder un número y (y solo uno llamado variable dependiente).

24 Se llama función real de variable real a toda aplicación f de un subconjunto no vacío D de R en R Una función real está definida, en general, por una ley o criterio que se puede expresar por una fórmula matemática. La variable x recibe el nombre de variable independiente y la y ó f(x) variable dependiente o imagen.

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26 Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales. Su rango es también un subconjunto de los reales.

27 El subconjunto D de números reales que tienen imagen se llama Dominio de definición de la función f y se representa D(f). Nota El dominio de una función puede estar limitado por: 1.- Por el propio significado y naturaleza del problema que representa. 2.- Por la expresión algebraica que define el criterio.

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29 xf(x) 02 15 28 -2-4 311 -3-7 414 -4-10 517 -5-13 xf(x) 0.102.30 1.767.28 -3.45-8.35 8.9728.91 2.349.02 13.3341.99 1.416.23 16.7752.31 -44.44-131.32 0.012.03 -123.00-367.00

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31 xf(x) 0.101.1051709 11.88144,350.5506832 -3.450.0317456 8.977,863.6016055 2.3410.3812366 13.33615,382.9278900 6.991,085.7214762 -91.230.0000000 2.229.2073309 0.501.6487213 -12.450.0000039 xf(x) 0.001.000 1.002.718 0.368 2.007.389 -2.000.135 3.0020.086 -3.000.050 4.0054.598 -4.000.018 5.00148.413 -5.000.007

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33 xln(x)x 0.10-2.3030.01-4.605 0.20-1.6090.02-3.912 0.30-1.2040.03-3.507 0.40-0.9160.04-3.219 0.50-0.6930.05-2.996 0.60-0.5110.06-2.813 0.70-0.3570.07-2.659 0.80-0.2230.08-2.526 0.90-0.1050.09-2.408 1.000.0000.10-2.303

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81 xYφ(x,y)=1-x-y 001 100 010 11 3 11 1 1 20 3

82 xYf(x,y)=1-x 2 -y 2 001 100 010 11 23-12 -45-40

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84 Gráfica xYφ(x,y)=1-x-y 001 100 010 11 3 11 1 1 20 3

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86 Gráfica xYf(x,y)=1-x 2 -y 2 001 100 010 11 23-12 -45-40

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88 Gráfica

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103 xYx+yy-x 0000 101 0111 1120 -20 102 1 0-2 202 32-4

104 (x,y)F(x,y) (0,0) (1,0)(1,-1) (0,1)(1,1) (2,0) (-1,-1)(-2,0) (-1,1)(0,2) (1,-1)(0,-2) (2,0)(2,-2) (3,-1)(2,-4)

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