Contribuciones al Modelado, Control y Análisis de Estabilidad de Sistemas Borrosos. Aplicaciones. Autor: Omar Sánchez Pérez. Director: Aníbal Ollero Baturone.

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2 Contribuciones al Modelado, Control y Análisis de Estabilidad de Sistemas Borrosos. Aplicaciones. Autor: Omar Sánchez Pérez. Director: Aníbal Ollero Baturone. Tesis Doctoral

3 Esquema de la presentación. ° Introducción Modelos basados en sistemas borrosos. ° Modelos basados en sistemas borrosos. ° Estructuras de control basadas en sistemas borrosos. ° Análisis de estabilidad basado en índices. ° Aplicaciones experimentales: ÁPlanta para la depuración de aguas residuales. ÁAplicaciones a robótica móvil: ªSeguimiento de trayectorias. ªSeguimiento de objetos móviles. ° Conclusiones y desarrollos futuros.

4 Introducción(I) y(k+1) u(k) + - Planta Modelo Inverso Borroso   Modelo borroso de la planta Modelo de referencia r(k) y d (k+1) Control borroso por modelo inverso especializado. Adaptación de parámetros del controlador: Á Modelo directo de la planta Ley de control: Á Modelo inverso.

5 Introducción(II) Tipos de controladores Expresión analítica Modelo inverso especializado Modelo inverso Linealización por realimentación Adaptativo de sistemas no lineales Adaptativo directo Adaptativo directo usando técnicas del control predictivo Redes de Neuronas Error a la salida del controlador como estimador de coeficientes de un PID Sistemas borrosos +Redes de Neuronas Sistemas borrosos

6 Introducción(III) Análisis de estabilidad basado en Indices. Modelo borroso de la planta Modelo Borroso x u Controlador borroso Controlador Borroso Los Indices de estabilidad son aplicables sin que el modelo de la planta esté disponible.

7 Esquema de la presentación. ° Introducción Modelos basados en sistemas borrosos. ° Modelos basados en sistemas borrosos. ° Estructuras de control basadas en sistemas borrosos. ° Análisis de estabilidad basado en índices. ° Aplicaciones experimentales: ÁPlanta para la depuración de aguas residuales. ÁAplicaciones a robótica móvil: ªSeguimiento de trayectorias. ªSeguimiento de objetos móviles. ° Conclusiones y desarrollos futuros.

8 Modelos basados en sistemas borrosos. Modelo Mental Verbal Físico Matemático Fase imprecisa Definición heurística de un conjunto de reglas borrosas. Fase determinista Función no lineal con parámetros adaptables

9 Estructura de un modelo borroso (I). Variables lingüísticas Operador lingüístico Base de reglas Motor de inferencia borrosa Borrosificador Desborro- sificador Aplicación de variable lingüística Escalar Flujo de cálculos Flujo de información Escalar Datos Borrosificador: Consecuente escalar. Motor de inferencia: Producto. Desborrosificador: Centro-promedio.

10 Estructura de un modelo borroso (II). Capa de Entrada Capa Oculta Regla 1 Regla 2 Regla M Capa de Salida Red borrosa a3a3 a2a2 apap a p-1 a p-2 a1a1 x(t) w 1 w 2 w 3. w p-2 w p-1 w p Datos de entrada Funciones base Vector de pesos Red con Memoria Asociativa ¿Porqué modelo basado en sistemas borrosos?

11 Estructura de un modelo borroso (III). Semejanzas ¢ Ambos son aproximadores universales. ¢ Principio de funcionamiento semejante: Motor de inferencia hacia adelante. Utilizan el gradiente para minimizar el error entre la salida real y el modelo. Ventajas de los sistemas borrosos Sistemas Borrosos vs. Redes de Neuronas ¢ La adaptación de parámetros “inteligente”. ¢ Se pueden aplicar los Indices de estabilidad. ¢ Admiten estrategias combinadas con técnicas de diseño de controladores lineales. Aportaciones en esta tesis doctoral ¢ Los parámetros tienen un claro significado físico: Más eficiente selección de las condiciones iniciales. Modelo resultante puede analizarse como conjunto de reglas borrosas.. ¢ Mayor robustez en la fase de identificación basado en el concepto de “integridad”. ¢ Soporta definiciones flexibles en la estructura del modelo que facilitan el modelado por caja gris.

12 Aprendizaje supervisado(I). Pasos para la obtención de un modelo basado en el gradiente descendiente.  Establecer las condiciones iniciales.  Proyectar la red hacia adelante.  Adaptar los parámetros ajustables.  Si el error deseado no se ha alcanzado, repetir  a partir del paso ‚.

13 Aprendizaje supervisado(II). Indices de Marsh: Objetivos: 1.- En cada punto del UD debe estar definida una FP. UD FP 3.- La suma de los grados de pertenencia de las FP en la zona de solape debe ser menor que uno. 0.6+0.7=1.3 2.- Dos FP no pueden tener el grado de pertenencia en el mismo punto. 4.- El solape de dos FP no debe sobrepasar el máximo grado de pertenencia de alguna FP.

14 Aprendizaje supervisado(III). Razón de solape Rango de solape (RnS) Rango de definición de las funciones adyacentes (RfA).

15 Robustez del solape Aprendizaje supervisado(IV). MaS MaS=Máxima área en la zona de solape AzS AzS=Área de la suma de las FP en la zona de solape.

16 Aprendizaje supervisado(V). La razón y robustes del solape para FP triangulares y gaussianas.

17 Aprendizaje supervisado(VI). La razón de solape debe ser superior para las FP Gaussianas

18 Aprendizaje supervisado(VII). Condiciones iniciales para las FP de la parte precedente de reglas. Definición de ancho de las FP: Wang, 1994: Deficiencias: No garantiza la integridad. El grado de activación máxima de la zona de solape depende del número de reglas.

19 Propuesta en esta tesis: Aprendizaje supervisado(VIII).

20 Aprendizaje supervisado(IX). Condiciones iniciales para la parte consecuente de las reglas. Reglas del tipo TSK. Salida a partir de coeficientes variables: Obtener los coeficientes como una solución a un sistema de ecuaciones lineales:

21 Aprendizaje supervisado(X). Funciones de Pertenencia FPTG-I y FPTG-II. 1.- Aumentan el soporte de las FP triangulares. 2.- Mantener una expresión analítica para la zona de pertenencia cero.

22 Aprendizaje supervisado(XI). Ajuste en la adaptación basado en los Indices de Marsh. Razón de solape. Robustez del solape. j=1..M-1 (número de reglas) i =1..n (variables de la parte precedente). RS r = Razón de solape deseado. RbS r = Robustez de solape deseado. Ajuste del centro de una FP: Ajuste del ancho de una FP:

23 Algoritmo propuesto para la obtención de un modelo basado en el gradiente descendiente.  Establecer las condiciones iniciales.  Proyectar la red hacia adelante.  Adaptar los parámetros ajustables.  Si el error deseado no se ha alcanzado, repetir  a partir del paso ‚.  Ajuste de los parámetros basado en los índices de Marsh. Aprendizaje supervisado(XII).

24 Aprendizaje supervisado(XIII). Efecto de utilizar FP triangular o FPTG-2. Modelo de Box y Jenkins:Modelo borroso: 1.- Consecuente TSK con término independiente. 2.- Número de reglas M=15. 3.- Factor de aprendizaje (con momento)=0.001. 4.- Número de épocas= 13. FP triangular:FPTG-2:

25 Aprendizaje supervisado(XIV). Mejora de la adaptación basada en los Indices de Marsh.

26 Aprendizaje supervisado(XV). FPTG-2 Efectos del aprendizaje sobre diferentes FP

27 Aprendizaje supervisado(XVI). Efectos del aprendizaje sobre diferentes FP

28 FP TriangularFP Gaussiana Aprendizaje supervisado(XVII). Análisis en tres dimensiones de la función: FPTG-2

29 Aprendizaje supervisado(XVIII). Serie temporal caótica de Mackey-Glass. Aplicación de diferentes métodos de aprendizaje.

30 Aprendizaje no supervisado(I). Grupos próximos a un entorno. Algoritmo de grupos próximos 1.- Incorporar el primer conjunto de datos como un grupo. 2.- Determinar, de los grupos existentes, el más próximo al nuevo grupo. Grupo próximo Nuevo grupo r ’ r Grupos de datos identificados por reglas 3.- Si el nuevo grupo está fuera del radio de proximidad, incorporarlo. r ’ Grupo próximo r Nuevo grupo Grupos de datos identificados por reglas r ’ 3’.- Si el nuevo grupo está dentro del rango, no incorporarlo. 4.- Realizar inferencia borrosa. 5.- Repetir paso 2 y consecuentes. Nota: Nota: La señal de salida no es utilizada como indicador de error (aprendizaje no supervisado).

31 Aprendizaje no supervisado(II). Expresión analítica del conjunto de reglas. Crecimiento incontrolado del número de reglas.

32 Aprendizaje no supervisado(III). Expresión analítica del conjunto de reglas. Existe un indicador de número de grupos que se identifican por una regla: Algoritmo de grupos próximos modificado 1.- Incorporar el primer conjunto de datos como un grupo. 2.- Determinar, de los grupos existentes, el más próximo al nuevo grupo. 4.- Realizar inferencia borrosa. 5.- Repetir paso 2 y consecuentes. 3.- Si el nuevo grupo está fuera del radio de proximidad, incorporarlo. 3’.- Si el nuevo grupo está dentro del radio de proximidad, no incorporarlo. 3’’.- Controlar el crecimiento de las reglas.

33 Aprendizaje no supervisado(IV). Ejemplo del control de crecimiento del número de reglas. Modelo de la planta:Función desconocida:Estímulo:

34 Aprendizaje no supervisado(V). Empobrecimiento de la identificación:Validación del modelo (21 reglas):

35 Sistemas borrosos jerárquicos yJyJ y 1J-1 y n ’ J-1 yn’2yn’2 y 121 yn’1yn’1 y 21 y 11 SB 11 x3x3 x4x4 x1x1 SB 21 x6x6 x5x5 SB 12 x7x7 x8x8 SB n’2 xixi SB n1 x n+N xnxn.... SB 1J Nivel 1 Nivel 2Nivel J x2x2

36 SBMIMO I SBMIMOII SBMIMO S x1x1 x2x2 xnxn.... Sistemas borrosos MIMO

37 Esquema de la presentación. ° Introducción Modelos basados en sistemas borrosos. ° Modelos basados en sistemas borrosos. ° Estructuras de control basadas en sistemas borrosos. ° Análisis de estabilidad basado en índices. ° Aplicaciones experimentales: ÁPlanta para la depuración de aguas residuales. ÁAplicaciones a robótica móvil: ªSeguimiento de trayectorias. ªSeguimiento de objetos móviles. ° Conclusiones y desarrollos futuros.

38 Estructuras de Control (I). Control por modelo inverso. Control por modelo inverso especializado. Control basado en la linealización por realimentación. (Moscinski, Ogonowski; 1994) Control basado en el error a la salida del controlador. (Andersen, Lotfi, Tsoi; 1997) Control adaptativo de sistemas no lineales. (Sheen, Kumara; 1993) Control adaptativo directo. Control adaptativo directo basado en técnicas del control predictivo. (Noriega, Wang; 1998)

39 Estructuras de Control (II). Control basado en la linealización por realimentación. uk GX FXyk m () () ()() ^ ^        1 1 ykFXGXuk()()()()  1 z z + - FXGX ^^ (),() u(k) y m (k+1) Equivalencia cierta. Controlador Planta ykFXGXuk ^^^ ()()()()  1 Red Adaptativa

40 e(k+1) u(k) + - Planta y(k+1)  G(X) F(X)  u(k) e(k+1) + - Planta y(k+1)  G(X) F(X)  Estructuras de Control (III). Obtención de dos modelos borrosos.

41 Estructuras de Control (IV). Linealización por realimentación usando sistemas borrosos. Narendra, 1989:Mocinski, Ogonowski; 1994:

42 Estructuras de Control (V). Extensión de la linealización por realimentación. Si se aplica el principio de equivalencia cierta: Entonces se cumple:

43 Esquema de la presentación. ° Introducción Modelos basados en sistemas borrosos. ° Modelos basados en sistemas borrosos. ° Estructuras de control basadas en sistemas borrosos. ° Análisis de estabilidad basado en índices. ° Aplicaciones experimentales: ÁPlanta para la depuración de aguas residuales. ÁAplicaciones a robótica móvil: ªSeguimiento de trayectorias. ªSeguimiento de objetos móviles. ° Conclusiones y desarrollos futuros.

44 Indices de estabilidad (I). Fundamentos de los índices de estabilidad (Aracil, Ollero, García Cerezo, 1989).  Indicador de cuán lejos un sistema se encuentra de la situación en la que un autovalor cruza el eje imaginario ( I 1 ).  Chequea la condición bajo la cual dos autovalores cruzan el eje imaginario ( I 2 ).  Permite predecir la condición bajo la cual aparezca un nuevo punto de equilibrio ( I 3 ).

45 Indices de estabilidad (II). Los índices de estabilidad aplicados a sistemas multivariables (1994). Indice I1: Indice I2: Indice I3 El modelo de la planta debe estar disponible. Aporte: El modelo de la planta no tiene que estar disponible.

46 Indices de estabilidad (III). Modelo borroso Controlador borroso u x Sistemas borrosos del tipo TSK. Los sistemas borrosos son aproximadores universales: Se puede obtener un modelo borroso de cualquier planta.

47 Indices de estabilidad (IV). Descripción del conjunto de reglas. Modelo de la planta. i=1..n sistemas borrosos r=1..M reglas para cada sistema j=1..m señales de control Controlador borroso. j=1..m sistemas borrosos l=1..N reglas para cada sistema k=1..n variables de estado

48 Indices de estabilidad (V). Expresión analítica. Término afín Coeficientes variables Señales de control Grado de activación de reglas del controlador Grado de activación de reglas del proceso

49 Indices de estabilidad (VI). El Jacobiano del sistema. Representación del sistema en función de los coeficientes variables.

50 Indices de estabilidad (VII). Obtención de un término de la matriz Jacobiana.

51 Indices de estabilidad (VIII). Indice I3.  e 2min x e 1max x e 1min x e 2min x e 2max xe2xe2 xe1xe1  e 1min  e 2min x e 1min x e 2min x e 2max xe2xe2 x e 1max xe1xe1  e 1min

52 Esquema de la presentación. ° Introducción Modelos basados en sistemas borrosos. ° Modelos basados en sistemas borrosos. ° Estructuras de control basadas en sistemas borrosos. ° Análisis de estabilidad basado en índices. ° Aplicaciones experimentales: ÁPlanta para la depuración de aguas residuales. ÁAplicaciones a robótica móvil: ªSeguimiento de trayectorias. ªSeguimiento de objetos móviles. ° Conclusiones y desarrollos futuros.

53 Planta para la depuración de aguas residuales(I). Interacción microbial. Substratos contaminantes: Substratos energéticos: Mezcla de celulosa, hemicelulosa y glucosa. Substratos xenobióticos: Mezcla de compuestos derivados de la lignina. Agente biodegradante: Biomasa (se alimenta de los substratos contaminantes). Alta Biodegradabilidad. Menor Biodegradabilidad. 1.- Asegurar condiciones para el crecimiento de la biomasa. Puede provocar alteraciones bacteriológicas indeseables en el ecosistema. Soluciones: Objetivo: Mantener el agua libre de contaminantes. 2.- Controlar el crecimiento de la biomasa y de substratos xenobióticos.

54 Planta para la depuración de aguas residuales(II). e a (t) s a (t) D(t) Control de nivel salida u 1 (t) u 2 (t) Agua limpiaAgua residualMezcla Salida Control de nivel u 1 (t) u 2 (t) c(t)=Biomasa s(t)=Substratos xenobióticos. e(t)=Substratos energéticos.

55 Planta para la depuración de aguas residuales(III). Puntos de equilibrio en lazo abierto. Soluciones: c(t)=0 (I) (II) e(t)=0s(t)=0

56 Reglas del proceso ___________________________________ Planta para la depuración de aguas residuales(IV). Estrategia de control. 0.7 0.6 0.20.3 c A 1,B 1, K 1 A 2,B 2, K 2 A 3,B 3, K 3 A 4,B 4, K 4 s AB A B Reglas del controlador ___________________________________ Si s es B y c es A entonces u = P 1 r - K 1 x Si s es A y c es A entonces u = P 2 r - K 2 x Si s es B y c es B entonces u = P 3 r - K 3 x Si s es A y c es B entonces u = P 4 r - K 4 x

57 Planta para la depuración de aguas residuales(V). Expresión analítica en lazo cerrado.

58 tiempo(horas) u2 Planta para la depuración de aguas residuales(VI). tiempo(horas) u1 tiempo(horas) s(t) tiempo(horas) c(t)

59 Planta para la depuración de aguas residuales(VII). Análisis de estabilidad con funciones de pertenencia sigmoide. ABAB Expresión analítica válida para todo el universo de discurso.

60 Indice I3: No se produce inestabilidad por la aparición de un nuevo punto de equilibrio. Planta para la depuración de aguas residuales(VII). Aplicación de los índices de estabilidad. (c e,s e,e e ) = (0.7, 0.2, 0) (c e,s e,e e ) = (0.7, 0.3, 0) (c e,s e,e e ) = (0.6, 0.2, 0) (c e,s e,e e ) = (0.6, 0.3, 0) I1I2 0.5759 0.5637 0.4364 0.4237 2.6380 2.6831 2.4437 2.3989 Indices I1 e I2 positivos: Ningun autovalor cruza el eje imaginario

61 s(t) c(t) No se hace cero y no cambia de signo Si No existen ciclos límites Teorema de Poincaré-Bendixson Planta para la depuración de aguas residuales(VIII). Aparición de ciclos límites. Sistema simplificado: e(t)=0.

62 Planta para la depuración de aguas residuales(IX). Control basado en la linealización por realimentación. u1 u2

63 Planta para la depuración de aguas residuales(X).

64 Esquema de la presentación. ° Introducción Modelos basados en sistemas borrosos. ° Modelos basados en sistemas borrosos. ° Estructuras de control basadas en sistemas borrosos. ° Análisis de estabilidad basado en índices. ° Aplicaciones experimentales: ÁPlanta para la depuración de aguas residuales. ÁAplicaciones a robótica móvil: ªSeguimiento de trayectorias. ªSeguimiento de objetos móviles. ° Conclusiones y desarrollos futuros.

65 Aplicación a robótica móvil (I). Punto Objetivo x X Y X Y  Modelo de un vehiculo autónomo. x= Posición.  = Orientación.  = Curvatura. v = Velocidad.

66 Aplicación a robótica móvil (II). Modelo borroso de un vehiculo autónomo.

67 Aplicación a robótica móvil (III). Modelo borroso del ROMEO-3R. Intervalo de las variables pertenecientes al modelo cinemático y dinámico: Curvatura en la dirección del vehículo :  m   Velocidad :  m/s  Orientación:  Posición :  m  Características del identificador borroso: Tipo de función de pertenencia: FPTG-II. Método de adaptación: Gradiente descendente, con momento y ajuste basado en los índices de Marsh.  úmero de épocas: 100. Razón de solape y robustez del solape: 0.6. Número de reglas: 21. Factor de incremento-decremento del factor de aprendizaje: 1.06 y 0.4. Tolerancia para el cambio en el factor de aprendizaje: 5 %.

68 Aplicación a robótica móvil (IV). curvatura orientación

69 Linealización por realimentación. Aplicación a robótica móvil (V). Control de un vehículo autónomo. Seguimiento de caminos basado en selector de punto destino borroso. Seguimiento de un objeto móvil (estimador de posición borroso). Implementación teórica: Implementación práctica:

70 Aplicación a robótica móvil (VI). Selector de punto destino borroso. Conocimiento heurístico Identificador del destino óptimo utilizado por un conductor para seguir determinada trayectoria   

71 Seguimiento de caminos basado en selector de punto destino borroso. Aplicación a robótica móvil (VII). Planificador de trayectoria Generador de punto destino Dinámica del vehículo   G Estimador del punto destino Estimador del punto destino Controlador borroso Vehículo autónomo u  G z -1 Estructura del controlador

72 Aplicación a robótica móvil (VIII). Resultados experimentales. metros Estimación de trayectoriaSeguimiento de un camino.

73 Aplicación a robótica móvil (IX). Indice I 3 x s 4 + 4.7491s 3 + 8.3663s 2 + 6.8638s + 2.6139 Polinomio característico Indices I 1 e I 2 I 1 = 2.6920 I 2 = 166.6497 Análisis de estabilidad basado en índices.

74 Aplicación a robótica móvil (X). Estimador borroso de posición de un objeto móvil. Problemática: (a) Pérdida de la coordenada del objeto en movimiento. (b) Retardo en la información de coordenada por tiempo de procesamiento. y(k-d) x(k-d) Procesador de imagen Predictor Borroso de Coordenadas Dinámica del vehículo 

75 Conjunto de reglas. Aplicación a robótica móvil (XI). Procesador de imagen. Estimador borroso de coordenadas.

76 Estimador de coordenadas Controlador borroso Vehículo autónomo u  G z -1 Estructura del controlador para el seguimiento de un objeto móvil. Aplicación a robótica móvil (XII).

77 Aplicación a robótica móvil (XIII). Resultados experimentales en el seguimiento de un hombre.

78 Conclusiones. Selección de datos significativos.................................... Diseño del sistema borroso Conocimiento del experto. Análisis de estabilidad basado en Indices Estimador de punto destino. Estimador de coordenadas. Estructura borrosa jerárquica: - Seguimiento de caminos. - Seguimiento de objetos móviles. Dos nuevas funciones de pertenencia. Adaptación basada en Indices de Marsh. Inicialización de parte precedente y consecuente de reglas. Estimador de número de reglas en algoritmo por grupos próximos. Extensión en la aplicación de la linealización por realimentación. Extensión a sistemas borrosos MIMO sin necesidad del modelo.

79 Desarrollos futuros. Interpretación física de los parámetros que determinan la convergencia en los algoritmos Quickprop y RPROP. Extender la aplicación de la linealización por realimentación a sistemas con tres o mas señales de control. Extender la aplicación de los indices de estabilidad a diferentes estructuras de controladores. Implementar un supervisor de estabilidad. Realizar el modelo borroso del ROMEO-3R con consecuentes no lineales.