Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Presentación del tema: "Apuntes de Matemáticas 3º ESO"— Transcripción de la presentación:

1 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Tema * 3º ESO Ecuaciones @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

2 PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
Tema * 3º ESO PROPIEDADES DE LAS RAÍCES @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

3 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
FACTORIZACIÓN Un trinomio de 2º grado, a.x2 + b.x + c, con las raíces x1 y x2 se puede descomponer siempre de la siguiente manera: a.x2 + b.x + c = a.(x – x1).(x – x2) Es decir, hemos factorizado la expresión, hemos convertido las sumas en productos. Ejemplos: x2 – 3.x tiene como raíces x = 1 y x = 2 Podemos poner: x2 + 3.x + 2 = (x – 1 ).(x – 2 ) 2.x2 – 10.x tiene como raíces x = 2 y x = 3 Podemos poner: x2 – 10.x + 12 = 2.(x – 2 ).(x – 3 ) x2 – 5.x – 14 tiene como raíces x = – 2 y x = 7 Podemos poner: x2 – 5.x – 14 = (x + 2 ).(x – 7 ) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

4 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Más EJEMPLOS: x x no tiene raíces reales No se puede factorizar x x tiene las dos raíces iguales x=-1, x=-1 Podemos poner x2 + 2.x + 1 = (x + 1).(x + 1) 3.x2 + 5.x – 8 tiene como raíces x=1 y x=- 8/3 Podemos poner: x2 + 5.x – 8 = 3.(x – 1 ).(x + 8/3) 5.x2 – 7.x – 34 tiene como raíces x=-2 y x= 17/5 Podemos poner: x2 – 7.x – 34 = 5.(x + 2 ).(x – 17/5) Importante: Hay que darse cuenta de que cuando el valor de la raíz es negativo, el factor es de la forma (x + …), en lugar de (x – …) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

5 PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
En CUALQUIER ecuación de segundo grado, se cumple siempre: ‑ b x + x = ‑‑‑‑‑ a ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--- ; x = a a Sumando ambas: ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c)   ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) x + x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = a a ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) b b = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = = 2.a a a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

6 PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
En CUALQUIER ecuación de segundo grado, se cumple siempre: c x . x = ‑‑‑‑‑ a ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--- ; x = a a Multiplicando ambas: [ ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ] [  ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) ] x . x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = a a (‑ b) 2 ‑ (√ ( b2 ‑ 4.a.c) ) b 2 ‑ ( b 2 ‑ 4.a.c) a.c c = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = = = 4.a a a a @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

7 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Comprobar las propiedades de las raíces en las siguientes ecuaciones cuadráticas Ejemplo 1 x x + 1 = 0 a=1, b=2, c=1 Tiene las dos raíces iguales x1 = - 1 , x2 = - 1 Propiedades: x1 + x2 = - b / a  – 1 – 1 = – 2 / 1  – 2 = – 2 x1 . x2 = c / a  (– 1).(– 1) = 1 / 1  1 = 1 Ejemplo 2 3.x2 + 5.x – 8 = 0 a=3, b= 5, c = – 8 Tiene como raíces x = 1 y x = - 8/3 x1 + x2 = - b / a  1 +(– 8/3) = – 5 / 3  – 5/3 = – 5/3 x1 . x2 = c / a  1.(– 8/3) = – 8 / 3  – 8/3 = – 8/3 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

8 Ecuaciones cuadráticas
Tema * 3º ESO PROBLEMAS Ecuaciones cuadráticas @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

9 Resolución de PROBLEMAS
Para resolver problemas de ecuaciones cuadráticas hay que seguir los siguientes pasos, que son los mismos que para resolver problemas de ecuaciones lineales: 1.- COMPRENSIÓN.- Leer detenidamente y entender el enunciado. 2.- DESIGNAR.- Designar una letra a la incógnita. La incógnita no es siempre el dato que se pide, sino el dato desconocido que permita resolver el problema. 3.- PLANTEAR.- Una vez designada la incógnita, se traduce a lenguaje algebraico el enunciado, resultando una o varias ecuaciones. 4.- RESOLUCIÓN.- Se despeja la incógnita de la ecuación, se halla su valor y luego el valor de los datos pedidos. 5.- COMPROBACIÓN.- Se comprueba si la solución cumple condiciones del enunciado. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

10 Enunciados y ecuaciones
“El cuadrado de la mitad de un número, más cinco, es igual a 9. Hallar dicho número.” La coma antes del “más” rompe el término en dos sumandos. Si x es el número: (x / 2)2 + 5 = 9 Operando: (x2 / 4) + 5 = 9  x2 / 4 = 9 – 5  x2 = 16 Luego: x1 = 4 y x2 = – 4 ENUNCIADO 2 “El cuadrado de la mitad de la suma de un número más cinco es 16. Si x es el número: [(x + 5) / 2]2 = 16 Operando: (x + 5)2 / 4 = 16  (x + 5)2 = 64  x x + 25 = 64 x x – 39 = 0  Resolviendo la ecuación: x1 = 3 y x2 = – 13 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

11 Enunciados y ecuaciones
“La suma del cuadrado de la mitad de un número más cinco es 14.” Hallar dicho número.” Si x es el número: (x / 2)2 + 5 = 14 Operando: (x2 / 4) + 5 = 14  x2 / 4 = 14 – 5  x2 = 36 Luego: x1 = 6 y x2 = – 6 ENUNCIADO 4 “La suma de la mitad del cuadrado de un número más cinco es 19/2.” Si x es el número: [ x2 / 2 ] + 5 = 19 / 2 Operando: x2 / 2 = (19 / 2) – 5  x2 = 19 – 10  x2 = 9 Luego: x1 = 3 y x2 = – 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

12 Enunciados y ecuaciones
“El cuadrado de la diferencia de un número y de cinco es 16. Hallar dicho número.” Si x es el número: (x – 5)2 = 16 También valdría, en este caso: (5 – x)2 = 16 Operando: x2 – 10.x + 25 = 16  x2 – 10.x + 9 = 0 Resolviendo la ecuación: x1 = 1 y x2 = 9 ENUNCIADO 6 “El cuadrado de la suma del doble de un número y de tres es 49. Si x es el número: (2.x + 3)2 = 49 Operando: 4.x x + 9 = 49  4.x x – 40 = 0 Simplificando entre 4 queda: x2 + 3.x – 10 = 0 Resolviendo la ecuación: x1 = 2 y x2 = – 5 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

13 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
PROBLEMAS RESUELTOS EJEMPLO_7 El cuadrado de la edad que tenía hace cinco años es la mitad de la edad que tendré dentro de 7 años. ¿Qué edad tengo?. Sea x = la edad actual que tengo. Traduzco a lenguaje algebraico el enunciado: Hace 5 años: Ahora: Dentro de 7 años: x – 5 x x + 5 Luego: (x – 5)2 = ( x + 5 ) / 2 Operando: x2 – 10.x + 25 = ( x + 5 ) / 2 2.x2 – 20.x + 50 = x  2.x2 – 21.x + 45 = 0 Resolviendo la ecuación: x1 = 7,5 años y x2 = 3 años Discusión: Ambas soluciones son matemáticamente correctas. La primera solución, x = 7,5 presenta el problema de una edad con decimales, que no suele ser admisible. La segunda solución, x=3, es imposible por la naturaleza del enunciado. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

14 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
EJEMPLO_8 Quiero hacer el marco de un portarretratos rectangular, de modo que el largo sea 14 dm mayor que el ancho y que la diagonal del marco mida 26 dm. ¿Qué dimensiones debe tener?. Sea x = ancho del marco. Sea (x + 14) el largo del marco. La diagonal del marco es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son el largo y el ancho. Debo pues aplicar el Teorema de Pitágoras: “La hipotenusa al cuadrado es la suma de los cuadrados de los catetos.” Traduzco a lenguaje algebraico el enunciado: 262 = x2 + (x + 14)2 Operando: 676 = x2 + x x  0 = 2.x x – 480 Simplificando la ecuación: x x – 240 = 0 Resolviendo la ecuación: x1 = 10 dm y x2 = – 24 dm Discusión: La segunda medida, en geometría, no es admisible por negativa. El ancho es 10 dm y el largo 24 dm. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

15 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
EJEMPLO_9 El valor numérico del área de un cuadrado es igual que el de su perímetro. Hallar el lado del cuadrado. Sea x = lado del cuadrado. Sea x2 = área del cuadrado. Sea 4.x = perímetro cuadrado. Traduzco a lenguaje algebraico el enunciado: x2 = 4.x Operando: x2 – 4.x = 0  x.(x – 4) = 0 Las soluciones son: x1 = 0 u y x2 = 4 u Discusión: La primera medida, x = 0, no es admisible por anular el cuadrado. El área es de16 u2 y el perímetro de 16 u. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

16 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
EJEMPLO_10 La suma de los cuadrados de dos números enteros consecutivos es igual que el cuadrado de su suma. Hallarlos. Sea x = un número entero. Sea x + 1 = el número entero consecutivo. Traduzco a lenguaje algebraico el enunciado: La suma de los cuadrados: x2 + (x + 1)2 El cuadrado de la suma: [ x + (x + 1) ]2 x2 + (x + 1)2 = [ x + (x + 1) ]2 Operando: x2 + x2 + 2.x + 1 = (2.x + 1)2 2.x2 + 2.x + 1 = 4.x2 + 4.x + 1 0 = 2.x2 + 2.x Resolviendo la ecuación incompleta: 2.x.(x + 1) = 0 Las soluciones son: x1 = 0 y x2 = – 1 Un número es x = – 1 y su consecutivo es x = – = 0 Comprobamos: (-1)2 + (-1 + 1)2 = [ ( ) ]2 = ( )2  1 = 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

17 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Acertijo ”+2” Piensa un número. (Cada alumno pensará un número y lo anotará) (El profesor adivinará todos los números que habéis pensado). Súmale 3 unidades. El resultado lo elevas al cuadrado. Al nuevo resultado le restas 9 unidades. Al nuevo resultado le divides por el número que pensaste. Al nuevo resultado le quitas 8 unidades. ¿Qué te ha dado la última operación?. (Cada alumno, por orden dirá lo que le ha dado al final) Solución: ¿A que el último resultado obtenido + 2 es el número que pensaste?. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO